1.5.1 全称量词与存在量词教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版 1.5.1 全称量词与存在量词 教学设计-2026-2027学年 数学 高一 必修第一册

一、课型

二、学习目标

1. 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能识别命题中的量词，知道量词对变量取值范围的限定作用，发展数学抽象素养。

2. 能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学命题，会用符号“∀”“∃”将全称量词命题简记为，将存在量词命题简记为，体会符号语言的简洁性与准确性。

3. 掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法，能结合方程、不等式与几何图形说明判断理由，初步形成“举反例”“找实例”的推理意识，发展逻辑推理素养。

三、学情分析

本章内容属于“预备知识”。学生在本章前几节已经学习了集合的概念、集合间的基本关系与集合的基本运算，上一节学习了充分条件与必要条件的判断，能判断简单命题的真假，对于逻辑用语有了一定的了解，所以学生学习本节内容还是比较感兴趣的。但是对于全称量词、存在量词是陌生的，因此会有较强的好奇心。学生的困难主要有三点：一是不习惯“量词限定变量取值范围”这一视角，容易把“存在一个”误解为“只有一个”；二是对符号∀、∃比较陌生，书写时容易漏写变量、漏写逗号；三是判断真假时只凭印象，不会主动构造反例或实例。教师可以抓住学生的好奇心，通过丰富实例，让学生在“生活语言—数学语言—符号语言”的三级转化中体会量词的含义。

四、教学重点与难点

教学重点：通过生活和数学中的丰富实例，了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题，提升数学抽象核心素养。

教学难点：全称量词命题和存在量词命题真假的判定，关键是理解“举出一个反例即可判定全称量词命题为假”“找到一个实例即可判定存在量词命题为真”的判定逻辑，强化逻辑推理核心素养。

五、教学方法与素养落点

（一）教法与学法

教法：情境导入法、实例归纳法、问题链驱动法。以“理发师悖论”制造认知冲突，用一组结构相同、只差量词的语句引导学生自己抽象出两类量词。

学法：观察—比较—归纳—表达。学生经历“补量词、换量词、写符号、判真假”四个步骤的活动，在活动中完成概念的自我建构。

（二）核心素养落点

1. 数学抽象：从“所有”“任意一个”“存在一个”“至少有一个”等具体语句中抽象出全称量词与存在量词，并用符号∀、∃表示。

2. 逻辑推理：由实例归纳两类命题的含义，通过“举反例”“找实例”完成真假判断，并说清每一步的理由。

3. 数学运算：在判断与方程、不等式有关的命题真假时，通过求解方程、解不等式获得判断依据。

4. 数学建模：把生活中“全部”“部分”的现象转化为含量词的命题，用数学语言刻画现实情境。

六、教学过程及教师活动设计

1. 创设情境，引发冲突。（约4分钟）

教师讲述“罗素理发师悖论”：某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的——“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀——你们说他能不能给他自己刮脸呢？

学生活动：小组讨论一分钟。学生发现：如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，按广告词他就应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他又属于“给自己刮脸的人”，按广告词他就不该给自己刮脸。两种假设都导致矛盾。

教师点拨：这个悖论的“结”，就在广告词里“所有”“只给”这类表示范围的词语上。数学中也有这样一类词，它们限定了一个语句中变量的取值范围，直接决定语句能否判断真假。今天我们就来系统地认识它们。（板书课题）

【设计意图】用经典悖论制造认知冲突，让学生在“讲不通”的体验中感受量词的必要性，激发学习兴趣，同时渗透逻辑严谨性的教育。

2. 实例探究，归纳概念。（约10分钟）

探究一：教师投影出示下列语句，提问：它们是命题吗？比较(1)与(3)、(2)与(4)，它们之间有什么关系？

(1) ；　(2) x能被2和3整除；

(3) 存在一个，使；　(4) 至少有一个，x能被2和3整除。

预设：(1)(2)含有未知变量x，无法判断真假，不是命题；(3)(4)是命题。

预设：(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句；(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(4)变成了可以判断真假的语句。

探究二：再看一组语句：(1) ；(2) 是整数；(3) 对所有的，；(4) 对任意一个，是整数。

预设：(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题；这一次起限定作用的是“所有的”“任意一个”。

归纳新知（教师板书，学生复述）：

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为。

教师结合图1说明：全称量词相当于要求“集合M中的每个元素都要检验”，存在量词相当于“在集合M中找到一个元素即可”，量词的本质是对变量x的取值范围作出限定。