3.4 函数的应用（一）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教 A 版 · 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 分段函数 · 常见函数模型 · 解决实际问题 高中数学 · 教学课件 实例 → 建模 → 求解 → 检验 → 应用 3.4 函数的应用（一） 学习目标 01 体会一次函数、二次函数、分段函数等函数模型与现实世界的紧密联系 02 经历"实际问题 → 函数模型 → 求解并解释"的建模过程 03 能建立分段函数模型解决实际问题，理解图象对分析题意的作用 04 会用函数模型比较大小、判断最值与方案，做出合理决策 人教 A 版 · 必修 第一册 2 / 16 3.4 函数的应用（一） 情境引入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法（课本 93 页）。 一次函数模型 匀速运动的路程、出租车计费、阶梯水价（分段）等，随自变量均匀变化。 二次函数模型 抛物运动、面积与边长、刹车滑行距离 等，存在最大值或最小值。 分段函数模型 个税缴纳、里程表读数等：不同时间段（区间）内规律不同，需逐段表示。 幂函数模型 边长与面积 、弹簧伸长等非线性增长关系。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 93 页 3 / 16 例 1（课本 93 页） 个税问题 · 题目与分析 例 1　设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与 3.1.2 例 8 相同，全年综合所得收入额为 （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 （单位：元）。 （1）求 关于 的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由 117 600 元增加到 153 600 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 分析：根据 3.1.2 例 8 中式②，可得应纳所得额 关于综合所得收入额 的解析式 ，再结合 的解析式①，即可得到 关于 的函数解析式。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 93 页 4 / 16 例 1 · 解答（1）第一步 求 t 关于 x 的解析式 解：（1）由个人应纳税所得额计算公式，可得 令 ，得 ． 根据个人综合所得税率规定可知，当 时，。所以，个人应纳税所得额 关于综合所得收入额 的函数解析式为 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 93 页 5 / 16 例 1 · 解答（1）第二步 结合 y=f(t) 得分段解析式 结合 3.1.2 例 8 的解析式③，逐段代入（式④）： ，所以 ， ， ， ， ， ， ， 所以，函数解析式为上述分段函数（式④）。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 94 页 6 / 16 例 1 · 解答（2） 代入求值 （2）根据④，当 时， ． 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为 2 752 元。 根据个人收入情况，利用上面求得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税。（课本 94 页） 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 94 页 7 / 16 O t v 0 1 2 3 4 5 50 80 90 75 65 例 2（课本 94 页） 汽车行程问题 · 图 3.4-1 例 2　一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 （单位：km/h）与时间 （单位：h）的关系如图 3.4-1 所示。 （1）求图 3.4-1 中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 （单位：km）与时间 的函数解析式，并画出相应的图象。 思考：你能根据图 3.4-1 画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？ 图 3.4-1（课本 94 页） 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 94 页 8 / 16 例 2 · 解答（1） 阴影面积的实际含义 分析：当时间 在 内变化时，对于任意的时刻 都有唯一确定的行驶路程与之对应。根据图 3.4-1，在时间段 、、、、 内行驶的平均速率分别为 50 km/h、80 km/h、90 km/h、75 km/h、65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表示。 解：（1）阴影部分的面积为 ． 阴影部分的面积表示汽车在这 5 h 内行驶的路程为 360 km。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 95 页 9 / 16 O t s 1 2 3 4 5 2 054 2 400 例 2 · 解答（2） 里程表读数 s(t) 与图 3.4-2 （2）根据图 3.4-1，有 ，； ，； ，； ，； ，． 这个函数的图象如图 3.4-2 所示。 本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助，因此，我们要注意提高识图能力。另外，本题用到了分段函数，解决实际问题时经常会用到这类函数。 图 3.4-2（课本 95 页） 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 95 页 10 / 16 课堂练习（课本 95 页"练习" · 习题 3.4） 动手做一做 1. 若用模型 描述汽车紧急刹车后滑行的距离 （单位：m）与刹车时的速率 （单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为 60 km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为 20 m。在限速为 100 km/h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为 50 m，那么这辆车是否超速行驶？ 2. 广告公司要为客户设计一幅周长为 （单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？ 3. 某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2 500 元，每件产品的售价为 3 500 元。设该公司生产的产品全部卖出。总产量为 （单位：件）。 （1）试写出总成本 （单位：万元）、总收入 （单位：万元）、总利润 （单位：万元），分别求出它们关于总产量 （单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出简单分析。 4. 【习题 3.4 第 3 题】为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行"阶梯水价"，计费方法如下表：不超过 12 m³ 的部分 3 元/m³；超过 12 m³ 但不超过 18 m³ 的部分 6 元/m³；超过 18 m³ 的部分 9 元/m³。若某户居民月缴纳的水费为 48 元，求此户居民本月用水量。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 95、96 页 11 / 16 答案解析（一）· 练习 1、2 参考答案 练习 1：刹车滑行模型 解：由速率为 60 km/h 时滑行距离为 20 m，得 ，解得 ，即 。 当 时，，解得 （km/h）。 因为 ，所以这辆车没有超速行驶。 练习 2：矩形广告牌面积最大问题 解：设矩形一边长为 （单位：m），则另一边长为 ，面积 ，． 当 时， 取得最大值 ，即设计为正方形（边长均为 ）时广告牌面积最大。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 95 页 12 / 16 答案解析（二）· 练习 3 参考答案 练习 3：生产利润模型 （1）解：固定成本 150 万元，每件可变成本 2 500 元＝0.25 万元，每件售价 3 500 元＝0.35 万元。 总成本 ； 总收入 ； 总利润 。 （2）分析： 的图象是一条斜率为正的射线（半直线）。令 ，得 （件）：当 时亏损；当 时盈亏平衡；当 时盈利，且产量越大利润越大。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 95 页 13 / 16 答案解析（三）· 习题 3.4 第 3 题 参考答案 第 3 题：阶梯水价 解：设月用水量为 m³，水费为 元。 若 ，则 ，故 。 若 ，则 。由 ，解得 ，且 ，符合题意。 （若 ，则 ，不成立。） 所以，此户居民本月用水量为 14 m³。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 96 页 14 / 16 O t x(t) v(t) 答案解析（四）· 习题 3.4 第 1 题 参考答案 第 1 题：A 地 → B 地 → A 地往返行程（去程 150 km，60 km/h；停留 1 h；返程 50 km/h） 解：去程用时 h，返程用时 h。设 （h）为从 A 地出发时开始计时，汽车与 A 地距离 （km）： ，； ，； ，． 车速 （km/h）关于 的函数： ，；，；，． 两个函数的图象：x(t) 为"上升—水平—下降"的折线；v(t) 为"台阶形"。 图象示意图（x(t) 实线，v(t) 虚线） 人教 A 版 · 必修 第一册 · 课本 96 页 15 / 16 3.4 函数的应用（一） 课堂小结 · 课后作业 建模步骤 读题 → 引入变量 → 建立函数模型 → 求解 → 检验并回答实际问题 分段函数 不同区间规律不同时逐段表示，注意区间端点不重不漏 图象作用 函数图象对分析和理解题意很有帮助，要注意提高识图能力 课后作业： 课本 95 页"练习"第 1～3 题； 课本 96 页"习题 3.4"第 1、3 题。 本章复习：整理第三章知识结构图。 人教 A 版 · 必修 第一册 · 第三章 16 / 16 $