精品解析：四川达州市渠县文崇中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县文崇中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 【详解】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角相等；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B． 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、该方程没有规定，故本选项错误； B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程不是整式方程，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．利用相似三角形周长的比等于相似比来计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为， 设的周长为，则， 即， 解得． 故选：C． 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三视图的识别，根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：B． 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 6. 如图是大树的影子随太阳转动的情况（上午8时至下午5时之间），按时间先后顺序排列是（ ） A. ②④①③⑤ B. ①②③④⑤ C. ⑤④①③② D. ⑤③①④② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西、西北、北、东北、东，影长由长变短，再变长．由此排序即可． 【详解】解：太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后依次为西、西北、北、东北、东；期间，影长由长变短，再变长． 观察所给图形可得：按时间先后顺序分别是：②④①③⑤． 故选A． 7. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．根据题意将进行代入求解即可． 【详解】解：∵线段长且， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，理解矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 10. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图是一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则菱形周长为______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形，且，， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 此菱形的周长． 故答案为：40． 11. 用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三视图．解决本题的关键是根据左视图显示的各个位置小立方体的数量在俯视图中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况． 【详解】解：当几何体需要小立方块最多时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； 当几何体需要小立方块最少时，各个位置小立方块的个数如下图所示， 从图中可得：； ． 故答案为： ． 12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 13. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形，连接并延长，交于点M．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据赵爽弦图特征判定四边形为正方形，利用对角线性质得，结合共线得；设，由正方形性质得；利用得等腰三角形，结合三角形内角和列方程求解． 【详解】解：由题意可知，四边形为正方形，且共线， 为正方形的对角线， ， 共线，共线， ， 设， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解一元二次方程． （1） （2） （3） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （）先通过等式变形将方程化为“平方项等于常数项”的形式，再利用直接开平方法去掉平方符号，转化为两个一元一次方程，求解得到方程的根； （）先确定二次项系数、一次项系数和常数项，计算判别式判断方程是否有实数根，再代入求根公式，化简后得到方程的两个根； （）观察到方程两边含相同的多项式因式，先移项将所有项移至等号左边，再提取公因式进行因式分解，把方程转化为两个因式乘积为的形式，进而得到两个一元一次方程，求解得出根． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 代入求根公式， 即； 【小问3详解】 ∴或 ∴． 15. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质得出，，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ， ． ， ， ． ． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，然后可证； （2）由勾股定理得，，，由（1），则，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理得， ， ． 在中，根据勾股定理得， ， 由（1）知， ， 即， ． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 【答案】（1）月平均增长率为． （2）该泥塑的售价应定为元/件． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题的模型为，注意检验根是否符合题意；销售利润问题抓住“总利润=单件利润×销量”，并根据“让顾客得到实惠”对根进行取舍． （1）设月平均增长率为，由7月到9月经过两次增长，可列方程． （2）设售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元，由“总利润=单件利润×月销量”列方程，并结合“尽可能让顾客得到实惠”舍去较大的根． 【小问1详解】 解：设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为， 由题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该泥塑的售价上涨元，则月销售量为件，每件利润为元， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴售价应较低， ∴， ∴， ∴该泥塑的售价应定为元/件． 18. 解答下列问题： （1）探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是边上的点，垂直平分于点O，若请直接写出的长． 【答案】（1）且， 理由是：四边形是正方形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ． （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，求出，求出即可； （2）证明，则，结合已知条件可求，进而解决题目； （3）由（2）知，则，已知，所以，设，则，因为垂直平分，所以，在中，勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在矩形中，点F为CD的中点，CF=2， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（2）知， ∴， ， ∴， ∴， 设，则， ∵垂直平分， ∴， 在中， （舍） ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，，且，则AC的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ∵ ∴， 解得：． 20. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，以，已知，在满足，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先由根的判别式求出k的取值范围，在根据根与系数的关系，即可求出k的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握根的判别式、根与系数的关系是解决问题的关键． 21. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线相交于点M.若，则线段的长为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：是的中位线，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：2． 22. 如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________． ​ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是解题的关键． 作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，得到，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 23. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 24. 将两个全等的含角的直角三角板按照如图所示的方式放置，已知分别交边于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求的面积． 【答案】（1）证明：根据题意可得， ， ∴， ，即； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理得到结论； （2）根据三角形外角的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到； （3）过A作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到的值，根据三角形的面积公式得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过A作于H， 根据等腰直角三角形的性质可得，， ∵， ∴， 由（2）可得， ，即 （负数舍去）， ， 的面积为． 25. 综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律． （1）操作发现 如图①，四边形纸片是平行四边形，点在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点的对应点为．根据以上操作，若点是的中点，折痕过点，连接，则与的位置关系是________________． （2）迁移探究 如图②，若四边形是菱形，，折痕交边于点，点落在上且，，求的长度 （3）拓展应用 如图③，若四边形是矩形，，，折痕过点，点落在矩形的对称轴上，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，结合线段中点可得，从而得出，再根据平角和三角形内角和定理，得到，即可证明平行； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，则，，过点作于点，根据30度所对的直角边等于斜边一半，得到，设，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点落在矩形的对称轴上时，过点作于点，交于点；②当点落在矩形的对称轴上时，利用矩形的性质和勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点， ， ， ， 设，则，，， ， 在中，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可知，，， 设， 分两种情况讨论： ①如图，当点落在矩形的对称轴上时，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， 是矩形的对称轴， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ； ②如图，当点落在矩形的对称轴上时， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 综上可知，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县文崇中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 2. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，相似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图是大树的影子随太阳转动的情况（上午8时至下午5时之间），按时间先后顺序排列是（ ） A. ②④①③⑤ B. ①②③④⑤ C. ⑤④①③② D. ⑤③①④② 7. 黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中．如图，已知是线段的黄金分割点，若线段长，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则______． 10. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图是一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则菱形周长为______． 11. 用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则_________． 12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 13. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图，它是由四个全等的直角三角形(，，，)和中间一个小正方形拼成的大正方形，连接并延长，交于点M．若，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解一元二次方程． （1） （2） （3） 15. 如图，在中，，为的中线，，且，连接． （1）求证四边形为菱形． （2）连接，若求的长． 16. 如图，在矩形中，，，点E是边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作，交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件 问题解决 （1）任务1：求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； （2）任务2：为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该泥塑的售价应定为多少元/件． 18. 解答下列问题： （1）探究：如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是边上的点，垂直平分于点O，若请直接写出的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，，且，则AC的长为_______． 20. 已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，以，已知，在满足，则的值为______． 21. 如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线相交于点M.若，则线段的长为____________. 22. 如图，在菱形中，对角线，点为的中点，点在上且F为中点，连接交于点，若，，则线段的长为 ________________． ​ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 23. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 24. 将两个全等的含角的直角三角板按照如图所示的方式放置，已知分别交边于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求的面积． 25. 综合实践课上，同学们以“四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，探究其中的数学规律． （1）操作发现 如图①，四边形纸片是平行四边形，点在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点的对应点为．根据以上操作，若点是的中点，折痕过点，连接，则与的位置关系是________________． （2）迁移探究 如图②，若四边形是菱形，，折痕交边于点，点落在上且，，求的长度 （3）拓展应用 如图③，若四边形是矩形，，，折痕过点，点落在矩形的对称轴上，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $