北京市海淀区中国人民大学附属中学2026-2027学年上学期八年级数学期中试卷

2026～2027学年度第一学期初二年级期中练习 数学 说明：本试卷共三道大题28道小题，共4页，满分100分，练习时长100分钟． 请在答题纸的密封区域内填写个人信息，请将答案全部填涂在答题纸上． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承．下列纹样中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．3 cm，5 cm，8 cm B．3 cm，5 cm，9 cm C．3 cm，6 cm，8 cm D．3 cm，6 cm，9 cm 3．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若．则的大小为（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即，过角尺顶点C的射线便是的平分线．上述做法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA 6．若，，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，，分别是的高和中线，，，，则的长为（ ） A．0.5 B．3 C．1 D．2 8．如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，，，则的周长为（ ） A．5 B．6 C．6.5 D．7 9．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 10．已知，给出下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 11．若等腰三角形的周长是20，一腰长为7，则这个三角形的底边长是_______． 12．在平面直角坐标系中，已知点与点关于x轴对称，则_______． 13．如图，，若，，则的大小为_______． 14．展开后不含x的一次项，则a的值是_______． 15．在等腰三角形中，，则的大小为_______． 16．如图，在中，，．分别以点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交于点D，连接，则的大小为_______． 17．如图，在中，于D，，，M，N分别是和上的动点，则的最小值为_______． 18．利用可求某些整式的最值．例如，，由知，当时，多项式有最小值2．对于多项式，当_______时，该多项式取得最小值． 19．如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的大小为_______． 20．如图，在中，，的角平分线和的邻补角的平分线相交于点D，交于点P，交的延长线于点F，过点D作交的延长线于点G，交的延长线于点E，连接并延长交于点H，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确的结论为_______ 三、解答题（第21至26小题，每小题6分；第27至28小题，每小题7分．共50分） 21．化简：（1）；（2）． 22．已知，求的值． 23．已知：如图，是等边三角形，D，E分别是，上的点，，与交于点P，于点Q． （1）求证：； （2）求的大小． 24．如图，在和中，，与相交于点O， （1）求证：平分； （2）若，，求的面积． 25．阅读材料：已知，，求的值． 解：． 参考上面的方法求解下列问题： （1）若，，求的值； （2）如图，已知长方形的周长为12，正方形与正方形的面积之和为20．连接，，． ①求长方形的面积；②求的面积． 26．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． （1）求证：； （2）若，，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 27．课堂上，我们探究过三角形中角平分线的交点．数学学习小组的同学们课下继续思考了下列问题． （1）问题1：如图1，已知，分别是的内角，的平分线，设，则的大小为_______． （2）问题2：如图2，在中，平分交于点D，，垂足为E，如果，，，求的面积． 28．对于平面直角坐标系中的线段及点P，给出如下定义：如果点P满足，那么点P就是线段的“关联点”．其中，当时，称P为线段的“远关联点”；当时，称P为线段的“近关联点”，当时，称P为线段的“强关联点”． （1）如图1，当点A，B坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有________． （2）如图2，点A的坐标为，点B在x轴正半轴上，．如果点P为线段的“远关联点”，那么点P的纵坐标t的取值范围是________． （3）点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段的“强关联点”，若，，则所有点P构成的区域的面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年度人大附中第一学期初二年级期中数学答案 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 3 6 7 8 9 10 D D O D 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 11.612.113.100°14.-115.20°或50°16.60°17.318.-1 19.30°20.①②8④ 三、解答题（第21至26小题，每小题6分；第27至28小题，每小题7分.共50分） 21.1)（-2(xy=4x.2(x-20x+2x+4)=-8 2.~(2a-y°+6a(a+1）-(3a+2)(3a-2)=a2+2a+5 .a2+2a-2026=-1 a2+2a+5=2030 23.（1)证明： :△ABC是等边三角形 ∴.AB=AC,∠BAC=∠C=60° 在△ABE和△CAD中 AB=CA ∠BAE=∠C AE=CD ∴.△ABE≌△CAD(SAS) ∴.∠ABE=∠CAD (2)由(1)得∠ABE=∠CAD, ∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° BQ⊥AD,∴∠BQP=90°， 在Rt△BPO中，∠EBQ=30° 24.(1)证明：∠C=∠D=90°， ∴.∠COB+∠OBC=90°.∠DAO+∠DOA=90°. :∠COB=∠DOA, ∴.∠OBC=∠DAO. ∠C=90°， ∴.∠OBC+∠BOC=90°，∠ABC+∠BAC=90°， :∠BOC=∠ABC, ∴.∠OBC=∠BAC, .∠BAC=∠DAO, .AC平分∠BAD. (2)解：延长BC交AD延长线于点F, B :∠ACB=∠ADB=90°，∠BOC=∠AOD, .180°-∠C-∠BOC=180°-∠D-∠AOD,∠BDF=180°-∠ADB=90°， ∴.∠OBC=∠OAD 在△BDF和△ADO中， ∠FBD=∠DAO BD=AD ∠BDF=∠ODA .△BDF≌△ADO(ASA) .BF=AO, ,∠ACB=90°， .∠ACF=180°-∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠ACF, 由(1)∠CAB=∠CAF, 在△ACB和△ACF中， [∠ACB=∠ACF AC=AC ∠CAB=∠CAF .△ACB≌△ACF(ASA) ∴.CF=CB=3, .BF=2CB=6, .AO=BF=6. 2SAM0=40:BC=x6×3=9 25.(1)解：x+y=8,x2+y2=40 .(x+y=x2+2xy+y2=64 .xy=12 (2)解：①设AB=m,BC=n, 长方形ABCD的周长为12， .2m+2n=12,即m+n=6, '正方形ADEF,ABGH的面积和为20， .m2+n2=20 由(m+n)=m2+n2+2m得，36=20+2m, ∴.mn=8, 即长方形ABCD的面积为8： ②根据题意可得CE=CG=m+n,GH=AB=AH=m,BC=EF=AF=n, 根据①可得m+n=6,mn=8,长方形ABCD的面积为8， ∴S△cFH=(S正方形HBGH十+S正方形HDEF+S长方形HBcD+S△MFH)一(S△cHG+S△CEF） s8-j6a+oa+时 -28m-( 1 =28+二×8-二×62 202 =28+4-18 =14. 26.(1)证明：DF=CD,DE⊥CF,FE=CE (2)证明：作DN⊥AC于点N, B D ∴.∠DNC=∠DBF=90°， :∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180°， .∠BFD=∠DCN, .DF =CD. ∴.△DBF≌△DNC(AAS) .DB=DN, .DN⊥AC,∠B=90° AD平分∠BAC, .∠DAB=∠DAC: (3)MF=4 作MP⊥AB于点P,作M0⊥AC于点Q, B M :AD平分∠BAC, :.MP=MO. L AF-MP AF SAAMC 1 AC·MQ AC SAAMEFM 同理：S△MC CM AF FM AC CM. 由(2)知， △DBF≌△DNC(AAS) .BF=NC. AC=6BF, ∴.AC=6NC. AN 5 .AN=5NC.AC 6, :∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD, ∴.△ADB≌△ADN(AAS) .AN=AB=5NC.AF=AB-BF=5NC-NC=4NC. :4F=4_2FM AC 6 3 CM, 设FM=2k,CM=3k, 则CF=5k, ∴.FE=CE=2.5k. ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1. k=2, ∴.MF=2k=4」 27.(1)解：由题意可知 BDC=90°+5LA∠BDC=a.LA=2LBDC-909)=2a-180 2 (2)解：如图2，在CA的延长线上取点F使得∠ABF=∠ABC, 图2 则AB、CD分别是△FBC的内角∠FBC、∠FCB的平分线， :∠BDC=90°+1∠F 2 :∠ADC=45°， .∠BDC=180°-∠ADC=135°」 由(1)可知，∠F=2×135°-180°=90°，即BF为△ABC的边AC上的高， :AE⊥BC, .∠AEB=90°=∠F, 在△ABF和△ABE中， ∠F=∠AEB=90° ∠ABF=∠ABE AB=AB .△ABF≌△ABE(AAS) .BF=BE, .BE=6,AC=5, 54c-8F-x5x6-15 2 28.1)B,B(2)t>6或t<-3(3)16