1.5.1 全称量词与存在量词教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版 1.5.1 全称量词与存在量词 教学设计-2026-2027学年 数学 高一 必修第一册

一、课型

二、学习目标

1. 通过“所有”“任意”“存在”“至少有一个”等生活与数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义，能准确判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题，会用符号“”“”简记两类命题，发展数学抽象素养。

2. 通过对具体命题真假的判定，经历“逐一验证、举出反例、找出一个”的思维过程，掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法，发展逻辑推理素养。

3. 能把“含参命题为真”转化为关于参数的不等式（组）求解，体会量词命题与集合、不等式之间的内在联系，提高数学思维的严密性。

三、学情分析

本章内容属于“预备知识”。学生在初中阶段已经接触过命题，会判断一个命题的真假；上一节又学习了充分条件与必要条件，对逻辑用语有了一定的了解，因此学习本节的兴趣较浓。但全称量词、存在量词对学生而言是全新的符号语言，“”“”的书写与辨认容易混淆；学生也习惯于“验证一个例子就下结论”，而全称量词命题为假只需一个反例、为真却要逐一无例外，这种思维落差是本节的主要障碍。此外，遇到“正方形都是矩形”这类省略量词的语句，学生往往看不出其中隐含的全称量词。教学中宜先用生活实例“喂”出量词的含义，再借助符号简记把自然语言与符号语言对应起来，最后通过反例辨析和含参问题让学生体会两类命题真假判定的差异。

四、教学过程及教师活动设计

1. 创设情境，引入概念。

教师带领学生回顾命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。随后依次给出四个语句：（1）；（2）；（3）对任意实数 ，；（4）存在实数 ，使 。提问：这四个语句都是命题吗？

预设学生回答：（1）（2）不是命题，因为 的取值不确定，语句的真假无法判断；（3）（4）是命题，因为语句中加上了对 取值范围的限定，可以判断真假。教师追问：

（3）（4）中的“对任意”“存在”对 的取值作了什么限定？学生回答后教师指出：这类对变量取值范围作出限定的短语，就是本节课要研究的量词。

教师接着讲述“理发师悖论”的情境：某城一位理发师的广告词写道“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸”。提问：广告词中的“所有”还可以换成哪些词语？预设回答：任意一个、每一个、一切、凡是、任给。教师追问这些词语的共同含义，学生归纳：都表示某个范围内的整体或全部。设计意图：以生活中的量词为起点，让学生在语言经验中体会“全称”的含义，为符号化作准备。

2. 归纳定义，明确要素。

教师给出四个语句：（1）所有的正方形都是矩形；（2）对每一个实数 ，都有 成立；（3）对任意一个无理数 ， 也是无理数；（4）存在一个实数 ，使 。请学生指出哪些语句中含有表示“整体或全部”的短语，并说明这些语句能否判断真假。预设学生回答：（1）（2）（3）中含有全称量词，（4）中含有存在量词。

教师板书定义：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“一切”“任给”“凡是”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。教师进一步说明符号简记：把“对 中任意一个 ， 成立”简记为“，”，其中 是 的取值集合。

追问：语句“正方形都是矩形”中没有出现全称量词，它是不是全称量词命题？预设学生回答：是，它的意思是“所有的正方形都是矩形”，只是省略了“所有的”。教师强调：判定时要特别注意省略量词的全称量词命题，理解含义时应先把量词补出来。

活动：判断语句（2）（3）的真假。预设回答：（2）是真命题，因为任何实数的平方都非负；（3）是假命题，取 ， 是无理数，但 是有理数。教师归纳判定方法：要判断全称量词命题“，”是真命题，必须对 中的每一个元素 验证 成立；要判断它是假命题，只需在 中举出一个元素 ，使 不成立。举反例是判定全称量词命题为假的最有效方法。

3. 类比探究，再识存在。

教师给出四个语句：（1）；（2） 能被 和 整除；（3）存在一个 ，使 ；（4）至少有一个 ， 能被 和 整除。提问：（1）与（3）、（2）与（4）各有什么关系？预设学生回答：（1）（2）中含有变量且未限定取值范围，不是命题；（3）用“存在一个”、（4）用“至少有一个”对 的取值作了限定，都成为可以判断真假的命题。

教师板书定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。常见的存在量词还有“有些”“有一个”“

对某些”“有的”等。教师说明符号简记：把“存在 中的元素 ，使 成立”简记为“，”。

活动：判断下列存在量词命题的真假。（1）有一个实数 ，使 ；（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形。预设回答：（1）假，因为 ，不存在这样的实数；（2）假，因为平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不可能相交；（3）真，正方形既是平行四边形又是菱形。教师归纳：要判断存在量词命题“，”是真命题，只需在 中找到一个元素 ，使 成立；要判断它是假命题，必须对 中的每一个元素 验证 都不成立。

表1　全称量词命题与存在量词命题的对比

教师引导学生对照表格总结：两类命题的判定思路恰好相反——全称量词命题“假易真难”，存在量词命题“真易假难”，判断时应先看量词，再决定是“举反例”还是“找一例”，两种方法都要求说清所举元素属于集合 。

4. 例题精讲，巩固应用。

例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）存在一个实数 ，使 ；（3）至少有一个整数 ，使 是偶数。

解析：（1）含有全称量词“所有的”，是全称量词命题。取 ， 是素数但不是奇数，故为假命题。（2）含有存在量词“存在一个”，是存在量词命题。因为对任意实数 都有 ，所以 ，方程 无实数解，故为假命题。（3）含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题。取 ，则 是偶数，故为真命题。

例2　用符号“”或“”简记下列命题，并判断它们的真假：（1）对任意实数 ，；（2）存在实数 ，使 。