5.2.1 三角函数的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

5.2.1 三角函数的概念

教学目标

数学抽象

经历由圆周运动情境抽象出三角函数概念的过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会函数概念的本质是对应关系，发展数学抽象素养。

逻辑推理

从锐角三角函数出发，通过坐标法把锐角三角函数推广到任意角，理解定义的合理性与必要性；能依据定义解释三角函数值在各象限的符号，并归纳公式一，发展逻辑推理素养。

数学运算

能在单位圆背景下，依据定义求任意角的三角函数值；能运用公式一把任意角的三角函数值转化为0到2π内的角的三角函数值，提升数学运算素养。

直观想象

借助单位圆研究三角函数的定义、符号与求值，体会数形结合思想，提升用几何直观理解抽象概念的能力。

教学重难点

1.教学重点：任意角三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；三角函数值在各象限的符号；公式一。

2.教学难点：理解三角函数的对应关系，即三角函数是以角为自变量、以单位圆上点的坐标（或坐标的比值）为函数值的函数；对符号、、的认识。

教学过程

教师活动

学生活动

导入新课

教师：多媒体展示情境——2026年春节假期，某市主题公园的无人机灯光秀表演中，数十架无人机以场地中心O为圆心、以50 m为半径排成一个大圆，并绕圆心做匀速旋转，形成"旋转星环"图案。

问题1：无人机在圆周上的位置"周而复始"地变化。要刻画这种位置变化，选择哪个量作为自变量最合适？

问题2：把圆的半径缩小为单位长度1，建立直角坐标系后，无人机所在位置P的坐标由什么唯一确定？由此你能提出一个怎样的函数问题？

学生观看情境，独立思考后分组交流：发现圆周运动具有周而复始的规律，回顾任意角与弧度制知识，认识到用角α刻画位置变化最自然，并初步明确本课"研究背景—对应关系—下定义—研究性质"的研究路径。

新课讲授　一、任意角三角函数的定义

教师：如图1，以圆心O为原点、射线OA为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系。我们称以原点O为圆心、以单位长度为半径的圆为单位圆。设角α的终边与单位圆交于点。

学生动手画图，在单位圆中标出特殊角的终边与交点，求出对应坐标；在教师引导下归纳三角函数的定义，讨论对应关系的本质；独立完成例1后同位互查，规范"作角—定交点—写坐标—下结论"的解题步骤。

图1　单位圆与任意角的三角函数

探究：当、、时，点P的坐标分别是什么？任意给定一个角α，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

预设：当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为。任意给定一个角α，其终边与单位圆交点P的坐标唯一确定。

归纳（三角函数的定义）：设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点，则

① y叫做α的正弦函数，记作，

；

② x叫做α的余弦函数，记作，

；

③ 叫做α的正切，记作，

（）。

正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数。

教师追问：在"角α对应点P的坐标"这一对应关系中，自变量与函数值分别是什么？

预设：自变量是角α的弧度数（实数），函数值是单位圆上点P的纵坐标y、横坐标x以及纵坐标与横坐标的比值。

推广：设角α的终边上任意一点P(x,y)（不与原点重合），点P与原点的距离为r。

此时，，，

（）。

三角函数在弧度制下的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R；正切函数的定义域是所