5.2.2 同角三角函数的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-10-30

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5.2.2 同角三角函数的基本关系

（人教A版2019·必修第一册精品教学设计）

教学单元	第五章三角函数	课题	5.2.2 同角三角函数的基本关系
课型	新授课	课时	1课时（45分钟）

一、教材分析

本节课是人教A版必修第一册第五章“三角函数”中5.2节的第二课时，安排在“任意角和弧度制”“三角函数的概念”之后。教材从单位圆上点P(x, y)的坐标关系出发，由勾股定理和三角函数定义直接推出同角三角函数的两个基本关系式——平方关系 sin²α+cos²α=1 与商数关系 tanα=。这两个公式是后续化简三角函数式、求值、证明恒等式以及学习诱导公式的基本工具，在整章中起承上启下的作用，所体现的“方程思想”和“分类讨论思想”贯穿整个高中三角恒等变换。

二、学情分析

学生已经掌握任意角三角函数的定义、三角函数值在各象限的符号，以及单位圆上三角函数线的几何意义，具备由定义归纳关系式的认知基础。但容易出现三类典型错误：① 由平方关系开方时忽略符号、不按象限分类；② 对“同角”二字理解不深，误用不同角的三角函数代入公式；③ 证明恒等式时方向不清、化简目标不明。教学中要通过问题链暴露这些误区，让学生在“做”中修正。

三、教学目标（核心素养导向）

● 数学抽象：经历由单位圆上点的坐标关系归纳出 sin²α+cos²α=1 与 tanα= 的过程，理解“同角”的含义，能准确叙述两个基本关系式及其成立条件。

● 数学运算：能运用两个基本关系式“知一求二”，正确处理开方后的符号问题，并能进行简单的三角式化简与恒等式证明，运算过程规范、结果准确。

● 逻辑推理：通过例7恒等式证明的两种证法，体会“由繁到简”“作差为零”“化同分母”的推理策略，能清晰地表达证明思路。

四、教学重点与难点

教学重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用（求值、化简、证明）。

教学难点：灵活选用公式，根据角所在象限确定三角函数值的符号；证明恒等式时方向的选择。

五、教学方法与教学准备

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教学方法：问题驱动 + 讲练结合 + 小组讨论。以“单位圆上坐标关系”为明线，以“方程思想、分类讨论”为暗线。教学准备：多媒体课件、单位圆演示动画、随堂学习任务单。

六、教学过程

教学环节	教师活动	学生活动	设计意图
环节一情境导入（5分钟）	【复习铺垫】角α终边与单位圆交于点P(x, y)，由三角函数定义： sinα = y，cosα = x，tanα = 【问题链】问题1：点P在单位圆上，坐标(x,y)满足什么等式？追问：把x、y换成三角函数，你能得到什么？问题2：换成三角函数又是什么？引出课题：同一个角α的三个三角函数之间，确实藏着两个“天然等式”。	口答： x²+y²=1。尝试写出：sin²α+cos²α=1 = 学生猜想并记录。	从学生已掌握的定义出发，让公式“长”出来，而非直接灌输；问题链直指两个核心公式，明确本课主题。
环节二新知探究（10分钟）	1. 平方关系 sin²α + cos²α = 1 对任意角α都成立（轴上角同样满足）。强调“同角”：与角的记法无关，sin²β+cos²β=1也成立；不能把不同角的三角函数代入。常用变形：sin²α = 1−cos²α；cosα = ± 2. 商数关系 tanα = 成立条件：cosα≠0，即 α≠+kπ（k∈Z）。判断：“对任意角α，tanα= 都成立”这句话对吗？	用30°、45°、60°的特殊值验证两个公式。讨论：为什么商数关系要有条件？答：当α终边在y轴上时cosα=0，分母为零，tanα不存在。	通过“验证—质疑—补条件”深化理解；突出成立条件，为后续解题规范打基础。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一
情境导入
（5分钟）

【复习铺垫】

角α终边与单位圆交于点P(x, y)，由三角函数定义：

sinα = y，cosα = x，tanα =

【问题链】

问题1：点P在单位圆上，坐标(x,y)满足什么等式？

追问：把x、y换成三角函数，你能得到什么？

问题2：换成三角函数又是什么？

引出课题：同一个角α的三个三角函数之间，确实藏着两个“天然等式”。

口答：

x²+y²=1。

尝试写出：sin²α+cos²α=1

学生猜想并记录。

从学生已掌握的定义出发，让公式“长”出来，而非直接灌输；

问题链直指两个核心公式，明确本课主题。

环节二
新知探究
（10分钟）

1. 平方关系

sin²α + cos²α = 1 对任意角α都成立（轴上角同样满足）。

强调“同角”：与角的记法无关，sin²β+cos²β=1也成立；不能把不同角的三角函数代入。

常用变形：sin²α = 1−cos²α；cosα = ±

2. 商数关系

tanα = 成立条件：cosα≠0，即 α≠+kπ（k∈Z）。

判断：“对任意角α，tanα= 都成立”这句话对吗？

用30°、45°、60°的特殊值验证两个公式。

讨论：为什么商数关系要有条件？

答：当α终边在y轴上时cosα=0，分母为零，tanα不存在。

通过“验证—质疑—补条件”深化理解；

突出成立条件，为后续解题规范打基础。

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教学环节	教师活动	学生活动	设计意图
环节三典例精析（15分钟）	例6（教材原题）求值已知 sinα = − 教师板演规范过程： ① 由平方关系：cos²α = 1−sin²α = 1− = ，所以 cosα = ±。 ② 定符号：sinα<0，α是第三或第四象限角。 ③ 若α在第三象限：cosα=−，tanα= = ；　若α在第四象限：cosα=，tanα=−。方法提炼 “知一求二”三步：平方关系定绝对值 → 象限定符号 → 商数关系求正切。	学生先独立尝试，再暴露典型错误：误区1：开方只取正号；误区2：不分类、直接写一组答案；误区3：tanα符号与cosα搞反。对照板书订正。	教材原题规范示范，落实“知一求二”与分类讨论；提前暴露三类高频错误，提高运算准确率。
	例6变式知切求弦（方程组思想）已知 tanα = 2，求 sinα、cosα 的值。解：由 tanα==2，得 sinα=2cosα；代入平方关系： (2cosα)²+cos²α=1，即 5cos²α=1，cosα=±。 ∵ tanα=2>0，α在第一或第三象限。第一象限：cosα=，sinα=；第三象限：cosα=−，sinα=−。	思考：本题为什么不用“先开方”？答：已知的是正切，要用方程组思想联立两个关系式。	从“知弦求切”拓展到“知切求弦”，强化方程（组）思想，训练思维完整性。

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节三
典例精析
（15分钟）

例6（教材原题）求值

已知 sinα = −

教师板演规范过程：

① 由平方关系：cos²α = 1−sin²α = 1− = ，所以 cosα = ±。

② 定符号：sinα<0，α是第三或第四象限角。

③ 若α在第三象限：cosα=−，tanα= = ；

　若α在第四象限：cosα=，tanα=−。

方法提炼

“知一求二”三步：平方关系定绝对值 → 象限定符号 → 商数关系求正切。

学生先独立尝试，再暴露典型错误：

误区1：开方只取正号；

误区2：不分类、直接写一组答案；

误区3：tanα符号与cosα搞反。

对照板书订正。

教材原题规范示范，落实“知一求二”与分类讨论；

提前暴露三类高频错误，提高运算准确率。

例6变式知切求弦（方程组思想）

已知 tanα = 2，求 sinα、cosα 的值。

解：由 tanα==2，得 sinα=2cosα；代入平方关系：

(2cosα)²+cos²α=1，即 5cos²α=1，cosα=±。

∵ tanα=2>0，α在第一或第三象限。

第一象限：cosα=，sinα=；

第三象限：cosα=−，sinα=−。

思考：本题为什么不用“先开方”？

答：已知的是正切，要用方程组思想联立两个关系式。

从“知弦求切”拓展到“知切求弦”，

强化方程（组）思想，训练思维完整性。

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