2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课  标  要  求

【内容分析】

本节课选自《普通高中教科书·数学（人教A版）选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，是在上一节学习了直线的倾斜角与斜率之后，第一次尝试用代数方法刻画两条直线的位置关系。两条直线的平行和垂直是平面内两条直线相交、平行两种位置关系中最特殊的情形，也是本章后续研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要基础。

【教材分析】

教材以"两条直线的斜率与位置关系"为主线，引导学生把初中的几何判定（同位角相等、判定垂直等）转化到坐标系下，用倾斜角和斜率这些代数量重新表述，突出坐标法"以数解形"的思想。两直线平行与垂直的讨论手段相类似，教材采用对比的方式呈现，便于学生弄清二者之间的联系与区别；同时特别指出：当一条直线的斜率不存在时，平行与垂直的判定需要单独讨论，渗透分类讨论意识。

【学情分析】

学生在初中已经会用同位角、内错角判定两条直线平行，也会用直角三角尺作垂线，对平行与垂直的几何直观并不陌生；上一课时又学习了倾斜角、斜率的概念和斜率公式，具备了"用代数量刻画直线倾斜程度"的初步经验。但学生习惯于从图形直观出发，对"斜率不存在"这一特殊情形容易遗漏，分类讨论与严谨表述的能力尚且不足。教学中宜采用对比探究、数形结合的方式，让学生在猜想、推证、辨析中完善认知结构。

教  学  目  标

【德育特色】

1、以过山车轨道的平行与垂直为情境，感受数学与工程技术的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学习兴趣与安全责任意识。

2、通过小组合作探究与对比辨析，锤炼严谨求实的科学品格，促进全面发展。

【知识技能】

1.能用倾斜角相等推证两条直线平行的斜率条件，理解两条直线平行的充要条件，并能运用其判断两条直线是否平行。

2.借助方向向量推证两条直线垂直的斜率条件，理解两条直线垂直的充要条件，并能运用其判断两条直线是否垂直。

3.会运用斜率关系解决三点共线、判断四边形形状等简单综合问题，感悟斜率不存在时的特殊情形。

【核心素养】

1.数学抽象：将"平行""垂直"的几何关系抽象为斜率之间的等量关系。

2.逻辑推理：经历"猜想—推证—辨析"的过程，体会有理有据的推理表达。

3.直观想象：借助图形分析两直线的位置关系，实现数形互译。

4.数学运算：能准确计算斜率并依据判定条件作出判断。

【教学重点】两条直线平行和垂直的判定条件及其简单应用。

【教学难点】斜率的分类讨论（斜率不存在情形的补充判定）；判定条件的逆向运用。

教  学  过  程

教 学 内 容 及 活 动设计意图

及时长

【环节一：情境导入】（出示过山车情境图，并提出问题）以学生熟悉的游乐情境激发兴趣，回顾上一课时倾斜角与斜率的知识，为用斜率研究位置关系做好铺垫。

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目。过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着；为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直。

你能从图中感受到轨道与钢筋中的平行和垂直吗？在平面直角坐标系中，上一节我们用倾斜角与斜率从"数"的角度刻画了直线相对于 x 轴的倾斜程度，那么两条直线的平行与垂直，又该用什么来刻画呢？由此引出本节课题。

图1  过山车轨道中的平行与垂直

（3分钟）

【环节二：探究新知——由斜率判断两条直线平行】经历"几何直观—代数表达—推理论证"的过程，理解平行判定的来龙去脉，发展逻辑推理与直观想象素养。

问题1：平面内两条直线的位置关系有相交、平行两种。当直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？

师生活动：教师说明"两条直线、"指的是两条不重合的直线；师生共同画图分析。

探究：如图2，若，则它们的倾斜角与相等，由，可得。

反之，当时，有，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，因此。

于是，对于斜率分别为、的两条直线、，有：。

追问1：当时，两条直线的斜率都不存在，此时它们平行吗？

学生画图讨论：此时两条直线都垂直于 x 轴，不重合时显然平行。所以当两条直线的斜率都不存在时，两条不重合的直线也平行。

追问2：若直线、重合，此时仍然有，这一结论在用斜率证明三点共线时常常用到：对于 A、B、C 三点，如果直线 AB 的斜率等于直线 AC 的斜率，且它们有公共点 A，则 A、B、C 三点共线。

图2  两直线平行，倾斜角相等

通过追问关注斜率不存在的特殊情形，渗透分类讨论意识。

（10分钟）

【环节三：例题精讲】例1巩固"平行⇒斜率相等"的正向运用与斜率公式的运算；例2示范用斜率关系判断四边形形状的规范表述，突出坐标法"以数解形"的优势。

例1  已知直线的倾斜角为45°，直线∥，且直线经过 A(−2,−1)、B(3,a) 两点，求实数 a 的值。

解：直线的斜率。因为∥，所以。

由斜率公式得，令，解得。

例2  已知四边形 ABCD 的四个顶点分别是 A(−1,3)，B(1,1)，C(3,2)，D(1,4)，试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明。

解：如图3，由斜率公式可得：

因为，所以直线 AB∥直线 DC；因为，所以直线 AD∥直线 BC。两组对边分别平行，因此四边形 ABCD 是平行四边形。