1.1.1 空间向量及其线性运算教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算

一、教学目标

1．类比平面向量的概念，经历将向量由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，理解空间向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线向量（平行向量）等概念，会用有向线段正确表示空间向量.

2．类比平面向量的加法、减法与数乘运算，掌握空间向量线性运算的法则与运算律，会用"首尾相接"法则求空间多个向量的和，并能说明加法交换律、结合律在空间中仍然成立.

3．理解空间向量共线的充要条件与共面向量的充要条件，初步会用它们判断三点共线、四点共面等简单的立体几何问题，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象等核心素养.

二、教学重难点

教学重点：空间向量及其相关概念；空间向量的线性运算及其运算律；空间向量共线、共面的充要条件.

教学难点：空间向量加法结合律的证明；空间向量共面的充要条件及其简单应用.

三、本节内容和内容解析

本节内容主要包括：空间向量的概念与表示，空间向量的模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线向量（平行向量）等相关概念；空间向量的加法、减法与数乘运算（统称线性运算）及其运算律；空间向量共线的充要条件与共面向量的充要条件.

向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间向量的线性运算法则与运算律和平面向量具有一致性.学习本节内容的主要方法是类比：类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算.教学中要充分关注这种学习的可迁移性，鼓励学生自主梳理平面向量的学习内容与方法，并将其推广到空间，从中体会数学抽象、逻辑推理与直观想象的思想方法，为后续利用空间向量解决立体几何问题打好基础.

四、学情分析

学生已具备"立体几何初步"的知识基础，认识了空间直线、平面的位置关系，并系统学习过平面向量的概念与线性运算，将向量的概念与运算从平面推广到空间并不困难，但仍需一步一步地进行.由于研究范围已由平面扩展到空间，而我们研究的是自由向量，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不共线的向量确定的不是一个平面，而是无数个互相平行的平面，这些都需要学生对向量有新的理解.另外，虽然空间向量的运算与运算律在形式上与平面向量一致，但其几何表示更为丰富，学生需要在空间图形中进一步体会运算法则、验证运算律，从而提高空间想象力，发展直观想象的数学学科核心素养.

五、教学准备

教师准备：多媒体课件与实物投影仪；长方体木质教具、细杆与橡皮筋（用于演示向量的平移与共面）.

学生准备：复习平面向量的概念、线性运算法则与运算律，预习教材本节内容，初步思考"如何把平面向量推广到空间向量".

六、教学过程设计

(一)创设情境，导入新课

教师活动：出示引导语——通过"平面向量及其应用"的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在"立体几何初步"中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中的点、直线、平面等基本元素，通过空间向量的运算解决立体几何问题？

接着出示长方体教具并演示一枚棋子在桌面上的平移，再演示其在空间中沿"斜向"的一次移动，提出问题：这一位移既有大小又有方向，还能用平面内的向量来表示吗？

学生活动：回顾平面向量的概念与线性运算，观察长方体模型，感受空间中"既有大小又有方向的量"的广泛存在，明确本节课的任务——类比平面向量研究空间向量.

【设计意图】从已学的平面向量与立体几何知识出发制造认知迁移的"最近发展区"，让学生沿着"推广"的路径自然进入新课，渗透类比思想.

(二)新课讲授

探究一：空间向量的相关概念

教师活动：1．类比平面向量给出定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector）.向量的大小叫做向量的长度或模.2．引导学生用有向线段表示向量：以A为起点、B为终点的有向线段表示的向量记作，也可用一个小写字母表示，其模记作，也可简记为.3．出示概念梳理表（见表1），逐项与平面向量对照，并追问：空间中的零向量、单位向量与平面内的情形有何联系？

表1 空间向量的相关概念

想一想：空间中的任意两个向量是否共面？任意三个向量呢？（提示：任意两个向量都可以平移到同一个平面内，所以任意两个向量均共面；但三个向量不一定共面.）

学生活动：完成表1的口头填空；同桌合作，在长方体模型上分别指出一对相等向量、一对相反向量、一对共线向量，并用"平移后完全重合"来解释"相等".

【设计意图】通过类比与表格梳理，把零散概念结构化；借助实物模型把"方向相同"具体化，发展直观想象与数学抽象素养.