精品解析：甘肃省兰州第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

兰州一中2026—2027—1学期期中考试试题 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，， 可得. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，. 故选：C 3. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，得到方程，求得的值，结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，可得，解得或， 当时，可得，此时函数为奇函数，符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以. 故选：D. 4. 若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值可能有几个（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，利用利用子集关系即可得到结论． 【详解】，即或. ， 当时，方程无解； 当时，. 由题意知，，故符合； 当时，应有或，解得或. 综上可知，或或. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题． 5. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AC选项为偶函数，B选项满足要求，D选项不满足单调性. 【详解】A选项，的定义域为， 故，故为偶函数，A错误； B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在上单调递减，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：B 6. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论与两种情况.当时满足题意,当时,根据即可求得实数的取值范围. 【详解】当时,分母变为常数1,所以定义域为,即符合题意 因为定义域为,所以当时, 符合题意.且同时满足 即,解不等式可得 综上所述,实数的取值范围为,即 故选D 【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为R时函数满足的条件,属于基础题. 7. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性得出，再结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，为奇函数， 所以， 因为在上单调递增，所以，即， 因为均为正数， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：A 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造幂函数和指数函数，利用幂函数和指数函数的单调性可判断大小. 【详解】，，在递增，则， 又，，在R上递增且，则，所以， 故选:D. 【点睛】本题考查利用幂函数，指数函数的单调性判断函数值的大小关系，属于基础题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可得判定A正确，C正确，D正确，再令，可得判定B正确. 【详解】由不等式的解集是， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A错误，C正确； 由，可得，所以D正确； 又由，令，可得，所以B正确. 故选：BCD. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数为奇函数 C. 对于任意的，都有 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：由狄利克雷函数定义，当时，；当时，. 函数仅能取0和1两个值，故值域为，A正确； 选项B：若，则，于是； 若，则，于是. 因此对任意实数，都有，函数为偶函数，不满足奇函数定义，B错误； 选项C：对任意，，而，，即恒为有理数. 再代入函数，得，C正确； 选项D：取，则，且， 于是，故存在满足条件的实数，D正确. 11. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，； 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数则_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式，先求的值，再求值. 【详解】∵，∴，又∵，∴，∴. 故答案为：4. 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】用函数图象，结合单调性可解. 【详解】解析 画出函数的图象如图所示： 所以函数在上为增函数， 由，得， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 函数 的定义域为集合A，集合· （1）若,求集合； （2）设，，若Q是P的必要条件，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，进而利用补集和交集概念求出答案； （2）根据Q是P的必要条件，得到，从而得到不等式，求出m的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，解得，故， 或， 当时，， 故或； 【小问2详解】 因为Q是P的必要条件，故， 则，解得， 故m的取值范围是 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解； （2）根据（1）中解析式，分和两种情况，结合二次不等式运算求解. 【小问1详解】 若，则， 由题意可得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若时，令，即，解得或（舍去）； 若时，令，即，解得或（舍去）； 综上所述：不等式的解集为. 17. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 【答案】（1），理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）240 【解析】 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 18. 已知定义在上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意，，都有；②当时，． （1）求； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）已知，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）2026 （2）在上为减函数，证明如下： 设，则， 则 ， 又，则， 所以，即， 故在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，可得答案； （2）在上为减函数，利用单调性的定义证明即可； （3）由原不等式可化为，利用单调性可得， 分离参数求解即可. 【小问1详解】 令，，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可得，， 即， 由在上为减函数可得对恒成立， 即，恒成立， 令，则，对称轴方程为， 所以当时，，故，解得. 19. 函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． （1）当时，计算的值； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）当时，，易得的值； （2）分离参数后，转化为求最值问题； （3）设，，则，，原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有，按照于区间的位置关系分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 【小问2详解】 当时，，设， 则由飘带函数单调性得，， （分离参数）， 即对于任意恒成立，则只需 设，由飘带函数单调性知在单调递增， 所以， 所以． 【小问3详解】 设在单调递减，可得， 则， 原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有． ①当，即时，在上单调递增， 则，， 由，解得， 所以； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 由， 若，即时， 则，由 解得， 所以； 若，即时， 则，由， 所以． ③当，即时，在上单调递减， 则，， 由，解得， 所以． 综上所述，存在正实数满足题意，且的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2026—2027—1学期期中考试试题 高一数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值可能有几个（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数为奇函数 C. 对于任意的，都有 D. ， 11. 已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数则_____________. 13. 计算：___________． 14. 已知函数，则不等式的解集是______. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 函数 的定义域为集合A，集合· （1）若,求集合； （2）设，，若Q是P的必要条件，求m的取值范围. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 18. 已知定义在上的函数同时满足下面两个条件： ①对任意，，都有；②当时，． （1）求； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）已知，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． （1）当时，计算的值； （2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $