1.5.1 全称量词与存在量词教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.1　全称量词与存在量词

一、教学目标

1．通过实例，理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词，培养学生的数学抽象核心素养。

2．了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养。

3．会判断全称量词命题、存在量词命题的真假，强化逻辑推理核心素养。

二、教学重难点

教学重点：全称量词和存在量词的意义，以及全称量词命题和存在量词命题真假的判定。

教学难点：全称量词命题和存在量词命题真假的判定。

三、本节内容和内容解析

本节课是第一章“集合与常用逻辑用语”的收尾内容，属于整套教材的“预备知识”部分。教材从含有限定短语的语句能否成为命题入手，引出全称量词与存在量词，给出它们的符号表示，进而定义全称量词命题与存在量词命题，并研究这两类命题真假的判定方法。学好本节课，有助于学生完成从自然语言到符号语言的抽象过渡，为后续用“任意”“存在”来表述和判断数学结论打好逻辑基础。

四、学情分析

学生在初中阶段已经接触过命题，会判断命题的真假；上一节又学习了充分条件与必要条件的判断，对逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容的兴趣较浓。但是，全称量词、存在量词对学生来说是陌生的，从自然语言到符号语言的抽象过渡存在一定障碍，对“任意”所辖的全部情形与“存在”所辖的部分情形把握不准，是判断命题真假时出错的主要原因。教师可以抓住学生的好奇心，通过丰富的实例，让学生在对比中体会量词的含义。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件与学案，将导入的四个语句、例题及跟踪练习制成幻灯片。

学生准备：预习教材全称量词与存在量词部分，回顾命题的概念及充分条件、必要条件的判断方法。

六、教学过程设计

（一）情境导入

教师活动：出示下列语句，并提问：下列语句是命题吗？请同学们观察（1）和（3）、（2）和（4），它们之间有什么关系？

（1）；

（2）是整数；

（3）对所有的，；

（4）对任意一个，是整数。

师生活动：学生经过思考，根据命题的定义得到结果：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。它们之间的关系是：后者比前者多了“所有的”“任意一个”这样的量词短语，通过这些量词对变量的取值范围进行限定，使原来不是命题的语句成为了可以判断真假的命题。

教师总结：用短语“所有”“任意一个”对变量进行限定后，使原来不是命题的语句成为可以判断真假的语句。

【设计意图】通过对比，激发学生对“所有”这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念。

（二）新课讲授

探究点一　全称量词与全称量词命题

教师活动：结合导入实例讲解并板书：

（1）全称量词：短语“所有”“任意一个”“任给”“每一个”等，在指定范围内表示整体或全部的含义，这样的短语叫作全称量词，用符号“∀”表示；

（2）全称量词命题：含有全称量词的命题叫作全称量词命题；

（3）符号简记：对可取值范围为M的变量x，p(x)是关于x的一个语句，“对M中任意一个x，p(x)成立”用符号简记为。

学生活动：在学案上完成定义记录，并把导入中的语句（3）（4）改写成符号形式。

讲解：语句（3）可简记为，它是假命题，因为时不成立；语句（4）可简记为，它是真命题。

【设计意图】通过问题探究，使学生深入理解全称量词与全称量词命题的概念，培养数学抽象的核心素养。

例1　判断下列全称量词命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

（2）；

（3）对任意一个无理数，也是无理数。

解析：

（1）2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题；

（2）对任意，总有，因而，所以全称量词命题“”是真命题；

（3）是无理数，但是有理数，所以该全称量词命题是假命题。

练习　判断下列全称量词命题的真假：

（1）每个四边形的内角和都是360°；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）。

答案：

（1）真命题。由多边形内角和定理，任意四边形的内角和都等于360°，即对每一个四边形结论都成立；

（2）假命题。负数没有算术平方根，如就没有算术平方根；

（3）假命题。当时，是有理数，举出一个反例即可。

【设计意图】通过丰富例子使学生理解全称量词的意义，并突破全称量词命题的真假判断这一难点。

探究点二　存在量词与存在量词命题

教师活动：出示下列语句：