2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学人教A版选择性必修 第一册 -2026-2027学年- 教学设计 2.1.2两条直线平行和垂直的判定

一、教学内容解析

本节课选自《普通高中教科书·数学·选择性必修 第一册》（人教A版，2020年审定）第二章“直线和圆的方程”，是2.1节“直线的倾斜角与斜率”的第2课时，计划1课时完成。

上一课时，学生建立了直线的倾斜角与斜率的概念，得到了过两点的直线的斜率公式。本课时在此基础上，用斜率这一代数化的量来刻画两条直线的位置关系：把几何中的“平行”转化为斜率的“相等”，把“垂直”转化为斜率之积为−1，实现位置关系判断由“看图”到“算数”的转变。

本节课是学生进入选择性必修阶段后第一次完整经历坐标法的研究过程：从几何直观出发，经历“引入坐标—代数表达—运算确认—回归几何”的完整链条。其中蕴含的数形结合与分类讨论思想，是后续研究直线与圆、圆与圆的位置关系的通用方法，具有方法论层面的示范价值。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：两条直线平行和垂直的斜率判定条件及其简单应用。

二、教学目标设置

（1）经历“几何关系—代数表达—运算确认”的探究过程，掌握两条直线平行、垂直的斜率判定条件，能准确说明条件成立的前提（两直线不重合、斜率都存在），发展数学抽象与逻辑推理素养。

（2）能运用判定条件判断两条直线的位置关系、求参数的值，并对斜率不存在等特殊情形主动进行分类讨论，提升数学运算与直观想象素养。

（3）在“花坛放线验收”真实情境的问题解决中，体会坐标法“以数解形”的思想方法，感受数学在生产生活中的应用价值，发展数学建模素养。

三、学生学情分析

知识基础：学生已经掌握倾斜角、斜率的概念和过两点的斜率公式，知道倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，会用正切函数求斜率，具备了研究本节课的全部工具。

可能障碍：一是对判定条件的前提缺乏敏感，容易在斜率不存在的情形下误用公式，或忽略“两直线重合”的情形；二是分类讨论意识薄弱，在含参数问题中容易漏解；三是对“为什么斜率相等还必须说明不重合”缺乏代数与几何的双重理解。

基于上述分析，确定本节课的教学难点为：判定条件成立前提的准确把握，以及特殊情形（斜率不存在、两直线重合）的分类讨论。

四、教学策略分析

本节课采用“真实情境—问题链—探究建构—应用反馈”的教学策略。以学校劳动实践周“花坛放线验收”为情境主线，让判定条件的学习源于解决真实问题的需要，并通过例题、练习、作业不断回扣情境，使情境不流于点缀。

教学中坚持问题驱动与追问暴露思维：通过问题2、问题3引导学生自主推导判定条件，通过“斜率都不存在怎么办”“斜率相等就一定平行吗”等追问，把易错点前置；例题当堂板演、练习当堂反馈，实现“教—学—评”一体化。

信息技术辅助：用动态演示软件呈现倾斜角变动时斜率的对应变化，帮助学生直观理解“斜率相等对应平行”“斜率之积为−1对应垂直”的数形关联，突破抽象层。

五、教学过程

（一）情境导入（约5分钟）

情境创设：本月学校举行劳动实践周，园艺社要在校园劳动实践基地开辟一块矩形花坛。放线时，同学们先打下四根地桩，以基地平面图上的一个参照点为原点、1米长为单位长度建立直角坐标系，量得四个桩位的坐标分别为A(−1,3)、B(2,0)、C(4,2)、D(1,5)，边界线依次为线段AB、BC、CD、DA（如图1）。验收时需要确认两件事：对边AB与CD是否平行？邻边AB与BC是否垂直？

图1 花坛边界放线示意图

问题1：肉眼观察难以作出准确判断。你能利用上一课时学习的斜率知识，设计一个可操作的检验方案吗？

预设回答：建立坐标系后，分别计算各条边界线所在直线的斜率，再通过斜率之间的关系判断对应的边界线是否平行、是否垂直。

【设计意图】以真实的劳动实践任务提出数学问题，让学生感受“以数解形”的必要性；方案设计环节激活斜率公式的已有经验，为新知探究指明方向，体现数学建模素养的落地。

（二）新知探究（约15分钟）

问题2：设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2（两条直线的斜率都存在，0°≤α<180°）。用倾斜角与斜率刻画：“两条直线平行”等价于怎样的代数关系？

探究预设：若两直线平行且不重合，则它们的倾斜角相等，即，于是，也就是斜率相等；反过来，若斜率相等，即，由于斜率存在时倾斜角（0°≤α<180°且α≠90°）与斜率一一对应，可得，此时两直线平行或重合，因此还必须补充“两直线不重合”这一条件。

结论1（如图2）：两条直线不重合且斜率都存在时，两直线平行当且仅当斜率相等。