1.1.2 空间向量的数量积运算 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算（教学设计）

一、【教学内容解析】

1.本节课选自《普通高中教科书·数学（人教A版）选择性必修第一册》第一章“空间向量与立体几何”1.1节第2课时，是空间向量线性运算之后的核心运算课。空间向量的数量积是平面向量数量积在三维空间中的自然推广：线性运算的结果仍是向量，而数量积的结果是一个实数，这一“降维”特征使它成为把空间中的几何关系（垂直、夹角）转化为代数运算的关键桥梁，也是后续学习空间向量的其他内容、进而运用空间向量方法解决立体几何综合问题的运算基础，在整章内容中起着承上启下的枢纽作用。

2.本节的核心内容包括：空间两个向量夹角的概念、空间向量数量积的定义、数量积的性质与运算律。教学中要引导学生经历“类比—推广—辨析”的完整思维过程：类比平面向量数量积建立空间向量数量积的定义，通过运算律的验证与结合律反例的辨析深化理解，在正方体、平行六面体等典型图形中积累“选向量—表向量—算数量积”的基本活动经验。

3.数量积的物理背景十分丰富：力对物体所做的功等于力、位移的大小与夹角余弦的乘积。航天器姿态调整中发动机推力做功、机械臂作业中的做功计算等问题都是数量积的原型，这些真实情境既帮助学生理解定义的合理性，也为数学抽象、数学建模等核心素养的落实提供了载体。

二、【教学目标设置】

依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》对本节课的要求，结合教材内容与学生的认知实际，制定如下教学目标：

1.经历把平面向量数量积推广到空间向量的过程，理解空间两个向量夹角的概念与取值范围，掌握空间向量数量积的定义，能依据定义计算空间向量的数量积，发展数学抽象素养。

2.掌握空间向量数量积的性质与运算律，能运用数量积求向量的模与夹角、证明向量的垂直关系，在正方体、平行六面体等图形中体会“以算代证”的方法，发展逻辑推理、直观想象与数学运算素养。

3.通过对“数量积是否满足结合律”等问题的合作探究，感悟举反例在数学辨析中的独特作用，养成严谨求实的科学态度，激发学习兴趣、增强学习信心。

三、【学生学情分析】

学生已经系统学习平面向量的概念、线性运算与数量积运算，熟悉数量积的定义、性质与运算律，具备较好的类比迁移基础；上一课时刚学习了空间向量的概念及其线性运算，对“维数升级”已有初步体验。但学生容易把数量积与线性运算的结果属性相混淆，对“数量积不满足结合律”缺乏直观感受；在具体图形中用已知向量表示目标向量并展开数量积运算时，分解与逐项计算的规范性不足，需要通过概念辨析、反例探究与典型例题示范加以突破。

四、【教学策略分析】

本节课采用“情境引入—类比建构—辨析深化—应用提升”的教学主线。以神舟二十一号载人飞船与空间站交会对接中发动机推力做功的真实情境引出课题，突出数量积的物理原型；通过与平面向量数量积的系统类比，让学生自主完成定义与运算律的迁移，渗透类比思想；通过概念辨析题与结合律反例的合作探究，突破“结果是数量”“不满足结合律”两个易错点；通过正方体中线线垂直的证明与平行六面体对角线长度的计算两道例题，示范空间向量数量积运算的基本流程，为后续运用空间向量方法研究立体几何问题奠定运算范式。

五、【教学过程】

（一）创设情境、明确目标

情境导入：2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，并与空间站组合体顺利完成径向交会对接。飞船在接近与停靠段需要频繁点火进行姿态和轨道修正：设发动机推力为，飞船的位移为，则推力对飞船所做的功为

其中夹角是推力方向与位移方向的夹角。推力与位移都是空间中的向量，计算功需要“模与夹角相乘”的运算，这正是本节课要研究的空间向量的数量积运算。（板书课题）

知识梳理：

1.空间两个向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作=，=，则叫做向量与的夹角，记作，并规定（如图1）。特别地，当时，称向量与互相垂直，记作。

图1  空间两个向量的夹角

注意：夹角定义中两个向量必须同起点；空间中任意两个向量都是共面的，因此夹角的概念是平面向量夹角的直接沿用。

2.空间向量的数量积：已知两个非零向量、，我们把叫做向量与的数量积，记作，即

规定：零向量与任意向量的数量积为0。

注意：①两个向量的数量积是一个实数而不是向量，其符号由夹角余弦值的正负决定；②当时，；当时，。

3.数量积的性质与运算律：设、是非零向量，为实数，则

（1），即；

（2）；

（3）交换律：；

（4）数乘结合律：；

（5）分配律：。

【设计意图】以我国载人航天的最新成就创设真实情境，让学生感受数量积运算的物理原型与应用价值，激发学习兴趣与爱国情怀；通过与平面向量的系统类比完成知识建构，在辨析中强化“数量积是数量”的关键认识，发展数学抽象素养。

（二）合作探究、精讲点拨

例1 已知空间向量、满足，，，求：

（1）；（2）；（3）。

解：（1）

（2）

（3）因为，

所以。

方法点拨：求数量积要抓住“模与夹角”两个要素；求向量的模则先平方，利用把模的运算转化为数量积运算。