1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 教学设计

教材分析

本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学·必修 第一册》第一章“集合与常用逻辑用语”，是1.5节“全称量词与存在量词”的第2课时，在上一课时学习了全称量词命题、存在量词命题的概念、形式及真假判断的基础上，进一步研究含有一个量词的命题的否定。教材从不含量词的具体命题的否定入手，让学生体会“否定一个命题”就是否定这个命题的结论；再借助典型实例，引导学生归纳出“全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题”的一般规律。

本节内容是常用逻辑用语知识的收尾与深化，写对、写全量词命题的否定，是后续数学表达与交流中准确使用逻辑语言的必备技能；对命题及其否定真假关系的把握，也为解决“恒成立”与“存在性”问题提供了逻辑工具。

学情分析

本节内容比较抽象：学生需要先分清命题的条件和结论，再根据量词的特征判断命题的类型，然后归纳出含有一个量词的命题与它的否定在形式上的变化规律，最后利用真假关系解决相关问题。

学生在上一课时已经学习了全称量词与存在量词，对用符号语言表示数学命题已经不陌生，教材中的许多数学知识也来自生活，这为本节课的学习提供了有力的保障和支撑。但学生初次接触“命题的否定”，容易出现“只改量词、忘记否定结论”或“只否定结论、忘记改变量词”的错误，也容易把“都是”的否定误写成“都不是”，教学中应通过正反例辨析与即时练习加以突破。

教学目标与核心素养

（1）数学抽象：通过分析典型的全称量词命题，能写出全称量词命题的否定，理解“全称量词命题的否定是存在量词命题”，体会两种命题之间的关系。

（2）逻辑推理：通过分析典型的存在量词命题，能写出存在量词命题的否定，理解“存在量词命题的否定是全称量词命题”，并能判断命题与其否定的真假。

（3）直观想象：借助韦恩图直观理解量词命题与它的否定之间的对应关系，实现符号语言、图形语言与自然语言之间的互译。

（4）数学运算：能根据含量词命题的真假求参数的取值范围，体会全称量词命题与“恒成立”问题、存在量词命题与“存在性”问题之间的联系。

教学重难点

重点

理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义，能正确写出含有一个量词的命题的否定。

难点

根据含量词命题的真假求参数的取值范围。

教学过程

（一）情境导入，温故知新

教师活动：请学生回忆上一课时的内容，并思考下面的问题。

问题1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：

（1）关于的方程都有实数根；

（2）有些正整数没有1和它本身以外的约数。

预设答案：（1）是全称量词命题，命题中省略了量词“任意”，即对任意的实数，，方程都有实数根；（2）是存在量词命题，量词“有些”表示存在。

问题2：你能写出命题（1）（2）的否定吗？

预设答案：命题（1）的否定是“存在实数，，使关于的方程没有实数根”；命题（2）的否定是“任意正整数都有1和它本身以外的约数”。

教师追问：这两个否定写得对不对？它们是真是假？——要回答这些问题，就需要系统学习“含一个量词的命题的否定”的写法与真假判断，由此引出课题。本节课我们先学习一般命题的否定，再学习全称量词命题和存在量词命题的否定。

设计意图：以学生已熟悉的命题为载体制造认知冲突，让学生带着“怎样否定一个含量词的命题”的问题进入学习状态，同时复习上一课时的核心概念。

（二）探究新知，建构概念

1. 命题的否定

探究1：观察下列命题，分别写出它们的否定，并观察新命题与原命题在条件和结论上的关系：

（1）56是7的倍数；（2）空集是集合的真子集。

预设答案：（1）“56是7的倍数”的否定是“56不是7的倍数”；（2）“空集是集合的真子集”的否定是“空集不是集合的真子集”。

教师总结（概念）：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

要点辨析：

（1）一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假；

（2）否定结论时，“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”，不能把“都是”错写成“都不是”，即不能把否定“扩大化”。

设计意图：从不含量词的具体命题入手，让学生在观察与对比中体会“否定”的含义，为学习含量词命题的否定搭好台阶。

2. 全称量词命题的否定

探究2：写出下列全称量词命题的否定，并判断新命题的真假：

（1）所有的正方形都是矩形；（2）。

预设答案：（1）“所有的正方形都是矩形”的否定是“存在一个正方形不是矩形”，它是假命题，因为原命题是真命题；（2）该命题的否定是“”，它也是假命题，因为对任意实数，都有成立。

教师归纳：全称量词命题的否定是存在量词命题。其中“”是的否定，读作“非”。写全称量词命题的否定时，一要把全称量词改为存在量词，二要否定结论，二者缺一不可。