精品解析：北京市第五中学通州校区2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试卷

北京市第五中学通州校区2026—2027学年第一学期 初二年级期中质量检测数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，27个小题，满分100分．考试时间为120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：每小题2分，共16分，第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、B的分母为常数，选项D的分母为常数，三者均为整式． 选项C的分母含有字母，是分式． 2. 下列式子的变形正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 3. 下列线段长度能构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选： 4. 如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：A． 5. 如图BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E．若∠A=30°，∠E=20°，则∠ACB的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形外角性质求出∠EBD的度数，进而可求出∠CBD的度数，再根据三角形的外角性质即可求出∠ACB． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠E＝20°， ∴∠EBD＝∠A+∠E＝50°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠EBD＝50°，∠CBD＝2∠EBD＝100°， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝100°﹣30°＝70°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理． 6. 如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于( )． A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC=DB， ∴AC-BC=BD-BC， 即AB=CD， ∵AD=8，BC=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键． 7. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】直接解分式方程，进而得出a的取值范围，注意分母不能为零． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是负数， ∴，，即， 解得：且， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题关键． 8. 在新年联欢会中，小晨和小艺在玩“你说我画”的游戏，游戏规则如下：小艺需要根据小晨所提供的三个条件画出唯一确定的三角形．已知小晨说出的前两个条件为：． 现存在以下条件：①；②；③ 为了让小艺可以画出唯一确定的，则在以上三个条件中，小晨说出的最后一个条件可以为（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边长，若添加的角为两边的夹角，可直接确定唯一三角形；若添加的角为其中一边的对角，需结合勾股定理、大边对大角等判断三角形是否存在且唯一． 【详解】解：①若添加，是边边角，不能得到形状和大小都确定的三角形，无法画出唯一确定的三角形． ②若添加， ∵是与的夹角，，，满足两边及夹角对应相等， ∴能画出唯一确定的． ③若添加， ∵， ∴（大边对大角）， ∵， ∴，即为锐角， 过点作于点， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴，长度唯一， ∴三边长均确定，能画出唯一确定的三角形． 综上所述，②③符合题意． 二、填空题：每小题2分，共16分 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____．若分式值为零，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分式有意义需满足分母不为0. 分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0. 据此分别求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴对分式，需满足， 解得， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴先令分子，解得， 将代入分母验证，，满足分母不为0的要求， ∴分式值为零时． 10. 等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．由等腰三角形两腰长相等的性质，腰长，，两种情况，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：根据题意，当腰长为时，、、能组成三角形， 周长为∶； 当腰长为时，，6、、不能构成三角形， 故答案为：． 11. 的最简公分母是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 12. 如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法填写即可． 【详解】解：∵，， ∴添加或，根据“”可以证明； 添加或，根据“”可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，，  是等腰直角三角形．  ． 在和中， ， ．  ． 在中，， ． ． 14. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是______． 【答案】##边角边 【解析】 【分析】根据题意可得，，，，再根据全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， 则， 故答案为： 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 15. 如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简. 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3， ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 三、解答题：（本大题共68分，第17—19题每题5分，第20题，每题5分，21题5分，第22—25题，每题6分，第26题9分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 化简：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 19. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可. 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式型. 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原分式方程无解． 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解： ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解： ， 经检验，当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 22. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 23. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称类机器人）与遥控机器人（以下称类机器人）在同一条全长的赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： *A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维修时间）； *B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维修时间）的1.2倍． 已知比赛中，一台A类机器人起跑后保持匀速，速度是这台B类机器人的1.5倍，中途因故障原地维修10min，维修后匀速跑至终点，维修前后速度不变；一台B类机器人全程保持匀速，途中没有维修．最终这两台机器人的完赛成绩相同．求这台A类机器人的速度和这台B类机器人的速度． 【答案】这台A类机器人的速度为，这台B类机器人的速度为 【解析】 【分析】以两台机器人完赛成绩相等为等量关系，结合行程公式列分式方程求解． 【详解】解：设这台B类机器人的速度为（单位：），则这台A类机器人的速度为（单位：）， 由题意得： 解得：， 检验：当时，，， 故是原分式方程的解，且符合实际意义； ， 答：这台A类机器人的速度为，这台B类机器人的速度为． 24. 如图所示，，，，点B、D、E在同一直线上，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即：， 在和 中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是角的转换； 通过证明两三角形全等将转换成，由外角的性质可论证出结论． 【详解】略 25. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”， 例如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， 例如：．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式， 例如：； （1）请根据以上信息，任写一个真分式：_____； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式，即_____； （3）如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】（1）（答案不唯一，符合真分式定义即可） （2） （3）的整数值为或或或 【解析】 【分析】（1）根据“真分式”的定义求解即可； （2）仿照示例求解即可； （3）仿照示例把化为整式与真分式的和的形式，再根据分式的值为整数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数，且和为整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或或， ∴的整数值为或或或． 26. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【小问1详解】 解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：； 延长使得，连接，如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 27. 已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】 ，理由如下： ， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． 在线段上取一点，使， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．证三角形全等是解决本题的关键. （1）先根据三角形内角和求出，再根据三角形角平分线求出，最后根据三角形内角和求得即可； （2）在线段上取一点，使，先求出，再证，，得出，最后根据即可得证． 【小问1详解】 解：， ， 、是的两条角平分线， ， ， ． 【小问2详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五中学通州校区2026—2027学年第一学期 初二年级期中质量检测数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，27个小题，满分100分．考试时间为120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：每小题2分，共16分，第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子的变形正确的是（） A. B. C. D. 3. 下列线段长度能构成三角形的是（ ） A. 2，4，6 B. 3，3，7 C. 2，3，4 D. 1，2，3 4. 如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 5. 如图BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E．若∠A=30°，∠E=20°，则∠ACB的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6. 如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于( )． A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 7. 若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 在新年联欢会中，小晨和小艺在玩“你说我画”的游戏，游戏规则如下：小艺需要根据小晨所提供的三个条件画出唯一确定的三角形．已知小晨说出的前两个条件为：． 现存在以下条件：①；②；③ 为了让小艺可以画出唯一确定的，则在以上三个条件中，小晨说出的最后一个条件可以为（ ）． A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 二、填空题：每小题2分，共16分 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____．若分式值为零，则的值为_____． 10. 等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形周长为___________． 11. 的最简公分母是_____________． 12. 如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____（写出一个即可）． 13. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 14. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定的依据是______． 15. 如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为____． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 三、解答题：（本大题共68分，第17—19题每题5分，第20题，每题5分，21题5分，第22—25题，每题6分，第26题9分，第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 化简：． 18. 计算：． 19. 化简：． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 22. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 23. 在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称类机器人）与遥控机器人（以下称类机器人）在同一条全长的赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： *A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维修时间）； *B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维修时间）的1.2倍． 已知比赛中，一台A类机器人起跑后保持匀速，速度是这台B类机器人的1.5倍，中途因故障原地维修10min，维修后匀速跑至终点，维修前后速度不变；一台B类机器人全程保持匀速，途中没有维修．最终这两台机器人的完赛成绩相同．求这台A类机器人的速度和这台B类机器人的速度． 24. 如图所示，，，，点B、D、E在同一直线上，求证：． 25. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”， 例如：；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， 例如：．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式， 例如：； （1）请根据以上信息，任写一个真分式：_____； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式，即_____； （3）如果分式的值为整数，求的整数值． 26. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 27. 已知：在中，、是的两条角平分线，、交于点F． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $