第3章 函数的概念与性质 章末综合提升-【金版新学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了函数的概念（定义、表示法、模型）与性质（单调性、奇偶性），通过体系构建、分层探究及规律方法总结，将知识点串联成逻辑网络，帮助学生建立完整的函数知识体系。 其亮点在于采用“典例解析-规律总结-对点训练”分层模式，如探究点一通过具体函数求定义域，结合规律方法提炼解题策略，教考衔接部分链接高考真题与教材溯源，培养学生数学思维与逻辑推理能力。这种设计既助力学生巩固知识，又为教师提供系统复习框架，提升教学针对性。

章末综合提升 　 第三章 函数的概念与性质 体系构建 1 分层探究 2 教考衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　求函数的定义域 (1)函数y＝＋的定义域是 A．［－1，2) B．［－1，2)⋃(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．［－1，＋∞) √ 典例 1 要使函数y＝解得x≥－1且x≠ 2，即函数的定义域是［－1，2)⋃(2，＋∞)．故选B． (2)已知函数f(x＋1)的定义域是［－2，2］，则函数f(x)的定义域是__________． ［－1，3］ 因为函数f(x＋1)的定义域是［－2，2］，所以－2≤x≤2，则－1≤x＋1≤3，所以函数f(x)的定义域是［－1，3］． 规律方法 求函数定义域的方法 1.已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． 2.实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，又要考虑使实际问题有意义． 注意　(1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同．(2)定义域所指永远是x的范围． √ 对点练1.(1)已知函数f(x)的定义域是［2，8］，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域是 A．［4，16］ B．(－∞，1］⋃［3，＋∞) C．［1，3］ D．［3，4］ 函数f(x)的定义域是［2，8］，则函数h(x)的定义域需满足解得1≤x≤3.故选C． √ (2)已知函数f(x＋2)的定义域是(－1，1)，则函数y＝f(2x－1)的定义域是 A．(－1，1) B．(－3，1) C．(0，1) D．(1，2) 设x＋2＝t，则f(x＋2)＝f(t)，因为函数f(x＋2)的定义域是(－1，1)，所以－1＜x＜1，所以1＜x＋2＜3，所以函数f(t)的定义域是(1，3)，所以有1＜2x－1＜3，所以1＜x＜2，所以函数f(2x－1)的定义域为(1，2)．故 选D． 探究点二　求函数的值域 求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈［0，3)； 解：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，x∈［0，3)的图象如图所示． 由图可得函数的值域为［2，6)． 典例 2 (2)y＝(x＞4)； 解：y＝， 因为x＞4，所以0＜＜7，所以2＜y＜9， 所以函数的值域为(2，9)． (3)y＝x＋． 解：令(t2＋1)，且t≥0. 所以函数y＝x＋化为y＝(t2＋1)＋t＝t2＋t＋(t≥0)，对称轴为t＝－1， 所以函数y＝t2＋t＋在[0，＋∞)上单调递增， 所以函数的最小值为， 所以函数y＝x＋． 规律方法 求函数值域的一般方法 1.配方法：二次函数或换元后为二次函数型的函数，根据二次函数的性质求函数的值域． 2.单调性法：函数为一般函数或者复合函数，先确定函数的单调性，再求函数的值域． 对点练2.求下列函数的值域： (1)y＝； 解：y＝＝－＝－1－(x≠4)，易知≠0，所以y≠－1. 所以函数的值域为(－∞，－1)⋃(－1，＋∞)． (2)y＝4x－1＋； 解：y＝4x－1＋． 因为y＝4x－1与y＝均为增函数， 所以y＝4x－1＋上单调递增， 所以y≥4×－1＝5. 所以函数的值域为［5，＋∞)． (3)y＝(x＜0)． 解：因为x＜0， 所以y＝ ＝ ≥＝－2， 当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立． 因为y＝，x＜0， 所以y＜0， 所以函数y＝(x＜0)的值域为［－2，0)． 探究点三　函数的图象及其应用 (1)已知函数f(x)＝方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是 A．2 B．3 C．4 D．5 √ 典例 3 因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b． 作函数f(x)＝的图象，如图所示． 结合图象可知，f(x)＝0有两个不同的根，f(x)＝b(0＜b＜1)有三个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5.故选D． (2)已知函数f(x)＝|x2－2x－3|． ①画出函数图象并写出函数的单调区间； 根据题意，函数f(x)＝|x2－2x－3| ＝ 画出图象，如图所示， 则f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，3)，单调递增区间是(－1，1)和(3，＋∞)； ②求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实数根}． 根据题意，若方程f(x)＝m有四个不相等的实数根， 则函数y＝f(x)与直线y＝m有4个不同的交点， 由函数的图象，必有0＜m＜4， 即M＝{m|0＜m＜4}． 规律方法 作函数图象的方法 1.描点法：求定义域；化简；列表；描点；连线． 2.变换法：熟知函数图象的平移、对称、翻折． (1)平移：y＝f(x)的图象y＝f(x)±k的图象(其中h＞0，k＞0)． 规律方法 (2)对称：y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． (3)翻折：去掉y轴左侧的y＝f(x)的图象，将右侧图象沿y轴翻折到左侧就得到y＝f(|x|)的图象；将x轴下方的y＝f(x)的图象沿x轴翻折到x轴上方就得到y＝|f(x)|的图象． 规律方法 注意　(1)要利用函数的单调性、奇偶性、对称性简化作图．(2)掌握基本函数的图象，提升直观想象素养． 对点练3.(1)在平面直角坐标系中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象 只有一个交点，则a的值为______． － 函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示． 因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，所以2a＝－1，解得a＝－． (2)当x∈［0，1］时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，求正实数m的取值范围． 当0＜m≤1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝＋m的图象，如图①所示．易知此时两函数图象在［0，1］上有且只有一个交点． 当m＞1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝(mx－1)2与y＝＋m的图象，如图②所示． 要满足题意，需(m－1)2≥1＋m，解得m≥3或m≤0(舍去)，所以m≥3. 综上，正实数m的取值范围是(0，1］⋃［3，＋∞)． 探究点四　函数的性质及其应用 (2026·广东惠州期末考试)已知函数f(x)＝是R上的偶函数． (1)求实数m的值； 解：由函数f(x)＝是R上的偶函数，得f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立， 即对任意x∈R恒成立，整理得mx＝0对任意x∈R恒成立， 所以m＝0. 典例 4 (2)判断函数y＝f(x)在(－∞，0］上单调性，并用定义法证明； 解：由(1)知，f(x)＝在(－∞，0］上单调递增． 证明：∀x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝＝. 由x1＜x2≤0，得x2－x1＞0，x2＋x1＜0，1＋＞0， 因此＝f(x2)－f(x1)＞0，则f(x2)＞f(x1)， 所以函数y＝f(x)在(－∞，0］上单调递增． (3)求不等式f(t)－f(1－2t)＞0的解集． 解：由(1)、(2)知，R上的偶函数f(x)＝在(－∞，0］上单调递增，在［0，＋∞)上单调递减， 不等式f(t)－f(1－2t)＞0⇔f(|t|)＞f(|1－2t|)，则|t|＜|2t－1|，解得t＜或t＞1， 所以原不等式的解集为． 规律方法 　　函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意定义域对不等式结果的 影响． 对点练4.已知函数f(x)＝2x2－3x＋1. (1)函数h(x)是奇函数，当x＞0时，h(x)＝f(x)，求h(x)在R上的解析式； 解：设x＜0，则－x＞0. 因为函数h(x)是奇函数，所以h(x)＝－h(－x)＝－(2x2＋3x＋1)＝－2x2－3x－1. 又h(0)＝0，所以h(x)＝ (2)若g(x)＝－f(x)＋mx＋1，当x∈［1，2］时，g(x)的最大值为2，求m的值． 解：当x∈［1，2］时，g(x)＝－2x2＋(3＋m)x， 函数g(x)的图象开口向下，其对称轴方程为x＝， ①当≤1，即m≤1时，g(x)max＝g(1)＝－2＋3＋m＝2，解得m＝1； ②当1＜＜2，即1＜m＜5时，g(x)max＝g＝＝2，解得m＝1(舍去)或m＝－7(舍去)； ③当≥2，即m≥5时，g(x)max＝g(2)＝－8＋2m＋6＝2，解得m＝2(舍去)． 综上，m＝1. 返回 教考衔接 返回 (2022·天津卷)函数y＝的图象大致为 真题 1 √ y＝＝故选A. 溯源：(教材P101T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象. 点评：高考题以分段函数的形式考查了函数y＝x－的图象及奇偶性，与教材习题考查角度相同. (2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是 A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 真题 2 √ 由题意得，f(x)＝＝－1＋.对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 溯源：(教材P87T13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. (1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心； (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论. 点评：该高考题是教材习题结论的直接应用，如果利用结论解答该题更简单，解法如下：f(x)＝＝－1＋，则f(x)的图象关于点P(－1，－1)对称，故函数y＝f(x－1)＋1为奇函数. (2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝x3－，则f(x) A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 真题 3 √ 因为函数f(x)＝x3－定义域是{x｜x≠0}，其关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.又因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增，而y＝＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增.故选A. 溯源：(教材P91练习T3)根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数f(x)＝x3的单调性，并判断其奇偶性. 点评：高考题考查内容、命题角度与教材习题完全相同，函数也是教材习题函数的变形. (2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是_________________. 真题 4 (－∞，0)∪(0，1] 因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(0，1]. 溯源：(教材P65例2)已知函数f(x)＝＋， (1)求函数的定义域；(2)、(3)略. 点评：高考题与教材例题均考查已知函数解析式求定义域问题，且函数均为“分式＋根式”的形式. (1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f)＝3，则a＝____. 真题 5 2 f(f)＝f＝f＝＋a＝3，故a＝2. (2)(2022·北京卷)设函数f＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为_______________；a的最大值为___. 0(答案不唯一) 1 若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0；若a＜0，当x＜a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若a＞0，当x＜a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)＞f(a)＝－a2＋1，当x≥a时，f(x)min＝所以－a2＋1≥0或－a2＋1≥(a－2)2，解得0＜a≤1.综上可得0≤a≤1. 溯源：(教材P101T7)已知函数f(x)＝求f(1)，f(－3)，f(a＋1)的值. 点评：高考题与教材习题均考查分段函数求值问题，且均含有参数. 返回 单元检测卷 返回 1.已知f(x)＝则f(f(0))等于 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 因为0＜1，所以f(0)＝1，f(f(0))＝f(1)＝12＋3＝4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.以下各组函数是同一个函数的是 A．f＝，g＝ B．f＝，g(x)＝ C．f＝，g＝ D．f＝·，g＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，因为f＝＝，g＝＝x，它们的对应关系不相同，所以它们不是同一个函数；对于B，因为函数f＝∪ ，g＝的定义域是R，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f＝＝x，g＝＝x，它们的定义域及对应关系都相同，所以它们是同一个函数；对于D，因为函数f＝·，g＝∪，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.(2026·安徽蚌埠期末监测)下列既是奇函数，又是增函数的是 A．f＝x＋ B．f＝x－ C．f＝x3 D．f＝x2 √ 对于A，因为f＝f＝，可知函数f不为增函数，故A错误；对于B，因为f＝f＝0，可知函数f不为增函数，故B错误；对于C，由幂函数性质可知f＝x3既是奇函数，又是增函数，故C正确；对于D，因为f＝f＝1，可知函数f不为增函数，故D错误.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.函数f＝－x2＋2x＋2在上是增函数，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． √ 由二次函数性质可知，要使函数f＝－x2＋2x＋2在上单调递增，只需a－1≥2，解得a≥3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.若函数f是偶函数，且在上单调递增，f＝0，则不等式f＞0的解集为 A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于函数f(x)是偶函数，在区间上单调递增，且f＝0，所以f＝f＝0，且函数在上单调递减.由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示.由图可知，f(x)＞0的解集是∪ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.若函数y＝f是奇函数，则下列各点一定是函数y＝f＋2图象对称中心的是 A． B． C． D． √ 因为函数y＝f是奇函数，所以函数y＝f的图象关于原点对称.又函数y＝f＋2的图象是y＝f的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的，所以是函数y＝f＋2图象对称中心的是.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.(2025·天津卷)已知函数y＝f的图象如下，则f的解析式可能为 A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由图可知函数为偶函数，而函数f＝和函数f＝为奇函数，故排除选项A、B；又当x∈时，1－x2＞0，x2－1＜0，此时f＝＞0，f＝＜0，由图可知当x∈时，f＜0，故C不符合，D符合.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.函数f＝的值域为 A．∪ B． C．∪ D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 根据题意，当x≤1时，f＝x＋.令＝t，可得t∈，所以x＝1－t2，因此可得y＝－t2＋t＋1＝－＋.由二次函数性质可得当t＝，即x＝时，f＝x＋，x≤1取得最大值，此时f＝x＋，x≤1的值域为；当x＞1时，f＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立；此时f＝x＋，x≥1的最小值为5，因此f＝x＋，x≥1的值域为.综上可得，函数f∪.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图①所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图②、 图③中的实线分别为调整后y关于x 的函数图象.给出下列四种说法，其 中正确的说法是 A．图②对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图②对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图③对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图③对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由图①可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本；由图②知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图③知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知函数f＝x2－4，则 A．f为偶函数 B．f恰有4个单调区间 C．f的最小值为－2 D．f的图象与x轴有4个公共点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f＝x2－4，x∈R，可知f＝－4 ＝f，f为偶函数，故A正确；因为f中含有绝对 值，分类讨论去绝对值，得分段函数f＝ 画出对应图象，如图.由图可知，f恰有4个单调区间，故B正确；由图可知，f分别在x＝－2，x＝2时取得最小值－4，故C错误；由图可知，f的图象与x轴有3个公共点，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)是幂函数f(x)＝图象上的任意两点，则以下结论正确的是 A．x1f(x1)＜x2f(x2) B．＜(x1，x2≠0) C．＞0 D．f＞ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 幂函数f(x)＝.对于A，x1f(x1)＝x1·＝，x2f(x2)＝x2·＝.因为函数y＝上单调递增，0≤x1＜x2，所以＜，即x1f(x1)＜x2f(x2)，故A正确；对于B，＝＝，＝＝，因为函数y＝上单调递减.x1，x2≠0，x1＜x2，即0＜x1＜x2，所以＞，即＞，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于C，因为幂函数f(x)＝上单调递增，0≤x1＜x2，所以x2－x1＞0，f(x1)＜f(x2)，即f(x2)－f(x1)＞0，所以＞0，故C正确；对于D，f＝＞0，＝＞0.因为－＝－－－＝＋－＝＞0，所以＞，即f＞，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知f(x－1)是定义在R上的偶函数，当－1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f(－5)，b＝f(1)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为______________. b＞c＞a 因为函数y＝f(x－1)是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，则f(－5)＝f(3).又由题意可知，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，则f(1)＞f(2)＞f(3)，故b＞c＞a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.定义max为a，b，c中的最大值，设h＝max，则h的最小值为____. 4 分别画出y＝x2，y＝x，y＝6－x的图象，则函数h的 图象为图中实线部分，如图.函数h的最低点为A，由 即A，所 以h的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.(2026·广东汕头质量监测)已知幂函数f＝xm－1是R上的偶函数，且函数g＝f＋x在区间上单调，则实数n的取值范围是______________________. ∪ 由幂函数的定义知，m2－3m＋1＝1，解得m＝0或m＝3，当m＝0时，f(x)＝x－1，为奇函数，不符合题意；当m＝3时，f(x)＝x2，为偶函数，符合题意，故f(x)＝x2.所以g(x)＝x2＋(4－2n)x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝n－2.又g(x)在[1，5]上单调，则n－2≤1或5≤n－2，解得n≤3或n≥7，即实数n的取值范围是(－∞，3]∪[7，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)已知函数f(x)＝＋. (1)求函数f(x)的定义域； 解：若使函数有意义，则 解得x≤－2或x≥2且x≠7， 故函数f(x)的定义域是(－∞，－]∪[，)∪(，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求f(－2)＋f的值. 解：因为f(－)＝－，f＝－＝， 所以f(－2)＋f＝－＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知函数f(x)＝1－. (1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值； 解：由题意得g(x)＝1－a－，且定义域是{x｜x≠0}. 又g(x)为奇函数， 则g(－x)＝1－a＋＝－g(x)， 所以1－a＋＝＋a－1，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明. 解：f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下： ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝1－－＝. 因为x1－x2＜0，x1x2＞0， 故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知函数f(x)是一次函数，且满足f(x－1)＋f(x)＝2x－1. (1)求f(x)的解析式. 解：设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)， 由f(x－1)＋f(x)＝2x－1， 可得a(x－1)＋b＋ax＋b＝2x－1， 整理得(2a－2)x＋2b－a＋1＝0， 所以 所以f(x)＝x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设g(x)＝f(x)，x∈(－∞，1). (ⅰ)试证明函数g(x)在(－∞，1)上单调递增； 解：由(1)知g(x)＝f(x)＝x－. 证明：∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1＜x2， 则g(x1)－g(x2)＝x1－－＝(x1－x2)·. 因为x1＜x2＜1， 所以x1－1＜0，x2－1＜0，x1－x2＜0， 所以g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2). 所以函数g(x)＝x－在(－∞，1)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (ⅱ)求g(x)在区间[－3，0]上的最值. 解：由(1)知g(x)＝f(x)＝x－. 根据(ⅰ)知，g(x)在[－3，0]上单调递增， 所以g(x)max＝g(0)＝0， g(x)min＝g(－3)＝－3－＝－. 故g(x)在[－3，0]上的最大值为0，最小值为－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)(2026·广东惠州期末考试)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x万件需另投入流动成本c(x)万元，其中c(x)与x之间的关系为c＝且函数c(x)的图象过点C(21，115).每件产品售价为6元，假设小王生产的商品当年全部售完. (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：根据题意得，当x＝21时，y＝115， 则7×21＋－37＝115，所以c＝100. 因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元， 根据题意得，当0＜x≤8，x∈N*时，L(x)＝6x－2－x2－2x＝－x2＋4x －2； 当x＞8，x∈N*时，L(x)＝6x－2－7x－＋37＝35－x－， 所以L(x)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 解：当0＜x≤8，x∈N*时，L(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－6)2＋10， 所以当x＝6时，L(x)取最大值10万元； 当x＞8，x∈N*时，L＝35－x－＝34－≤34－2＝14， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当且仅当x－1＝，即x＝11时，L(x)取最大值14万元. 因为14＞10，所以当x＝11时，L(x)取最大值14万元， 所以当年产量为11万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大年利润为14万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)已知f是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y恒有f＝f＋f. (1)求f，f的值； 解：令x＝y＝1，得f＝f＋f， 故f＝0. 令x＝y＝－1，得f＝f＋f＝0， 故f＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)证明：f为偶函数； 解：证明：令y＝－1，得f＝f＋f＝f. 因为f是定义在非零实数集上的函数， 所以f为偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)当0＜x＜1，f＜0，证明f在上单调递增，并求不等式f≤f＋f的解集. 解：证明：设∀x1，x2∈，x1＞x2， f－f＝f－f＝－f. 因为0＜＜1，所以f＜0， 所以f－f＞0，即f＞f， 所以函数f上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为f上单调递增，且f为偶函数， 所以f上是减函数. 因为f＋f＝f，所以f≤f＋f＝f， 所以－6≤3－x≤6且3－x≠0，解得－3≤x≤9且x≠3， 所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜3，或3＜x≤9}. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 函 数 的 概 念 与 性 质 返回 $