精品解析：上海市洋泾中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市洋泾中学2026学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分；其中第1-6题每题4分，第7−12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由交集的运算可得. 【详解】因为集合中大于1且小于4的数只有2，3，所以. 故答案为：. 2. 已知复数，，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则， 所以， 故答案为：. 3. 若角的终边经过，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】根据三角函数的定义得，又因为，所以. 4. 已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和______. 【答案】180 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，结合等差数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意：设等差数列的公差为. ，而， ∴，解得. ∴，解得， ∴. 故答案为：. 5. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 【答案】4860 【解析】 【分析】通过二项式定理通项公式即可得到答案. 【详解】解：在的展开式中，通项公式为Tr+1•（﹣2）r•36﹣r•x6﹣2r， 令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得 x2的系数为•4•34＝4860， 故答案为4860． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6. 已知，且为一元二次方程的两根，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由和为一元二次方程的两根，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 8. 已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算先表示向量，结合夹角为锐角，可求的取值范围. 【详解】因为，，所以，. 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向. 由得；与不同向时得；所以实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查平面向量的夹角问题，向量夹角为锐角则数量积为正且两个向量不同向，向量夹角为钝角则数量积为负且两个向量不反向. 9. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为和的图象有两个不同的交点，画出函数的图象，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有两个不同的零点，可得有两个不同的实数解， 即方程有两个不同的实数解， 即和的图象有两个不同的交点， 因为函数，画出函数的图象，如图所示， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，所以， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，解得，因此双曲线的标准方程为. 故答案为：. 11. 如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是_______米（精确到0.01米） 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角性质求出 ，在  中利用正弦定理求出 ，再分别在 Rt 和 Rt 中求出  和 ，最后由  求解 【详解】由题意可知，， 则 、、 均为直角三角形. 在  中， 是  的外角， 所以 ， 由正弦定理 ， 得 ； 在 Rt 中，，； 在 Rt 中，， 所以塔高 （米）. 故塔  的高大约是  米. 12. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，数列的前项和_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量加减的几何意义，将已知化为，再由向量共线基本定理的推论得到，应用构造法及等比数列的定义求通项公式，最后应用分组求和、等比数列的前n项和公式求结果. 【详解】由，， 所以 ， 所以，则， 由共线，则，即， 所以，则，又， 所以是首项为4，公比为2的等比数列，则， 所以，则. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的高为，则，解得． 14. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 15. 已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求的取值范围. 【详解】化为，所以的圆心为，半径为2. ，其中为圆心到直线的距离. 因为，所以，因为，所以. 故选：B 16. 已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由向量坐标及其模的关系确定点与点的几何关系，发现点在以为圆心、1 为半径的圆上；进而将区域边界点到直线的距离最值问题，转化为椭圆上的动点到直线的距离最值加上圆的半径. 【详解】 由且，得. 这说明动点到动点的距离恒为1.区域即为以为圆心、半径为1的圆扫过的区域， 则其边界上的点到直线距离的最大值，等于椭圆上的点到直线距离的最大值加上 1. 设椭圆上的动点，点到直线的距离为. 由点到直线的距离公式得. 利用辅助角公式可得，其中. 则.当时，取得最大值. 由此可知，边界上的点到直线的距离的最大值为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）在中，，且锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把化简为，即可求出值域； （2）先求出角，利用余弦定理即可求出b. 【小问1详解】 由已知可得 ， 由可得. 所以， 故函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即， 又因为，可得， 可得：，得， 由以及余弦定理得， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． （1）求证：； （2）求直线CP与平面POD所成角的大小． 【答案】（1）因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． （2） 【解析】 【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到． （2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 19. 某中学高三年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人中有来自组的学生的概率； （3）若在（2）中抽取出来的两位学生都来自组，分别为小明和小李，需在两人中选择一名代表高三年级参加知识竞赛．两人进行比赛，假设每局之间的胜负互不影响，如果小明每局获胜的概率为，一局定胜负和三局两胜比较，哪个对小明更有利． 【答案】（1） ，平均分为分； （2） ； （3） 当时，一局定胜负对小明更有利；当时，两种方式对小明一样；当时，三局两胜对小明更有利. 【解析】 【分析】（1）运用频率相加等于1即可求出的值，并利用中点值以及占比计算出平均值； （2）利用分层抽样的性质求出每一部分的学生数，再结合古典概型概率公式求解概率即可； （3）分别求出小明在一局定胜负中获胜的概率和小明在三局两胜中获胜的概率，做差得，再分类讨论的大小进而确定哪个对小明更有利. 【小问1详解】   由频率分布直方图可知，组距为， 则， 即，解得. 估计本次竞赛成绩的平均分   （分）. 【小问2详解】 成绩在的频率为，成绩在的频率为， 两组频率之比为. 用分层抽样的方法抽取人，则从组抽取人，从组抽取人. 从这人中任选人，总的基本事件数为. 设“人中有来自组的学生”为事件， 其对立事件为“人都来自组”， 事件包含的基本事件数为. 则. 故人中有来自组的学生的概率为. 【小问3详解】 小明在一局定胜负中获胜为事件，在三局两胜中获胜为事件. 由题知， 三局两胜制中，小明获胜的情况包括“胜胜”、“胜负胜”、“负胜胜”， 故. . 因为，所以，. ① 当时，， 则，即，此时一局定胜负对小明更有利； ② 当时，， 则，即，此时两种方式对小明一样； ③ 当时，， 则，即，此时三局两胜对小明更有利. 综上所述，当时，一局定胜负更有利；当时，两者一样；当时，三局两胜更有利. 20. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的左顶点，求的值； （3）已知点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出的值，从而求出椭圆方程； （2）设直线方程，设两点坐标，得出，联立椭圆方程结合韦达定理得出根与系数的关系，进而求出； （3）设直线方程，设两点坐标，联立椭圆方程结合韦达定理得出根与系数的关系求出，利用点到直线距离公式求出到直线距离，运用三角形面积公式结合函数的性质计算求解面积最大值． 【小问1详解】 椭圆的长轴长为4，离心率为， ，解得，， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 当斜率不存在时过点的直线与椭圆无交点， 故直线斜率存在，设为，则直线方程为， 联立直线与椭圆方程得， 设点，由韦达定理得， ，， ． 【小问3详解】 设直线方程为， 联立直线与椭圆方程得， ，解得， 设点，由韦达定理得， ， 点到直线的距离， ， 令，，， ，求导得，函数在上单调递增， 当时面积最大，最大值为， 的最大值为2． 21. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对于D内任意的，都有成立，则称是“函数”. （1）判断，是否为“函数”，并说明理由； （2）若，是“函数”，求实数的取值范围； （3）设函数，的图象是连续曲线，且，其导函数为.且，其中.数列满足：，.证明：. 【答案】（1）是上的函数，理由如下: ，设 ∴是上的函数 （2） （3）证明:由， 设，则， 故为单调递增函数， 则，恒有， 即，得， 设，则， 故为单调递减函数， 则，恒有，即，得. 综上可知，， 又， ，， 则， 当时， ， 则 . 又， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）由新定义代入即可判断； （2）由新定义，同时构造和通过求导，确定单调性即可求解. （3）由条件先证明函数单调递增，再证明函数单调递减，由此证明，再证明，结合绝对值不等式性质证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，且 ∵为上的“函数”， 则恒成立 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，恒成立 在恒成立，. 综上，的范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洋泾中学2026学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 本卷卷面总分150分，考试时间为120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分；其中第1-6题每题4分，第7−12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 已知集合，则__________. 2. 已知复数，，那么__________. 3. 若角的终边经过，则__________. 4. 已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和______. 5. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 6. 已知，且为一元二次方程的两根，则的最小值为________ 7. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 8. 已知向量，.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 9. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________. 11. 如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是_______米（精确到0.01米） 12. 如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，数列的前项和_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的高是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 14. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 15. 已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）在中，，且锐角满足，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． （1）求证：； （2）求直线CP与平面POD所成角的大小． 19. 某中学高三年级举行了一次知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人中有来自组的学生的概率； （3）若在（2）中抽取出来的两位学生都来自组，分别为小明和小李，需在两人中选择一名代表高三年级参加知识竞赛．两人进行比赛，假设每局之间的胜负互不影响，如果小明每局获胜的概率为，一局定胜负和三局两胜比较，哪个对小明更有利． 20. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设点为椭圆的左顶点，求的值； （3）已知点，求的最大值． 21. 已知函数的定义域为D，若存在常数，使得对于D内任意的，都有成立，则称是“函数”. （1）判断，是否为“函数”，并说明理由； （2）若，是“函数”，求实数的取值范围； （3）设函数，的图象是连续曲线，且，其导函数为.且，其中.数列满足：，.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $