1.5.1 全称量词与存在量词 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册
学科 | 数学 | 课题 | 1.5.1全称量词与存在量词 | 课时 | 1 |
教学目标 （核心素养）
| A.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词。 B.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性。 C. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算概括、转化的能力。 | ||||
教学过程 | 一、情景引入，温故知新 探究一 全称量词命题的含义 思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的x (4)对任意一个x 【答案】（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. （1）全称量词及表示: 定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。 表示：用符号“ （2）全称量词命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 例1.判断下列全称量词命题的真假 (1) 所有的素数都是奇数; (2) (3) 对每一个无理数x,x2也是无理数 | ||||
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| 思考：如何判断全称量词命题的真假？ 【解析】若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 练习1 判断下列全称量词命题的真假． (1)每个四边形的内角和都是360。； (2)任何实数都有算术平方根； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x3是无理数． 探究二 存在量词命题的含义 思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 【解析】(1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是 关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 存在量词命题的定义 （1）存在量词及表示: 定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示：用符号“∃”表示。 （2）存在量词命题及表示： 定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 例2判断下列存在量词命题的真假. |
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| (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 思考：如何判断存在量词命题的真假 要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题. 练习2 判断下列存在量词命题的真假． (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； (3) ∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数． 三、巩固练习 例3 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)有理数都能写成分数形式； ∀x∈Q，x能写成分数形式 (2)实数的平方大于0； ∀x∈R，x2>0 (3)存在这样的实数它的平方等于它本身； ∃x∈R，x2＝x (4)存在实数x，x2＋x＋1＝0． ∃x∈R，x2＋x＋1＝0 四、小结 1、（1）全称量词、全称量词命题； （2）存在量词、存在量词命题。 五、布置作业 课堂作业：课本31页1,2题 家庭作业：1.优化设计相应练习 2.预习1.5.2 3.整理笔记 |
教学方法 | 讲授法，小组讨论，对比教学，练习巩固 |
教学重难点 | 通过生活和数学中的丰富实例，了解全称量词命题和存在量词命题的含义,判断全称量词命题和存在 |
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