精品解析：四川成都市部分校2026-2027学年上学期八年级半期素养测试（数学）10月26日

2026—2027学年度上期初2025级半期素养测试 数学 （满分150分，考试时间120分钟，定时练习后，只将答题卡交回） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共计32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.1010010001 D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（） A. 正方形的面积随边长的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 圆的周长随半径的变化而变化 D. 等腰三角形中，底角度数y随顶角度数x的变化而变化． 8. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共5题，每小题4分，共计20分） 9. 如图，以为圆心，以为半径画弧交数轴于点；则数轴上点所表示的数为_________，点所表示的数比__________（填“大”或“小”）． 10. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________． 11. 小张周末出门时有100元，去文具店购买单价为8元的铅笔作为半期考试奖品，当他购买了x（0＜x≤12）支后，还剩y元，写出y与x的关系式是________． 12. 半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 步骤2：作直线交于点，交于点，则的长为___________． 三、简答题（本大题共5题，共计48分） 14. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 15. 已知：函数是关于的一次函数，的算术平方根是4，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的立方根． 16. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 17. 王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程/ 油箱剩余油量/ （1）在这个问题中，自变量是________，因变量是________； （2）该轿车油箱的容量为________，当行驶时，油箱中的剩余油量为________； （3）根据上表反映的规律写出与之间的关系式为_______（不要求写出的取值范围）； （4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，则，两地之间的距离是________． 18. 在中，，点D为斜边所在直线上的一动点． （1）如图1，当在斜边上，也在上时，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接，试说明：； （2）在（1）的条件下，当，时，求的度数和的长； （3）若，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，求的长． B卷（50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 若都是实数，且，则的算术平方根是______． 20. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则________． 21. 我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈2尺，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈2尺，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为__________尺丈尺）． 22. 如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，．若，，则的长为___________． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，、，，将的值叫作点与点的“横纵距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．已知点，． （1）若点，在坐标轴上，且与点的“横纵距离”为4，则连接所有符合条件的点所围成的图形面积为_____________； （2）已知点在轴上，线段关于点的“围差”为3，点的坐标为_____________． 二、解答题（本大题共3题，共计30分） 24. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，C是x轴负半轴上一点，且，P是y轴正半轴上一点，作于点D，连接OD． （1）C点坐标为______，______． （2）①当点P在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的P点坐标． ②如图2，设DP交直线AC于点E，连结CP，若，则______（直接写出结果）． 26. 已知在中，，，点是边上一动点，以为斜边向下作，使，． （1）如图1，设的度数为， ①用含的代数式表示； ②当时，求的值； （2）设， ①如图2，延长交于点，若，求长； ②如图3，连结，在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上期初2025级半期素养测试 数学 （满分150分，考试时间120分钟，定时练习后，只将答题卡交回） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共计32分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.1010010001 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，不是无理数； B选项开方开不尽，是无理数． C选项0.1010010001是有限小数，不是无理数； D选项，不是无理数； 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，根据算术平方根的定义，立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，据此列出方程求解a和b，再求它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ，， ． 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得到答案． 【详解】解：由题意得且， 解得且． 5. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断每个选项是否构成直角三角形． 【详解】解：选项A：∵，∴，∴是直角三角形； 选项B：设，，，∵，，∴，∴是直角三角形； 选项C：∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形； 选项D：设，，，∵，∴，∴，∴最大角，∴不是直角三角形． 6. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：B． 7. 下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（） A. 正方形的面积随边长的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 圆的周长随半径的变化而变化 D. 等腰三角形中，底角度数y随顶角度数x的变化而变化． 【答案】C 【解析】 【分析】先回忆正比例函数的定义，再依次写出每个选项对应的函数关系式，对照正比例函数的形式（为常数，）进行判断，选出符合条件的选项．A选项：写出正方形面积公式，对比正比例函数形式判断．B选项：根据矩形周长公式列出等式，整理得到与的关系式，再判断．C选项：写出圆的周长公式，对照定义判断．D选项：根据等腰三角形内角和关系列出等式，整理得到与的关系式，再判断即可． 【详解】解：A选项：正方形面积，不是正比例函数． B选项：由矩形周长为得，整理得，不是正比例函数． C选项：圆的周长，是正比例函数． D选项：由题意得，整理得，不是正比例函数． 8. 文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 二、填空题（本大题共5题，每小题4分，共计20分） 9. 如图，以为圆心，以为半径画弧交数轴于点；则数轴上点所表示的数为_________，点所表示的数比__________（填“大”或“小”）． 【答案】 ①. ②. 大 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，点在数轴的负半轴，据此即可得到点所表示的数，根据算术平方根的估算即可判断点所表示的数比大． 【详解】解：由题意可得，， ∵以为半径画弧交数轴于点，点在数轴的负半轴， ∴数轴上点所表示的数为， ∵， ∴，即， ∴， 即点所表示的数比大． 10. 在平面直角坐标系中，点在第一象限，它到轴的距离为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合第一象限点的坐标特征、点到y轴的距离与横坐标的对应关系列方程求解，同时验证纵坐标符合第一象限的取值要求． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴点P的横、纵坐标均为正数，即，. ∵点P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标的绝对值为2，即， 又∵， ∴， 解得， 验证：当时，，满足第一象限的坐标要求． 11. 小张周末出门时有100元，去文具店购买单价为8元的铅笔作为半期考试奖品，当他购买了x（0＜x≤12）支后，还剩y元，写出y与x的关系式是________． 【答案】y＝100﹣8x（0＜x≤12） 【解析】 【分析】根据剩余的钱数等于总钱数减去花去的钱数进行列函数关系式即可． 【详解】解：y与x的关系式为：y＝100﹣8x（0＜x≤12）， 故答案为：y＝100﹣8x（0＜x≤12）． 【点睛】本题主要考查的是函数关系式的有关知识，根据题意找出所求量的等量关系是解答此题的关键． 12. 半径为的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，勾股定理，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ，， ， 中间空白部分的面积为， ∵以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为， 故答案为：1． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； 步骤2：作直线交于点，交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，设，则，在中， 根据勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，垂直平分，交于点， ∴ 设，则， 在中， ， ∴， 解得 即的长为． 三、简答题（本大题共5题，共计48分） 14. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算乘法，再计算乘方，最后根据绝对值的性质化简绝对值，再合并同类二次根式． （2）先把各项二次根式化成最简二次根式，再计算二次根式除法，最后合并同类二次根式． （）先用完全平方公式、平方差公式展开，再合并化简． （4）先移项，再利用平方根的定义开平方，转化为一元一次方程求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：， ， ， ∴或 解得． 15. 已知：函数是关于的一次函数，的算术平方根是4，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） ，， （2） 的立方根为 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的定义列方程与不等式求，利用算术平方根的定义求，通过估算的范围求； （2）代入的值计算代数式，再求其立方根.  【小问1详解】 解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 由得，即， 又∵得， ∴； ∵的算术平方根是， ∴， 解得； ∵，即， ∴的整数部分；  【小问2详解】 解：将，，代入， 得， ∵， ∴的立方根是，即的立方根为. 16. 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） （3） 解：如上图所示，点即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 17. 王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程/ 油箱剩余油量/ （1）在这个问题中，自变量是________，因变量是________； （2）该轿车油箱的容量为________，当行驶时，油箱中的剩余油量为________； （3）根据上表反映的规律写出与之间的关系式为_______（不要求写出的取值范围）； （4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，则，两地之间的距离是________． 【答案】（1）行驶的路程；油箱剩余油量 （2）50；34 （3） （4）350 【解析】 【分析】（1）根据自变量和应变量的定义：自变量‌是主动变化的量，‌因变量是随之变化的量，据此作答即可； （2）观察表格可得油箱容量，再根据表格中和的变化规律计算剩余油量； （3）根据（2）可知与之间成线性关系，设，代入表中的数据求出系数即可； （4）将代入（3）中的关系式即可得到． 【小问1详解】 解：自变量是行驶的路程，因变量是油箱剩余油量． 【小问2详解】 解：由表可知，当时，， 则油箱的容量为； 观察表格：， 则行驶的路程每增加，消耗的油量为， 行驶时，油箱中的剩余油量为：． 【小问3详解】 解：根据（2）可知与之间成线性关系， 则设， 将代入，得： ， 解得：， 与之间的关系式为：． 【小问4详解】 解：将代入，得， ， 解得：． 则，两地之间的距离是． 18. 在中，，点D为斜边所在直线上的一动点． （1）如图1，当在斜边上，也在上时，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接，试说明：； （2）在（1）的条件下，当，时，求的度数和的长； （3）若，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，求的长． 【答案】（1）证明：将绕点A逆时针旋转后，得到， ， ， ， ， ， ， （2）， （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等，再根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）设，则，在中，由，推出，解方程即可； （3）分两种情形，①当点D在线段上时，先证 ，求出，再根据勾股定理计算即可；②当点D在的延长线上时，同法可得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ， ， 设，则， ， ， ， ； ， ， 在中， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 ①当点D在线段上时，如下图2，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点D在的延长线上时，如下图3，连接， ， ， 同理可证是直角三角形，， ， ， 综上所述，的值为或． B卷（50分） 一．填空题（每小题4分，共20分） 19. 若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负的性质求出的值，再代入求出的值，最后计算的算术平方根. 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，， 解得， 把代入，得， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 20. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴判断，，的大小与正负，确定、的符号；再利用立方根、算术平方根、绝对值的化简规则去掉符号，最后合并化简式子． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ， ， ， 原式 ． 21. 我国古代数学专著《九章算术》有这样一段文字“今有木长一丈2尺，围之四尺，葛生其下，缠木六周，上与木齐，问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树，高为1丈2尺，底面周长为4尺，葛就生长在树下，缠绕了大树6周，顶端与树一样齐，问葛有多长？葛为__________尺丈尺）． 【答案】 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开为长方形，葛长为长方形对角线长，利用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，丈尺，则树高为尺 ， 将大树侧面展开，葛的路径构成直角三角形的斜边 ，直角三角形的一条直角边为树高，长度为尺 ， 底面周长为尺，葛缠绕了周 ， 另一条直角边长为尺 ， 由勾股定理得，葛长为    尺． 22. 如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，通过倍长构造全等三角形 ，将分散的线段集中到 中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，  ，，  ，，  ，  ，  ，  ，  ， 延长至使得，连接、，过点作交的延长线于点， 为的中点，  ， 在和中， ，  ，，  ，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ， 在 中，，  ，  ，   ， 在中， ，   ，  ，  ，   23. 在平面直角坐标系中，对于点，、，，将的值叫作点与点的“横纵距离”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．已知点，． （1）若点，在坐标轴上，且与点的“横纵距离”为4，则连接所有符合条件的点所围成的图形面积为_____________； （2）已知点在轴上，线段关于点的“围差”为3，点的坐标为_____________． 【答案】 ①. 24 ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据“横纵距离”定义，分情况讨论点E的坐标，再将所有符合条件的点E坐标连接后利用三角形面积公式即可求解； （2）设点C坐标为，分点C在点B的左侧和右侧两种情况分类讨论，结合图形分别表示出点A到线段上一点的“横纵距离”的最大值和最小值，再根据线段关于点A的“围差”为3列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：①由题意知，， ∵点在坐标轴上， 此时分情况讨论： （i）当点E在x轴上时，则点E的坐标为， ∴，即， 解得：， ∴，； （ii）当点E在y轴上时，则点E的坐标为， ∴，即， 解得：或， ∴，， 如图，连接，，，， ∴所有符合条件的点所围成的图形面积为； ②设点C坐标为， 当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：， 此时点A到线段上一点的“横纵距离”的最大值是，最小值为， ∴， 解得：； 当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图： ∵线段关于点的“围差”为3，最大值不能为， ∴点C在x轴正半轴，， 此时点A到线段上一点的“横纵距离”的最大值是，最小值为， ∴， 解得：， 综上所述，点C的坐标为或． 二、解答题（本大题共3题，共计30分） 24. 已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________（填“”，“”或“”） （3）计算：； （4）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∴ ； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，C是x轴负半轴上一点，且，P是y轴正半轴上一点，作于点D，连接OD． （1）C点坐标为______，______． （2）①当点P在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的P点坐标． ②如图2，设DP交直线AC于点E，连结CP，若，则______（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据点、坐标可得出、、的长，利用勾股定理即可求出答案； （2）①当时，利用可证明，得出，进而求出的长即可得点坐标；当时，利用等腰三角形点性质及直角三角形两锐角互余可得出，即可得点坐标；综上即可得答案；②分点在线段上和点在点上方两种情况，根据可求出，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得出，进而求出的长，根据三角形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 解：∵A点坐标为，B点坐标为，， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴． 故答案为：， 【小问2详解】 ①当时， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为． 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：点坐标为或． ②如图2，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图3，当点在点上方时， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或 【点睛】本题考查坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形点判定与性质及三角形面积的计算，熟练掌握相关性质及判定定理，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． 26. 已知在中，，，点是边上一动点，以为斜边向下作，使，． （1）如图1，设的度数为， ①用含的代数式表示； ②当时，求的值； （2）设， ①如图2，延长交于点，若，求长； ②如图3，连结，在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）① ； ②． 【解析】 【分析】（1）①由得，利用平角即可求； ②由得，根据等边对等角得即可解答； （2）①根据题意可得垂直平分，则，推出，，在上取点，连接，使，得出，则，设，则，运用勾股定理可得，根据题意建立方程求解即可； ②作点关于的对称点，连接，，，取的中点，连接，，可得，，三点共线，是等边三角形，利用勾股定理和倍长中线的方法求出，，再由两点之间线段最短即可求得答案． 【小问1详解】 解：①，， ， ； ②， ， ， 中，，， ，， ， 即； 【小问2详解】 解：①，， 垂直平分， ， ，， ，， 在上取点，连接，使，如图， 则， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 长为； ②作点关于的对称点，连接，，，取的中点，连接，，如图， 则，， ，，三点共线，是等边三角形， ， 点是的中点， ，， 在中，， 在中，点是斜边的中点， 延长至点，使， 在和中， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $