3.4 函数的应用（一） 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 3 章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 人教A版2019必修第一册 目录 C A T A L O G 01.实际问题中的函数解析式 02.二次函数型问题的最值 03.分段函数与阶梯计费 04.从函数图象读取信息 05.小结与随堂检测 导入新知 某种型号的汽车紧急刹车后，滑行距离 （单位：m）与刹车时汽车 每小时行驶的千米数 满足关系 。 实测：以每小时 千米的速度刹车时，滑行 m。 把 、 代入，得 每小时行驶的千米数不能取负数， 所以自变量只能取 。 问题：怎样用函数刻画这样的实际问题，并据此判断一辆滑行 50 m 的汽车是否超速？ 3.4 函数的应用（一）　·　导入与目标　·　03/47 学习目标 1．能从实际问题中找出变量之间的对应关系，写出一次函数、二次函数、幂函数或分段函数的解析式，并标明自变量的取值范围。 2．会运用函数的图象与单调性、最值解决利润最大、面积最大、费用最低等实际问题，理解顶点不在允许范围内时最值改在区间端点取得。 3．能读懂反映实际问题的函数图象，说出图象上特殊点、上升段、水平段与两条图象交点的实际含义，并据此比较方案、作出选择。 3.4 函数的应用（一）　·　导入与目标　·　04/47 3.4 函数的应用（一） 01 实际问题中的函数解析式 学习新知 横轴表示刹车前每小时行驶的千米数，纵轴表示滑行的米数；描出的点连成曲线，图象只出现在第一象限与原点。 列实际问题中的函数解析式时，除关系式本身外，还要标明自变量的 取值范围 它由问题的 实际意义 决定；这样的取值范围就是该函数的定义域。 提醒：由解析式解出的值若不在允许范围内，必须舍去或按实际意义取整后再检验。 3.4 函数的应用（一）　·　解析式与自变量范围　·　06/47 应用新知 判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由） (1) 用长 m 的篱笆围一个矩形，设一边长为 m，则面积 ，它的定义域是 。（　　） （1）×。边长与邻边长都要为正：由 且 得定义域为 反例：取 ，邻边长为 m，不符合实际。 (2) 由解析式解得每周订购 箱，可以直接把 作为答案。（　　） （2）×。箱数只能取整数， 箱要按实际意义取整并回代检验，不能直接作答。 3.4 函数的应用（一）　·　解析式与自变量范围　·　07/47 例题精讲 考点：由实际数据确定解析式并回答实际问题 例 1　 在限速为每小时 千米的高速公路上，一辆这种 型号的汽车紧急刹车后滑行了 m。这辆汽车 刹车前是否超速（参考数据： ） 先由一组实测数据定 a，再由滑行距离反求速率，最后与限速比较。 因为 ，所以这辆汽车没有超速。 答：刹车前每小时行驶约 94.8 千米，没有超速。 点评：开平方时负根不合实际意义，只取正根。 3.4 函数的应用（一）　·　解析式与自变量范围　·　08/47 变式训练 考点：由实际数据确定解析式并回答实际问题 变式 1　 某广告公司要制作一幅周长为 （单位：m）的矩形 广告牌，设一边长为 m。写出面积 关于 的解析式， 并指出 的取值范围。 邻边长为 m，它必须为正。 答： ，范围 。 追问：当 l=20 时，这条关系式就是 S=x(10−x)。怎样设计才能使面积最大？——这正是下一组要解决的问题。 3.4 函数的应用（一）　·　解析式与自变量范围　·　09/47 方法归纳 考点：由实际数据确定解析式并回答实际问题 ① 审题：分清常量与变量，找出变量之间的对应关系。 ② 列式：设自变量，写出解析式，同时标明自变量的取值范围。 ③ 求解：用图象、单调性与最值算出所求的量。 ④ 检验还原：检查范围、单位、取整是否符合实际，再写出答案。 取值范围与解析式同时写出，它是解题的第一步，不是解题后的补充说明。 3.4 函数的应用（一）　·　解析式与自变量范围　·　10/47 3.4 函数的应用（一） 02 二次函数型问题的最值 学习新知 取 ，则周长为 20 m，邻边长为 m，面积 图象开口向下，顶点 是最高点。 当 时， 取最大值 。 一般地，配方为 后： 是对称轴的横坐标， 是顶点的纵坐标。 提醒：实际问题中的自变量都有范围限制，不能一看到配方结果就把 k 写成答案。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　12/47 学习新知 情形一　对称轴在范围内 此时顶点就是图象的最高点或最低点。 情形二　对称轴在范围外 函数在允许区间上单调，最值都在区间的端点取得：a<0 且 h>n 时最大值是 W(n)。 对称轴 x=h 的位置 在 [m,n] 上的单调性（a<0） 最大值 h<m 单调递减 W(m) m ≤ h ≤ n 先增后减 k=W(h) h>n 单调递增 W(n) 先写出允许范围，再判断 h 在不在范围内——顺序不能颠倒。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　13/47 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 某利润函数为 （ ）， 则 的最大值是 2000。（　　） (2) 面积 （ ）， 则 时 最大，最大值是 128。（　　） （1）×。顶点横坐标 50 不在 内且 ，故 递增， 最大值在 处： 。 （2）√。 且 ，顶点在允许范围内，最大值就是 128。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　14/47 例题精讲 考点：销售利润最大问题 例 2　 某商店购进一批水果，进价每箱 元。当售价每箱 元时 每天可售出 箱；售价每提高 元，每天少售出 箱。 设售价提高 元（ ），每天的销售利润为 元，则（　） A． B． C． D． 每箱利润＝售价－进价＝ 元；每天售出 箱，所以 答案　B　A 把售价当成了每箱利润，C 把“少售出”写成“多售出”，D 把进价当成了利润。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　15/47 例题精讲 考点：销售利润最大问题 例 3　在例 2 中，售价定为每箱多少元时每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 展开并配方，把 W 写成 a(x−h)²+k 的形式： 顶点横坐标 在 内，且 所以 时 取最大值 元。 此时售价为 元。 检验： 时售出 箱，每箱利润 元。 答：售价定为每箱 60 元时利润最大，最大利润是 1200 元。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　16/47 变式训练 考点：对称轴与允许范围的位置 变式 2　 用长 m 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙， 墙可用长度最多为 m。设垂直于墙的边长为 m， 面积为 平方米。写出 关于 的解析式，并求最大面积。 平行于墙的边长 m；由 解得 ， 顶点横坐标 且 ，故 时最大。 检验：此时平行于墙的边长为 16 m，未超出墙长限制。 答：垂直于墙的边长取 8 m 时菜园面积最大，最大面积是 128 平方米。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　17/47 变式训练 考点：对称轴与允许范围的位置 变式 3　 在例 2 的情境中，若主管部门要求该水果的售价不高于 每箱 元，则售价定为每箱多少元时利润最大？ 由 得 对称轴 不在 内且 故 在 上单调递增，最大值在右端点取得。 此时售价为 元。 答：售价定为每箱 55 元时利润最大，最大利润是 1125 元；没有限制时 x=10 可取 1200 元，加上限制后最值改在端点取得。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　18/47 方法归纳 ① 判关系：利润由“每箱利润乘箱数”构成，每箱利润是售价减进价。 ② 判范围：售出箱数必须为正，售价不得低于成本，先把允许范围写出来。 ③ 判顶点：配方后先看 h 落在不在范围里，再决定取 k 还是取端点。 顶点横坐标 h 允许范围 最值取法 h 在范围内 m ≤ h ≤ n 顶点处取 k h 在范围右侧 h>n 端点 n 处取最大值 h 在范围左侧 h<m 端点 m 处取最大值 常规展开、合并同类项可留板演，屏幕上只留思路链与关键式。 3.4 函数的应用（一）　·　二次函数型问题的最值　·　19/47 3.4 函数的应用（一） 03 分段函数与阶梯计费 学习新知 某市居民生活用水实行阶梯水价，计费标准如下： 档位 月用水量范围 计费单价 第一档 不超过 12 立方米的部分 每立方米 2.5 元 第二档 超过 12 但不超过 20 立方米的部分 每立方米 4 元 第三档 超过 20 立方米的部分 每立方米 5 元 前 立方米内， 每增大 1 立方米， 增加 元，图象是一条线段。 超过 立方米后上升得更陡； 三段合起来是一条折线。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　21/47 学习新知 在定义域的不同区间内，对应关系 不同 的函数叫做分段函数。 它的定义域是各段定义域的 并集 ， 值域是各段值域的 并集 。 写法：每一段的解析式要与它对应的 取值范围 一起写出， 各段合写在同一个大括号内；分段函数是 一个 函数，不是几个函数的和。 阶梯计费中“超过某一档的部分”只按 本档 单价计算， 不超过该档的部分仍按原单价计算。 提醒：已知费用反求用量时，先算各档上限对应的费用，判断所给费用落在哪一档，再代入该档解析式；不判断档位直接代入，是这类题最主要的错误。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　22/47 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 分段函数是由两个或几个函数组成的。（　　） (2) 上例中用水 立方米的水费是 元。（　　） （1）×。各段上的对应关系不同，但它是定义域上一个完整的函数， 不是几个函数拼起来的。 （2）×。只有超过 立方米的 立方米按每立方米 元计， 前 立方米仍按每立方米 元计，水费为 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　23/47 例题精讲 考点：阶梯计费与分段函数 例 4　 某市居民生活用电实行阶梯电价：月用电量不超过 度的 部分按每度 元计费；超过 度但不超过 度的部分按 每度 元计费；超过 度的部分按每度 元计费。 设月用电量为 度，电费为 元。(1) 写出 关于 的解析式； (2) 某户 4 月交电费 元，求该户 4 月的用电量。 定档：先算各档满额费用，再按“前档满额加本档超出部分”写解析式。 第一档满额 元； 两档合计 元。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　24/47 例题精讲 考点：阶梯计费与分段函数 因为 ，所以该户用电量超过 度，落在第三档， 应代入 ，而不是前两档的解析式。 代入第三档解析式并解一元一次方程： 验根： 符合本档范围，且 答：该户 4 月用电 度。 点评：反求用量三步——定档、代入、验根；跳过第一步是这类题最主要的错误。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费（续）　·　25/47 变式训练 考点：阶梯计费与分段函数 变式 4　 某市出租车计费：行驶里程不超过 km 收起步价 元；超过 km 但不超过 km 的部分按每千米 元计费； km 以上 的部分按每千米 元计费。设行驶里程为 km，车费为 元。 (1) 写出 关于 的解析式；(2) 计价表显示 元，求行程里程。 在 km 处累计 元，所以 因为 ，由 得 km（验算： ）。 答：该次行程的里程是 15 km。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　26/47 变式训练 考点：阶梯计费与分段函数 变式 5　 某商场停车收费：不超过 小时收 元；超过 小时且不超过 小时的部分按每小时 元计费；超过 小时的部分按 每小时 元计费，不足 1 小时按 1 小时计算。 某人停车 6 小时 20 分钟，应缴停车费（　） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 6 小时 20 分钟中不足 1 小时的部分按 1 小时计，共按 小时计费： 第 1 小时 元；第 2 至第 4 小时 元；第 5 至第 7 小时 元。 合计 元。 答案　B　A 漏了“不足 1 小时按 1 小时计算”；D 把 7 小时全按最高档计。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　27/47 方法归纳 ① 定档：按分界点把范围分成几段，逐段算出“本档之内”的累计费用。 ② 代入：已知用量求费用，先判断用量落在哪一段，只代那一段的解析式； 　　　　已知费用求用量，先算各段上限对应的费用，判断费用落在哪一段。 ③ 验根：解出的值要回到所属那一段的范围内检查，落在范围外的舍去。 写成分段函数时，分界点只能归入其中一段（通常把“不超过”归入较低档）；同一个用量对应两个费用，就不表示函数了。 3.4 函数的应用（一）　·　分段函数与阶梯计费　·　28/47 3.4 函数的应用（一） 04 从函数图象读取信息 学习新知 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 与时间 的关系如图。 在五段时间 0—1、1—2、2—3、3—4、4—5 内，平均速率依次是 50、80、90、75、65（速率以每小时行驶的千米数计）。 五条线段都与 轴平行。 同一段时间内速率不变， 段与段之间发生跳跃。 每段线段与 轴围成一个矩形。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　30/47 学习新知 (1) 图象上一点的横、纵坐标分别表示问题中的 自变量的值 与 　　　　 函数的值 ；与 轴平行的线段表示这段时间内函数值 不变 。 (2) 每个矩形的面积等于平均速率与时间的乘积，因而表示这段时间内 　　　　 行驶的路程 ；五个矩形的面积之和表示这 5 h 内行驶的总路程。 (3) 两条图象的公共点叫做交点，它表示在这一点处两个函数的 　　　　相等。比较两个方案时，在同一自变量处取两条图象上的点， 　　　　位置靠 下 的函数值小，那个方案更省钱。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　31/47 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 第 2 小时内的平均速率大于第 1 小时内的平均速率。（　　） (2) 由图可知，这辆汽车在这 h 内行驶的总路程是 km。（　　） （1）√。 ，第 2 小时内速率更大。 （2）×。总路程是五个矩形面积之和 km。 提醒：纵坐标只是这一段时间内的速率，不能把它当成整个五小时的平均速率。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　32/47 例题精讲 考点：速率图象与逐段累加 例 5　 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率与时间的关系如图所示。 (1) 求图中五条线段与 轴围成的五个矩形的面积之和， 并说明所求面积的实际含义； (2) 假设行驶前里程表读数为 km，建立读数 关于 的解析式，并写出 取 1、2、3、4、5 时的读数。 思路：每个矩形面积＝该段速率乘 1 h。 答：面积之和是 360，它表示这 5 h 内行驶的路程为 360 km。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　33/47 例题精讲 考点：速率图象与逐段累加 逐段累加：后一段的起始读数等于前面各段的累计结果，端点只归入一段。 读数依次为 、 、 、 、 km； 与 (1) 中五个矩形的面积之和一致。 答：s 是五段首尾相接的一次函数，读数逐段增加。 点评：读图三步——认轴、翻译、衔接；累加时将端点只归入一段。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息（续）　·　34/47 变式训练 考点：从折线图读取信息 变式 6　 某游泳池换水过程中，池内存水量 （单位：L）与 时间 （单位：min）的关系如图。下列说法错误的是（　） A．前 min 平均每分钟进水 L B．第 到 min 存水量保持不变 C．第 到 min 平均每分钟排水 L D．第 min 时池内存水 L 答案 C。25 到 40 min 存水量由 300 L 降到 150 L，共减少 150 L， 平均每分钟排水 L，不是 9 L，故 C 错。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　35/47 变式训练 考点：两条图象的交点与方案比较 变式 7　 学校要印制一批宣传册。甲印刷厂先收制版费 元， 另按每份 元计费；乙印刷厂不收制版费，按每份 元计费。设印制 份，两厂收费分别为 、 元。 由题意 ， 。 令 ，解得 。 此时 ，交点为 ，即印制 20 份时两厂收费相同。 份时 靠下，选乙厂； 份时 靠下，选甲厂。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　36/47 方法归纳 ① 认轴：先说清横轴、纵轴各表示什么量、用什么单位，再读图象上的特殊点。 ② 翻译：上升段表示增加，水平段表示不变，下降段表示减少。 ③ 衔接：逐段累加写成分段解析式，后一段的起始值等于前面各段的累计结果。 图象特征 实际含义 本讲出处 与横轴平行的线段 自变量在变，函数值保持不变 例 5 线段与横轴围成的矩形 面积等于该段时间内行驶的路程 例 5 两条图象的交点 两处函数值相等，是方案取舍的分界 变式 7 上升越陡增加越快；同一自变量处，图象靠下的函数值小。 3.4 函数的应用（一）　·　从函数图象读取信息　·　37/47 3.4 函数的应用（一） 05 小结及随堂检测 课堂小结 列式与范围 对应关系与取值范围同时写出。 二次型最值 h 在范围内取 k，否则取端点。 分段计费 定档、代入、验根三步。 从图象读取信息 矩形面积＝路程，交点是分界。 实际问题 → 函数解析式 → 图象与性质 → 回到实际检验，是一条完整的链。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　39/47 课堂小结 ① 利润＝（售价－进价）×销量；销售额＝单价×销量。 ② 售价每提高 1 元少售 k 箱，即提高 x 元时少售 kx 箱；每降低 1 元多售同理。 ③ 用量落在第 n 档时，费用＝前 n−1 档满额费用之和＋本档超出部分×本档单价。 ④ 已知费用反求用量：先算各档上限对应的费用，判断落在哪一档，再解方程并验根。 “不足 1 个单位按 1 个单位计”的题目（停车计时、称重计费），要先把量取整，再按档计费。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　40/47 题后反思 ● 只写解析式不写范围：把 的定义域写成 。 ● 不看对称轴就把 写成最值：范围 上的最大值是 1900，不是 2000。 ● 阶梯计费不判断档位：用水 16 立方米的水费是 46 元，不是 64 元。 ● 把某一段的速率当成整段的平均速率：5 h 行驶的总路程是 360 km， 不是 90 km。 解答题的书写顺序：设变量—列式并标范围—求解—检验还原，四步缺一不可。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　41/47 当堂检测 检测 1　上例的阶梯水价中，某户 4 月用水 立方米，应缴水费 46 元。 检测 2　该户 5 月缴水费 元，求该户 5 月的用水量。 检测 3　函数 与 图象的交点横坐标为 20 ； 当 时，取值较小的函数是 y₁ 。 检测 1： 元。 检测 2： 立方米满额 元， 立方米满额 元； 落在第三档，由 得 立方米。 检测 3：令 得 ； 时 ， 靠下的是 ，即取值较小的函数是 。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　42/47 当堂检测 检测 4 用长 m 的篱笆围一个矩形鸡场，一边靠墙，墙可用长度 最多为 m。设垂直于墙的边长为 m，写出面积 关于 的解析式与范围，并求最大面积。 平行于墙的边长 m；由 解得 ，面积 对称轴 不在 内且 ， ，故 在 上单调递减，最大值在 处： 平方米（此时平行于墙的边长恰为 12 m）。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　43/47 当堂检测 检测 5 某商品进价每件 元。当售价每件 元时每月可售出 件；售价每降低 元，月销量 增加 件。设售价降低 元（ ），月利润为 元，求 最大时的售价与最大月利润。 每件利润 元，销量 件，所以 顶点 在 内且 ，故 时 最大，最大值 元，此时售价 元。 答：售价定为每件 40 元时月利润最大，最大月利润 2000 元。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　44/47 当堂检测 检测 6 某公司生产一种产品，每件成本 元，年销量 （单位：万件）与销售单价 （单位：元）的关系为 年利润 （单位：万元）等于（销售单价－每件成本）与年销量的乘积。 (1) 求 关于 的解析式；(2) 求使年利润最大的销售单价， 并求出最大年利润。 提示：两段要各自配方，再各自比较对称轴与自己那一段的范围，最后把两段的最大值放在一起比。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测　·　45/47 当堂检测 (1) 每件利润 元，故 ： (2) 第一段：对称轴 在 右侧， 递增，最大值 第二段：对称轴 在 内，最大值 答：销售单价定为 35 元时年利润最大，最大年利润 900 万元。 点评：分段后每段单独配方、单独判断对称轴位置，不能拿整条抛物线的顶点当成答案。 3.4 函数的应用（一）　·　小结与随堂检测（续）　·　46/47 本节课到此结束 下节预告　4.1.1 n次方根与分数指数幂 人教A版2019必修第一册 $