1.1.1 空间向量及其线性运算教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高二

学科

数学

课型

新授课

教材

人教A版（2019）普通高中数学选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何　第一节 空间向量及其运算　1.1.1 空间向量及其线性运算（教材第2页）

教学目标

1. 理解空间向量的含义，能与平面向量相区别；掌握空间向量的模及其符号表示与几何表示两种方法；理解零向量、单位向量、相等向量、相反向量等特殊空间向量，理解共线向量与共面向量。

2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘的运算法则，掌握向量加法的交换律、结合律与数乘的分配律，能在正方体、平行六面体、三棱柱等简单空间几何体中正确进行向量的线性运算。

3. 在类比平面向量、归纳空间向量的探究过程中，体会数形结合的思想，发展数学抽象、直观想象与数学运算等核心素养，增强用向量研究空间问题的意识。

教学重点

通过类比平面向量的概念归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量同样满足线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律。

空间向量的两种表示方法与几何意义；空间向量的加法、减法与数乘的运算法则。

教学难点

空间向量的线性运算在简单空间几何体中的计算和应用；空间向量“起点无关”这一自由性的直观理解与运算中的“找起点、找终点”习惯的养成。

数乘运算几何意义中“方向伸缩”与模的伸缩的辨析。

教材分析

本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章《空间向量与立体几何》第一节《空间向量及其运算》，位于教材第2页，是本节的第一课时。

教材按“概念—表示—特殊向量—位置关系—线性运算—运算律—应用”的主线编排：先由平面向量的定义类比引出空间向量的定义与模，再给出符号表示与几何表示两种方法，接着介绍零向量、单位向量、相等向量、相反向量以及共线向量、共面向量，最后研究加法、减法、数乘三种线性运算及其运算律，并以正方体、平行六面体中的向量运算为例题与变式。

教材特点十分鲜明：一是把平面向量作为认知起点，用“类比”完成从平面到空间的推广，降低了新知的认知难度；二是所有例题、变式都以简单空间几何体为载体，把抽象的向量运算落回到具体的图形背景中；三是注重运算的几何意义，平行四边形法则、三角形法则、数乘的方向与模的伸缩都配有图形。

向量是既有大小又有方向的量，是沟通代数与几何的桥梁，空间向量则是平面向量在空间中的自然延伸。本课时的概念、运算与运算律是学生后续用向量研究空间中直线、平面位置关系的基础，教学中应充分体现类比与归纳的方法主线，落实数学抽象、直观想象与数学运算等核心素养的培育。

学情分析

1. 已有基础与问题诊断

学生已在必修第二册系统学习平面向量的概念与线性运算，掌握了向量的加法、减法、数乘法则及运算律，习惯于用有向线段表示向量、只关注模与方向；已学习“立体几何初步”，能想象并画出正方体、棱柱等简单组合体的结构，对空间中点、线、面的位置关系有初步认识。这为平面向量向空间的推广提供了良好基础。

但仍存在三处认知障碍：其一，空间向量是“自由向量”，其起点可以任意选取，学生习惯于把向量等同于一条具体的线段，需要对“向量只由模和方向决定、与起点无关”形成新的理解；其二，空间向量的运算形式与平面向量完全一致，但几何表示发生在空间中，学生容易照搬平面图示，忽略“先确定起点与终点、再列式”这一关键环节；其三，立体几何体的维数增加，学生初次尝试用空间向量表示几何体中的线段时，还比较缺乏把图形元素翻译为向量的经验。

2. 本课时的学习困难

一是数乘运算的几何意义中，符号为正为负所对应的“同向”与“反向”以及模的伸缩倍数不易分开记忆，学生多凭图形硬猜，说理不完整；二是运算过程中容易遗漏中间环节，把几何关系式直接当成代数式使用。这正是本课时着力突破的方向，也是本设计把"读起点、读终点、读方向"固化为训练流程的原因。

教学过程

教学内容

设计意图

【创设情境，引入新课】

图1  滑翔伞运动情境：飞行员受到来自不同方向、大小各异的力

以滑翔伞这一真实情境创设问题，让学生真切地感到平面向量“不够用”，在认知冲突中自然产生学习空间向量的强烈需求；同时把本节课的主线明确为"类比平面向量认识空间向量"，为后续各探究点的层层类比作好铺垫。

情境：滑翔伞在滑翔过程中，飞行员受到来自不同方向、大小各异的力，如绳索的拉力、风力、重力等。

【问题提出】这些力有大小也有方向，它们能用平面向量表示吗？它们在同一平面内吗？

【学生活动】力是既有大小又有方向的量，数学上称为向量；但这些力不在同一个平面内，平面向量不够用了。

【教师引入】这些不在同一平面内的力，就是空间向量。空间向量与平面向量有怎样的关系？它的概念、表示与运算能否由平面向量类比得到？本节课我们带着这个问题，类比平面向量研究空间向量的概念及其线性运算。

【问题引入】在空间中，怎样刻画“既有大小又有方向的量”？它的“大小”又该怎样度量？

【师生活动】

（1）探究定义。类比平面向量的定义，请学生用一句话概括空间向量的定义；教师补充完善：在空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做空间向量的长度或模。

（2）探究表示。如图2，观察正方体同一顶点 引出的三条棱上的三个向量 、、，请学生说出它们的起点、终点与方向。

图2  过正方体同一顶点O的三条棱上的三个向量a、b、c

【归纳提升】空间向量有两种表示方法：①符号表示——用黑体的小写字母（或带箭头的小写字母）表示，如 a、b、c；②几何表示——用有向线段表示，有向线段的长度就是空间向量的模。

若向量 a 的起点是 A，终点是 B，则 a 也可以记作 AB，其模记作 或 。

由“滑翔伞”过渡到“正方体三条棱上的向量”，让学生在观察中自主抽象出空间向量的定义、模与两种表示方法，落实数学抽象与直观想象；追问“模与起点无关”，为理解向量起点可任意平移这一自由性埋下伏笔，本节只作直观感知，不作展开论证。