5.2.1 三角函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

文本解读

本节内容选自人民教育出版社《普通高中教科书·数学（必修 第一册）》（人教A版）第五章《三角函数》5.2节第1课时。三角函数是一类最基本的初等函数，是刻画现实世界中周期现象的重要数学模型。学生在5.1节已经把角的概念推广到任意角，并借助弧度制建立了角的集合与实数集之间的一一对应；本节在此基础上，借助单位圆建立任意角的三角函数定义，实现从锐角三角函数到任意角三角函数的跨越。教材从摩天轮等真实情境出发，引导学生经历“具体情境—单位圆—坐标定义”的抽象过程，突出单位圆这一工具在三角函数研究中的核心地位。本课时上承函数的概念、任意角与弧度制，下启诱导公式、三角函数的图象与性质，是整个三角学体系的基石；单位圆定义法所蕴含的数形结合思想，对发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养具有重要价值。

教学目标

1.【数学抽象】经历借助单位圆把锐角三角函数推广到任意角的过程，理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，体会“以角为自变量、以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值”的函数本质，发展数学抽象素养。

2.【逻辑推理】能依据定义推导三角函数值在各象限的符号规律，能说明终边相同的角的同一三角函数值相等，并能运用这些结论解决符号判断与求值问题。

3.【直观想象】能在单位圆中准确找出角α的终边与单位圆的交点，借助图形直观理解三角函数的对应关系，实现数与形的互化。

4.【数学运算】能运用定义求特殊角及终边上给定点的角的三角函数值，掌握结果含根号时的分母有理化方法，形成规范的表达习惯。

重点难点

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；运用定义求三角函数值，并判断三角函数值的符号。

教学难点：理解三角函数定义中“角—单位圆上的点—坐标（或坐标的比值）”的对应关系；在一般角求值中正确处理坐标符号并进行分母有理化。

课时安排

1课时

教 学 过 程

新课导入

（一）情境创设

（教师播放视频片段：2026年建成开放的某城市新地标——高达百米的观景摩天轮缓缓转动，游客在座舱中离地面的高度随时间周而复始地变化。）

师：同学们，摩天轮转动时，座舱离地面的高度“升了又降、降了又升”，不断重复。要精确回答“转过某个角度后，座舱在什么位置、离地面多高”，我们需要一种能刻画周期变化的新工具。

（二）问题激趣

问题1：在初中，我们用直角三角形中“角的对边、邻边与斜边的比”定义了锐角三角

函数。当摩天轮转过的角度超过90°，甚至达到270°时，直角三角形不见了，正弦、余弦还有意义吗？

问题2：能否找到一个“基准图形”，让任意角的正弦、余弦、正切都获得统一、简洁、可靠的定义？

（学生思考、讨论后，教师顺势引出课题：把角放到坐标系中，借助“单位圆”就能实现这一跨越。板书课题：5.2.1　三角函数的概念。）

探究新知

任务一：温故知新，搭建从锐角到任意角的桥梁

1. 复习锐角三角函数

请同学们回顾：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦、余弦、正切分别是怎样定义的？

【要点点拨】正弦等于角A的对边与斜边的比，余弦等于角A的邻边与斜边的比，正切等于角A的对边与邻边的比。三个定义的本质都是“两条线段长度的比”，即两个数值的比。

2. 活动：把锐角“请进”平面直角坐标系

操作步骤：

① 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系；

② 在锐角α的终边上任取一点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，记P到原点的距离为r；

③ 用坐标与r表示出直角三角形的三条边长，不难发现下列关系：

，，

【要点点拨】终边确定后，点P虽可任取，但上述三个比值与P的位置无关，只依赖于角α本身。这说明：三角函数可以用“终边上一点的坐标”来定义。

3. 思考

当α是钝角、平角乃至任意角时，“直角三角形”不存在了，上述比值定义还能直接照搬吗？

【要点点拨】不能。任意角的终边可能落在各个象限或坐标轴上，直角三角形消失了，必须寻找不依赖直角三角形的新载体——这就是坐标法与单位圆。

探究新知

任务二：借助单位圆，抽象三角函数的定义

1. 单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心、以单位长度为半径的圆为单位圆。

2. 抽象定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)（如图1），则：

正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常表示为：

，，

3. 对应关系的理解

问题：为什么说正弦、余弦、正切都是以角为自变量的函数？

【要点点拨】对于每一个给定的角α（弧度制下对应唯一实数），其终边与单位圆的交点P唯一确定，因而P的纵坐标y、横坐标x以及纵坐标与横坐标的比值（此时横坐标x≠0）都唯一确定。“一个角对应唯一的函数值”符合函数的定义。其中，正切函数要求终边不能落在y轴上，即x≠0。

图1　单位圆中角α的正弦、余弦与正切

4. 三角函数的定义域

【说明】正切函数的定义域不含使终边落在y轴上的角，使用时须先检验x是否为0。

文本探究

任务三：运用定义，学会求值

例1　已知角α的终边经过点P(2，-3)，求sin α、cos α、tan α。

分析：终边上的点不在单位圆上时，先求出该点到原点的距离r，再按“坐标除以r”转化为定义中的比值。

解：由x＝2，y＝-3，得