1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版普通高中教科书《数学》必修第一册第一章  集合与常用逻辑用语  1.5  全称量词与存在量词  1.5.2  全称量词命题和存在量词命题的否定

教学目标

1．通过实例归纳含有一个量词的命题与其否定在形式上的变化规律，理解全称量词命题的否定是存在量词命题、存在量词命题的否定是全称量词命题，体会两类量词命题互为否定、真假必然对立的关系。

2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定，熟练掌握“改变量词、否定结论”的改写方法，规范书写否定形式（含省略量词、含参数两类情形），并能借助“一真一假”快速判定否定的真假。

3．经历由具体实例到一般形式的归纳过程，渗透数学抽象与逻辑推理核心素养，养成严谨规范、一丝不苟的逻辑书写习惯，感受数学语言精确表达的力量。

教学重点

理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义；掌握两类量词命题否定形式的规范写法（改变量词、否定结论，取值集合保持不变），并能正确判断否定命题的真假。

教学难点

根据含量词命题的真假求参数的取值范围；识别并改正“只否定结论、不更换量词”的错误写法，尤其是含参数命题与省略量词命题的否定转化。

教材分析

本节内容选自人教A版普通高中教科书《数学》必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》第1.5节《全称量词与存在量词》的第二课时。教材在1.5.1已介绍全称量词、存在量词及两类量词命题结构的基础上，把“命题的否定”作为独立环节展开：先由简单命题的否定落实“一个命题和它的否定只能一真一假”这一基本事实，再通过两则探究分别呈现全称量词命题与存在量词命题的否定形式，引导学生自主观察并归纳出“改变量词、否定结论”的统一方法，最后以教材例3、例4、例5及第31页练习完成规范书写与真假判定的强化。

教材采用“猜想—归纳—应用”的编排，符合高一学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知规律；例题兼顾显性量词命题、含参数命题与省略量词的隐性情形，为教学提供了充分载体。本节课在教材编排逻辑上承上（1.5.1的量词知识）启下（含参恒成立问题、存在性问题的反面逻辑），是整个逻辑用语板块的核心枢纽，教学中必须落实“量词互换与结论否定两步同时到位”的硬要求。

学情分析

学生在1.5.1中已经学习了全称量词、存在量词的概念与符号表示，掌握了两类量词命题的结构，能判断“全称一假即假、特称一真即真”，对用数学符号表示数学命题并不陌生，这为本节课的探究提供了有力支撑和保障；教材中许多数学知识也来自生活，数学的应用意识与建模意识在本班已有初步体验。

与此同时，高一学生的逻辑转换能力仍偏弱，最容易出现的典型误区有：把量词命题的否定与普通命题的否定混为一谈，只否定结论而不更换量词；面对“可以被5整除的整数，末位是0”这类省略量词的命题不会主动挖掘隐含量词；含参数情形下分不清量词作用的对象；不会借助“一真一假”转化真假判定，仍旧逐一代入验证。

教学中应多用具体实例与直观图形支撑抽象的形式变化，给学生固定的四步操作流程“判类型—换量词—否结论—判真假”，并为含参突破提供清晰脚手架，降低学生跨越抽象台阶的难度。

教学过程

教学内容

设计意图

【情境引入】2026年6月30日，深圳大学“深大讲坛”第225讲开讲，中国科学院院士、山东大学讲席教授刘建亚作“哥德巴赫猜想”报告：他与学生李嘉旻创造性地提出介于“1+1”与“1+2”之间的“1+a”新命题，并实现了“1+1.9”的无条件突破，这是1966年以来该领域最重要的进展。

【数学追问】哥德巴赫猜想断言“任意大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”，这是一个全称量词命题。要推翻它，只需找到“一个”不能表示成两个质数之和的偶数——它的否定恰恰是一个存在量词命题。数学最前沿的进展，正是这样由“任意”与“存在”的对话推动的。

【回顾旧知】观察数轴（如图1），请你说说命题p：3的相反数是-3，与命题q：3的相反数不是-3，这两个命题之间是什么关系？它们的真假性如何？

图1  数轴上 3 与 -3 互为相反数

【提示】命题q是命题p的否定；命题p为真命题，命题q为假命题，p与q真假相反。

【师生活动】教师呈现数轴与两个命题，学生先独立思考，再同桌交流并指图说明；最后由教师归纳：两个命题恰好相反，一真一假。由此引出本节课的研究任务——含有一个量词的命题究竟该怎样否定。

以2026年数论前沿的真实进展创设情境，把抽象的量词逻辑与数学最前沿的问题直接挂钩，激发探究欲望；用数轴上3与-3这对学生早已熟悉的相反数唤起“相反”的经验，顺势引出“命题的否定”，为学习两类量词命题的否定搭桥。

探究点1  简单命题的否定与全称量词命题否定形式的提出

【问题引入】写出下列命题的否定，并说明理由。

（1）56是7的倍数；

（2）空集是集合A的真子集，其中。

【提示】（1）56不是7的倍数；（2）空集不是集合A的真子集。

【师生活动】学生尝试口述否定；教师追问：“否定”是对结论的否定，还是对整个命题的否定？学生对比两句话的真假，体会命题与其否定恰好一真一假。

【详细过程】一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记作。一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，即一真一假。

从学生熟悉的简单命题入手，先落实“一真一假”的基本事实，再过渡到全称量词命题；借助矩形与平行四边形的关系（图2）把“所有……都”与“存在一个……不”在图形上找到对应，使抽象的形

【再探究】教材第29页探究：写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上的变化。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）。

图2  矩形是特殊的平行四边形

【归纳】三者的否定分别是：存在一个矩形不是平行四边形；存在一个素数不是奇数；。形式上的变化是：全称量词换成存在量词，同时结论取否定，即“改变量词、否定结论”。因此，全称量词命题的否定是存在量词命题：

的否定是。

式变化有直观支撑，落实直观想象与数学抽象素养。

探究点2  存在量词命题的否定

【问题引入】教材第30页探究：写出下列命题的否定，并观察它们与原命题在形式上的变化。

（1）存在一个实数的绝对值是正数；（2）有些平行四边形是菱形；（3）。

【师生活动】学生独立完成后先在小组内比对，教师追问：“存在一个……是”与“有些……是”在否定时分别变成什么？引导学生抓住“并非所有都成立”与“所有都不成立”的区别。

【详细过程】三者的否定分别是：所有实数的绝对值都不是正数；每一个平行四边形都不是菱形；。形式变化同样是“改变量词、否定结论”：存在量词换成全称量词，同时结论取否定。因此，存在量词命题的否定是全称量词命题：

的否定是。

【对比归纳】两类量词命题互为否定（如图3）：无论哪一种否定，取值集合M始终不变，改变的只有量词和结论。

与探究点1对照着做，让学生发现两类否定形式的对偶性，在比较中形成结构化认识；用图3把零散结论结构化，体会逻辑的对称美，发展数学抽象与逻辑推理素养。