1.3 集合的基本运算 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.3　集合的基本运算

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．理解两个集合的并集与交集的含义，能用 Venn 图和数轴表示并、交运算，会求简单集合的并集与交集。

2．理解全集与补集的含义，能求给定子集相对于指定全集的补集，会正确使用补集符号。

3．能进行交、并、补的混合运算，会根据运算结果求集合中字母的取值范围，体会数轴与 Venn 图在集合运算中的作用。

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 1．并集

取两个具体集合 ，。把 的元素与 的元素合并成一个集合，得到 {1,2,3,4,5}：3 与 4 同时属于两个集合，合并时只写一次。在图 1 的 Venn 图里，这个结果正好是两个圆覆盖的全部区域，它由三部分元素组成：只在 中的、既在 中又在 中的、只在 中的。

图 1: 阴影部分（两圆覆盖的区域）表示

(1) 定义：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的集，记作 ，读作“ 并 ”。

(2) 符号语言： 或 。判定一个元素是否属于 ，只需检验“”与“”这两件事是否至少有一件成立。

(3) 这里的“或”与日常说话里“要么这样、要么那样”不同：三种情形 且 、 且 、 且 中的元素都属于并集。

 提醒： 并集对应“或”，交集对应“且”，两个字的差别正好决定结果里有没有只属于一个集合的元素。把“或”当成“只取其一”， 那一块就会丢；把“且”当成“其中之一”，结果里就多出不公共的元素。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 若 ，，则 。（　　）

(2) 若 ，则 中的元素一定都在 中。（　　）

 2．交集

仍看 ，。两个集合公共的元素是 3 与 4，由它们组成的集合 {3,4} 在图 2 中就是两圆重合的那一块。换一个非数集的例子：设 是平面内矩形的集合， 是平面内菱形的集合，既是矩形又是菱形的那些图形组成的集合就是 与 的公共部分。

图 2: 阴影部分（两圆的公共部分）表示

(1) 定义：一般地，由所有属于集合 且属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的集，记作 ，读作“ 交 ”。

(2) 符号语言： 且 。这里的“且”要求两件事同时成立， 与 缺一不可。

(3) 当 与 没有公共元素时， 与 的交集是空集，记作 ，不能说两个集合“没有交集”。

图 3: 数轴上 与 ：线段的公共部分对应

图 3 把两个由实数组成的集合画在同一条数轴上。第三条线段只保留了两条线段都盖住的那一段，它的左端点 0 不属于 ，右端点 3 既属于 又属于 。像这样在数轴上取公共部分，是求连续实数集交集的基本方法；把两段全部合起来（）就是 。

判断

(1) 若集合 与 没有公共元素，则 不存在。（　　）

(2) 若 ，，则 。（　　）

 3．全集与补集

考察满足 的实数 组成的集合。在有理数范围内，这样的数一个也没有；在实数范围内，它有两个元素 与 。这说明：讨论“哪些元素不在集合 中”，必须先把元素的取值范围定下来。这个范围在集合语言里就叫全集。

在图 4 中，矩形表示研究问题时所确定的全集 ，圆表示 的一个子集 。矩形内、圆外的阴影由全集中其余的元素组成。

图 4: 阴影部分（矩形内、圆外）表示

(1) 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为，通常记作 。

(2) 补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合，称为集合 相对于全集 的集，记作，读作“ 在 中的补集”。

(3) 符号语言： 且 。它含两类要求：元素必须在全集内，元素不能属于 ，两条同时成立。

(4) 在实数集 为全集的情形下， 的补集是 ：端点 1 不属于 ，所以属于 在 中的补集。

 提醒： 求补集第一步是写明全集。全集换成更大的集合，补集随之多出元素；边界处的数取还是不取，只把它代入集合的条件检验一次，不要凭不等号的形式猜。

判断

(1) 设全集 ，，则 。（　　）

(2) 集合 的补集只与 有关，与全集 的选取无关。（　　）

 4．集合运算的性质

回到图 1 与图 2：交集 落在圆 的内部， 又落在并集 的阴影内部，于是 的元素一定都是 的元素。图 5 把三个集合放进同一个矩形，矩形被分成八块区域，每一块都可以用交、并、补运算表示出来；例如只在圆 内的那一块，它的元素既属于 ，又不属于 ，还不属于 。