3.2.2 奇偶性 同步课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 3 章 3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性 人教A版2019必修第一册 目录 C A T A L O G 01.奇偶性的概念 02.奇偶性的判断 03.求解析式与参数 04.奇偶性与单调性 05.小结与随堂检测 导入新知 ：图象关于 轴对称 ：图象关于原点对称 问题 1　把一对相反数 x 与 −x 代入，函数值有什么共同规律？ 问题 2　图象的对称能不能用符号语言精确表述？ 3.2.2 奇偶性　·　导入与目标　·　03/48 学习目标 1．结合具体函数图象，理解偶函数与奇函数的定义，能用符号语言表述函数的奇偶性。 2．理解定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，掌握判断奇偶性的方法与步骤。 3．会由奇偶性求参数、求函数值与另一半解析式，能结合奇偶性与单调性解不等式。 3.2.2 奇偶性　·　导入与目标　·　04/48 学习目标 本讲三条线： 判断奇偶性 → 求解析式与参数 → 奇偶性结合单调性解不等式 共同前提：定义域关于原点对称；结论要对定义域内任意 x 恒成立。 常用工具：图象的对称性，以及上一节学过的单调性。 3.2.2 奇偶性　·　导入与目标　·　05/48 3.2.2 奇偶性 01 奇偶性的概念 学习新知 设函数 的定义域为 。如果对于 内 任意 的 ，都有 ， ，那么称 为 偶函数 。 图象关于 轴对称； 反过来也成立。 点 与点 都在图象上。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　07/48 学习新知 把等式右边加上负号：对于 内 任意 的 ，都有 ，且 ，那么称 为 奇函数 。 图象关于原点对称。 若 ，则 。 提醒：奇函数在 处可以没有定义。 如 的图象与 轴没有公共点。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　08/48 总结新知 名称 符号语言 图象特征 定义域要求 偶函数 f(−x)＝f(x) 关于 y 轴对称 关于原点对称 奇函数 f(−x)＝−f(x) 关于原点对称 关于原点对称 既奇又偶 f(x)＝0 关于 y 轴、原点对称 关于原点对称 共同前提：对定义域内任意 ，都有 也在定义域内。 所以定义域必须关于原点对称。 按奇偶性分四类：奇非偶、偶非奇、 既奇又偶 、非奇非偶。 若 既是奇函数又是偶函数，则 。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　09/48 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 若 ，则 是偶函数。（　） (2) 函数 是偶函数。（　） (3) 若 ，则 是奇函数。（　） (4) 函数 是奇函数。（　） (1) ×。特殊值代替不了任意： 满足 却不是偶函数。 (2) ×。 ， ，两者不等。 (3) ×。 只是必要条件； 满足它却是偶函数。 (4) √。定义域 关于原点对称， 。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　10/48 学习新知 考察 ， ： 在定义域内， 不在， 没有意义。 “对任意 都有 ” 这句话本身就无从谈起。 具有奇偶性 ⇒ 定义域关于 原点 对称。 定义域不对称 ⇒ 非奇非偶函数。 判断奇偶性，第一步不是算 ，而是看定义域。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　11/48 例题精讲 考点：奇偶性的概念辨析 例 1　下列函数中是偶函数的是（　） A． B． ， C． D． A． ，是奇函数。 B．定义域 不关于原点对称，是非奇非偶函数。 C． ， ，不恒等。 D．定义域为 ， 。 答案　D 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　12/48 变式训练 考点：奇偶性的概念辨析 变式 1　判断： 既是奇函数又是偶函数。（　） 第一步看定义域： 且 ，故 。 定义域为 ，关于原点对称，且 。 于是 与 同时成立。 答案　√。这样的函数只有 。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　13/48 方法归纳 考点：奇偶性的概念辨析 ① 一看定义域：是否关于原点对称，不对称即为非奇非偶； ② 二算 f(−x)：对定义域内任意 x 计算并化简； ③ 三下结论：把 f(−x) 与 f(x)、−f(x) 比较，恒等才成立。 特殊值只能 证伪 ，不能证真；结论要对 任意 x 恒成立。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的概念　·　14/48 3.2.2 奇偶性 02 奇偶性的判断 常用结论 常见函数的奇偶性 函数 定义域 奇偶性 y=kx+b (k≠0) R b=0 时是奇函数；b≠0 时非奇非偶 y=ax²+bx+c (a≠0) R b=0 时是偶函数；b≠0 时非奇非偶 y=c（常数） R c≠0 时是偶函数；c=0 时既奇又偶 ：奇函数； ：偶函数。 ：奇函数； ：偶函数。 定义域为 的整式函数：只含偶次项与常数项的是偶函数； 只含奇次项且不含常数项的是奇函数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　16/48 例题精讲 考点：奇偶性的判断 例 2　判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) (4) (1)(2) 定义域均为 ，关于原点对称： ，是偶函数； ，是奇函数。 (3)(4) 定义域均为 ，关于原点对称： ，是奇函数。 ，是偶函数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　17/48 变式训练 考点：奇偶性的判断 变式 2　 已知函数 ，当 时 ； 当 时 。判断 的奇偶性。 定义域 关于原点对称； 与 落在不同段，需分别验证。 当 时 ， 当 时 ， 所以对任意 都有 ， 是偶函数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　18/48 方法归纳 考点：奇偶性的判断 第一步　求定义域，检验它是否关于原点对称。 第二步　计算 f(−x) 并化简，分段要落到对应段。 第三步　把 f(−x) 与 f(x)、−f(x) 比较后下结论。 提醒：必须对任意 x 恒成立；代特殊值只能证伪，不能证明。 结论：与 f(x)、−f(x) 都不恒等，就是非奇非偶函数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　19/48 例题精讲 考点：抽象函数的奇偶性 例 3　 已知函数 对任意 都有 。 (1) 求 的值； (2) 判断 的奇偶性，并给出证明。 (1) 取 ，得 ，所以 (2) 定义域为 ，对任意 都有 。取 ： ，由 (1) 得 。 所以 是奇函数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　20/48 变式训练 考点：抽象函数的奇偶性 变式 3　 已知函数 对任意 都有 ， 且当 时 ， 。求 的值。 先判奇偶：同例 3， ， ， 是奇函数。 再求值： 所以 。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　21/48 方法归纳 考点：抽象函数的奇偶性 落点一　取 x=y=0，先把 f(0) 求出来。 落点二　取 y=−x，把等式化成 f(0)=f(x)+f(−x)。 第三步　由 f(0)=0 得 f(−x)=−f(x)，并说明 −x 也在定义域内。 提醒：赋值证明的是“对任意 x 成立”，不能代替对定义域的检查。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性的判断　·　22/48 3.2.2 奇偶性 03 求解析式与参数 例题精讲 考点：由奇偶性求另一半解析式 例 4　已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时 f(x)=x²−2x。求 f(x) 在 R 上的解析式。 设 ，则 ，代入已知段： 由奇函数 得 ； 又 。 也可写成 f(x)=x(|x|−2)。 3.2.2 奇偶性　·　求解析式与参数　·　24/48 变式训练 考点：由奇偶性求另一半解析式 变式 4　已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数。 当 时 。 (1) 求 的值；(2) 求 时 的解析式。 (1) ，由奇函数 。 (2) 设 ，则 ， 。 所以 。 3.2.2 奇偶性　·　求解析式与参数　·　25/48 例题精讲 考点：由奇偶性求参数 例 5　 已知函数 是偶函数，其定义域为 ，求 的值。 偶函数的定义域关于原点对称： ，解得 此时 。 恒成立，一次项必须为 0： ， 。 所以 。 3.2.2 奇偶性　·　求解析式与参数　·　26/48 变式训练 考点：由奇偶性求参数 变式 5　 已知函数 （ 为常数）是奇函数，求 的值。 定义域 关于原点对称。展开： ， 。 由 恒成立，比较常数项： 。 解得 。检验： 时 是奇函数，故 。 3.2.2 奇偶性　·　求解析式与参数　·　27/48 方法归纳 考点：由奇偶性求参数 ① 设所求区间内的 x，把 −x 代入已知那段，算出 f(−x)； ② 奇函数用 f(x)=−f(−x)，偶函数用 f(x)=f(−x)，回代得另一半； ③ 补上 x=0：定义在 R 上的奇函数有 f(0)=0；最后写成分段形式。 检验：把所得解析式代回 f(−x)=±f(x)，两段都要成立。 能合并时再合并，如 f(x)=x(|x|−2)。 3.2.2 奇偶性　·　求解析式与参数　·　28/48 3.2.2 奇偶性 04 奇偶性与单调性 学习新知 （偶）：两段方向相反 （奇）：两段方向相同 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性 相同 ；偶函数在两个区间上单调性 相反 。 提醒：单调区间仍要分段写，两段不能并成一个区间。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　30/48 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。（　） (2) 奇函数 在 上单调递增，则它在 上也单调递增。（　） (1) ×。反例 ：在 递增，在 递减。 (2) √。任取 ，则 ， ，故 ，在 上也递增。 奇偶性把两段的单调方向联系起来，比较时先把自变量化到同一段。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　31/48 例题精讲 考点：奇偶性与单调性解不等式 例 6　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上单调递增。若 f(2a−1)<f(3)，求实数 a 的取值范围。 偶函数 ⇒ 对任意 有 ，原不等式化为 ， ，且 在 上递增，去号得 即 。 解得 ，即 。 关键点：偶函数去号前必须先取绝对值，把两个自变量都放到 上。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　32/48 变式训练 考点：奇偶性与单调性解不等式 变式 6　已知 f(x) 是定义在 [−3,−1]∪[1,3] 上的奇函数，当 x∈[1,3] 时 f(x) 单调递增，最大值为 4。 则 在 上的单调性与最小值分别是 递增 、 −4 。 奇函数在对称区间上单调性相同 ⇒ 在 上单调递增。 在 上最大值 ，故在 上最小值 。 对称区间上的最值也成对出现：最大值与最小值互为相反数。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　33/48 方法归纳 考点：奇偶性与单调性解不等式 ① 偶函数：用 f(x)=f(|x|) 把自变量换成非负数，再用 [0,+∞) 上的单调性去号； ② 奇函数：先用 f(−x)=−f(x) 把常数吸收进 f，使两边都写成 f(t) 的形式； ③ 定义在 [m,n] 上的抽象不等式：先让各自变量落在 [m,n] 内，最后取交集。 提醒：第③步最常被跳过，漏掉定义域会得到错误的范围。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　34/48 例题精讲 考点：奇偶性与单调性解不等式 例 7　已知 f(x) 是定义在 [−2,2] 上的奇函数，且在 [−2,0] 上单调递减，f(−1)=3。解不等式 f(x−1)+3<0。 思路：吸收常数 → 统一单调方向 → 落定义域 → 去号取交集。 第一步　吸收常数：奇函数 ⇒ ， 原不等式化为 。 第二步　统一方向： 在 递减，奇函数在 上也递减； 又 ，当 时 ， 所以 在 上单调递减。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　35/48 例题精讲 考点：奇偶性与单调性解不等式 第三步　落定义域： ，解得 。 这一步写在去号之前，最后与去号结果取交集。 第四步　去号：由 与递减性得 ，即 。 取交集得 ，原不等式的解集为 。 点评：先吸收常数、再统一方向、最后落定义域；三步顺序不能颠倒。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性（续）　·　36/48 变式训练 考点：奇偶性与单调性解不等式 变式 7　已知 f(x) 是定义在 [−1,1] 上的奇函数，且在 [−1,1] 上单调递减。若 f(a−1)+f(2a)<0，求实数 a 的取值范围。 吸收常数： 即两边都写成 的形式。 落定义域： 且 ， 解得 与 。 递减去号： ，解得 。 取交集得 。 3.2.2 奇偶性　·　奇偶性与单调性　·　37/48 3.2.2 奇偶性 05 小结及随堂检测 课堂小结 奇偶性的定义 偶： ，图象关于 轴对称； 奇： ，图象关于原点对称。 前提：定义域关于原点对称。 图象与单调性 奇函数：对称区间单调性相同； 偶函数：对称区间单调性相反。 奇函数若在 有定义， 则 。 奇偶性看的是成对的自变量，单调性看的是同向的变化，两者都要落在定义域上。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　39/48 课堂小结 判断：一看定义域是否关于原点对称，二算 f(−x)，三与 f(x)、−f(x) 比较后下结论。 求式与求参：把 −x 代入已知段，用 f(x)=±f(−x) 回代；求参数靠恒等条件与定义域对称列方程。 解不等式：偶函数取绝对值化到 [0,+∞)，奇函数先把常数吸收进 f，统一单调方向后去号，最后与定义域取交集。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　40/48 题后反思 ● 只看解析式不看定义域：f(x)=x² 加上 x∈[−1,2] 就成了非奇非偶函数。 ● 用特殊值代替恒等验证：f(−2)=f(2) 说明不了偶函数。 ● 分段函数只验证一段：两段都要把 −x 落到对应的解析式上。 ● 偶函数去号忘取绝对值，直接比自变量，范围会缩小或放大。 ● 解抽象不等式漏掉定义域：先落定义域，再去号，最后取交集。 沉淀：奇偶性三步走——定义域、算 f(−x)、比结论；一步都不能省。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　41/48 当堂检测 检测 1　下列函数中为奇函数的是（　） A． B． C． D． 答案　 B 。A、D 是偶函数，C 是非奇非偶函数， 满足 。 只有 B 的定义域关于原点对称，且 f(−x)=−f(x)。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　42/48 当堂检测 检测 2　把 f(x)=x² 的定义域改为下列区间，所得函数仍为偶函数的是（　） A． B． C． D． 答案　 C 。只有 关于原点对称，且 。 A、B、D 中的区间都不关于原点对称，偶函数的前提就不满足。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　43/48 当堂检测 检测 3　若 （ ）是偶函数，则 检测 4　已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 检测 3　 。 与 恒等 ⇒ 一次项系数为 0。 检测 4　 。奇函数定义在 上， ； 。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　44/48 当堂检测 检测 5 用定义证明：函数 是奇函数。 第一步　定义域为 ，关于原点对称；对任意 ，都有 。 第二步　计算并化简 ： 所以 是奇函数。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　45/48 当堂检测 检测 6　已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时 f(x)=x²−4x。(1) 求 x<0 时 f(x) 的解析式；(2) 求 f(x) 在 [−1,3] 上的最小值。 (1) 设 ，则 ，由偶函数 (2) 当 时 ， 最小值 ；当 时 在 上递增， 。 比较两段，f(x) 在 [−1,3] 上的最小值为 −4。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　46/48 当堂检测 检测 7　下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的是（　） A． B． C． D． 答案　 D 。A 是奇函数； B、C 都是偶函数，但在 上单调递减； D 的对称轴 ，开口向上，在 上单调递增。 奇偶性与单调性同时出现时，先定奇偶，再看给定区间上的方向。 3.2.2 奇偶性　·　小结与随堂检测　·　47/48 本节课到此结束 下节预告　3.3 幂函数 人教A版2019必修第一册 $