精品解析：天津市第二耀华中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

九年级数学 一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数 顶点坐标是进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标是， ∴二次函数图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，，9 B. 2，0， C. 2，， D. 2，1， 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．当时，变为，此时不是一元二次方程； B．的分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程； C．整理得，不是一元二次方程； D．整理得，是一元二次方程． 4. 用配方法解方程x2+ x＝1，应在方程两边同时（　　） A. 加上 B. 减去 C. 加上 D. 减去 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方． 【详解】∵ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 5. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个人送礼物除了不送给自己其他人都有一件，故礼物总数为：人数×（人数1）即可得出对应方程． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了列方程（一元二次方程）问题，关键在于发现礼物总数等于人数乘以每人送出（或收到）礼物数的积． 6. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由表格数据可知，和时，的值均为0.53， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴一元二次方程的两个根关于直线对称，较大根在对称轴右侧， ∵时，时， ∴较大根的范围是． 9. 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A. m＞1 B. m＞0 C. m＞－1 D. －1＜m＜0 【答案】B 【解析】 【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组． 【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有 解得：m>0， 故选：B． 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 11. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 12. 如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若则，其中正确结论的个数为（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用抛物线的对称性，确定对应的点在左边，开口向上，左边函数值更大，时，所以；②利用把替换成，式子化简为，由图像可知小于 0，得到；③开口向上，时函数取最小值，写出最小值不等式，两边同时减去，得到；④把用表示成，再根据，不等式同时乘以推出范围． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线，与轴交于． ∴ 抛物线与轴的另一个交点为． ∵ 对称轴． ∴ ． ∵ 抛物线开口向上， ∴ ∵ 抛物线与轴交于负半轴， ∴ ∵ 抛物线过点，代入解析式． ∴ 把代入 ，． 得． ①当时，函数值． ∵ 抛物线对称轴是，交点，在左侧． ∵ 开口向上，在对称轴左侧随增大而减小． ∴ 时对应的函数值大于时的函数值． ∵ 时，． ∴ ，结论①正确． ②由前面推导得，即． ∵ ． ∴ ，结论②正确． ③∵ 抛物线开口向上，对称轴． ∴ 时，取得最小值． ∴ ． 两边同时减去． ∴ ，结论③正确． ④∵ ，． ∴ ． 代入． ． ∵ ． 不等式三边同时乘． ∴ ，结论④正确． 综上，①②③④都正确． 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 13. 若二次函数的图象过点，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，掌握待定系数法是解题的关键．直接将代入二次函数表达式即可求出a的值． 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 故答案为：． 14. 将二次函数的图像向下平移3个单位长度，得到的函数表达式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知原二次函数为，需将其图像沿竖直方向向下平移3个单位长度，结合函数图像平移的数值变化规则推导新的函数表达式． 【详解】解：∵二次函数图像上下平移遵循“上加下减”的规律，即图像向下平移个单位长度时，所得函数表达式为原函数表达式整体减去， ∴将的图像向下平移3个单位长度时，对应的函数表达式为，整理可得． 15. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时能根据方程根的情况建立关系式是关键． 依据题意，由方程有两个相等的实数根，从而，进而计算可以得解． 【详解】解： 方程有两个相等的实数根， 故答案为： 16. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：， 由根与系数的关系，得：，， 则． 故答案为：. 17. 若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，图象开口方向向上，离对称轴越远函数值越大， ， ， 故答案为：． 18. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 19. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）十字相乘法因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）移项，提取公因式，转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 或 ， 20. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … __①__ 2 __②__ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而______； ②当______时，y有最大值为______； ③当时，y的取值范围是______． 【答案】（1）①；②3 （2） （3）①减小；②1，3；③ 【解析】 【分析】（1）将对应的x值代入解析式进行计算，补全表格． （2）利用描点法，根据表格中的坐标点在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接． （3）结合画出的图象，观察函数的增减性、最值以及特定区间内的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，； ②当时，． 【小问2详解】 解：根据表格中的点，，，，，在坐标系中描出这些点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到二次函数的图象；图象是一条开口向下的抛物线，顶点为． 【小问3详解】 解：①增减性：观察图象可知，抛物线的对称轴为直线，当时，图象从左向右呈下降趋势，即y随x的增大而减小． ②最值：由图象可知，抛物线开口向下，顶点坐标为，因此，当时，y有最大值，最大值为3． ③取值范围：观察图象，当时，图象的最高点是顶点，此时y取最大值3；图象的最低点趋近于时的点，但x取不到3，所以y取不到．因此，y的取值范围是． 21. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 【答案】（1）>； （2）k=2. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出k的值． 【小问1详解】 解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴>0， 解得：> ． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得， ． ∵， ∴， 解得：k=0或k=2， 又∵>， ∴k=2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 22. 按要求完成下列各题： （1）已知二次函数图象的顶点为，与y轴交点坐标为，求二次函数解析式． （2）已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为和1，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，代入与y轴交点坐标求待定系数； （2）根据抛物线与x轴的交点横坐标设交点式，代入已知点坐标求待定系数； 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点为， ∴设二次函数解析式为（）， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为和， ∴设抛物线解析式为（）， 将代入解析式，得， 解得， ∴抛物线解析式为． 23. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃墙可利用的最大长度为18m一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，设平行于墙的边长为． （1）若围成的花圃面积为40时，求长； （2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50，请你判断能否围成花圃？如果能，求长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）米 （2）不能，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）可求，由矩形的面积列方程求解，并根据实际意义检验，即可求解； （2）可求，由矩形的面积列方程，由根的判别式判断即可求解； 根据矩形面积列出方程，验根的合理性，理解一元二次方程是否有根的实际意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ， 整理得：， 解得：，， ， 舍去， 故； 答：的长为4米； 【小问2详解】 解：不能围成花圃，理由如下： ， 整理得：， ， 此方程无实数解， 不能围成花圃． 24. 2026年是丙午马年，一款有关马的吉祥物玩偶深受大家喜爱，该款玩偶的进价为35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商家在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，且销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩偶的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩偶获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将玩偶的销售单价定为49元时，商家每天销售玩偶获得的利润最大，最大利润是1792元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； 【小问1详解】 解：根据题意得， 规定销售单价不低于40元，且不高于49元， . 即； 【小问2详解】 根据题意得，， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：将玩偶的销售单价定为49元时，商家每天销售玩偶获得的利润最大，最大利润是1792元． 25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，动点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4； （2）存在． P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）； （3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用待定系数法将点的坐标代入解析式即可求； （2）分点A为直角顶点时，和点C为直角顶点两种情况讨论，即可得； （3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点， ∴ ，解得： ， 则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4； （2）存在． ①当以C为直角顶点时， 过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1， 过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1+∠ACO=90°． ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠MCP1=∠OAC． ∵OA=OC=4， ∴∠MCP1=∠OAC=45°， ∴∠MCP1=∠MP1C， ∴MC=MP1， 设P（m，﹣m2+3m+4）， 则m=﹣m2+3m+4﹣4， 解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴m=2， 此时﹣m2+3m+4=6， ∴P1的坐标是（2，6）； ②当点A为直角顶点时， 过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2， 过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2，则P2N∥x轴， ∵∠CAO=45°， ∴∠OAP2 =45°， ∴∠FP2N=45°，AO=OF， ∴P2N=NF， 设P2（n，﹣n2+3n+4）， 则﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4）， 解得：n1=﹣2，n2=4（舍去）， ∴n=﹣2， 此时﹣n2+3n+4=﹣6， ∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）． 综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）； （3）当EF最短时，点P的坐标是（，2）或（，2）． 解题过程如下： 连接OD，如图3，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF． 根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短． 由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4． 根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点． 又∵DF∥OC， ∴△AFD∽△AOC， ∴ =， ∴DF= OC=2， ∴点D的纵坐标是2， ∴点P的纵坐标也是2， 解﹣x2+3x+4=2，得x1= ，x2=， ∴点P的坐标为（，2）或（，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 二次函数的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，，9 B. 2，0， C. 2，， D. 2，1， 3. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程x2+ x＝1，应在方程两边同时（　　） A. 加上 B. 减去 C. 加上 D. 减去 5. 一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 8. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A. B. C. D. 9. 若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　) A. m＞1 B. m＞0 C. m＞－1 D. －1＜m＜0 10. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，二次函数的图像与轴交于点与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若则，其中正确结论的个数为（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 13. 若二次函数的图象过点，则的值是____． 14. 将二次函数的图像向下平移3个单位长度，得到的函数表达式是_____________． 15. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为______． 16. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 17. 若抛物线的解析式为 ，点，，都在该抛物线上， 则的大小关系是____________ ．（用“”连接） 18. 如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题（本大题共7小题，共60分） 19. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 20. 已知二次函数． （1）请把下面的表格补充完整： x … 0 1 2 3 … … __①__ 2 __②__ 2 … （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． （3）根据图像，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而______； ②当______时，y有最大值为______； ③当时，y的取值范围是______． 21. 关于x的一元二次方程有两个不等实根、． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程两实根、满足，求k的值． 22. 按要求完成下列各题： （1）已知二次函数图象的顶点为，与y轴交点坐标为，求二次函数解析式． （2）已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为和1，且过点，求抛物线的解析式． 23. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃墙可利用的最大长度为18m一面利用旧墙，其余三面用篱笆围，篱笆长为24m，设平行于墙的边长为． （1）若围成的花圃面积为40时，求长； （2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为50，请你判断能否围成花圃？如果能，求长；如果不能，请说明理由． 24. 2026年是丙午马年，一款有关马的吉祥物玩偶深受大家喜爱，该款玩偶的进价为35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商家在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，且销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩偶的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩偶获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，动点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $