精品解析：湖北武汉市武钢三中2026-2027学年高二上学期十一月学科素养调研数学试卷

武汉市武钢三中高二上学期十一月素养调研数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数z是纯虚数的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，记项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（ ） A. B. C. D. 6. 设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人 C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分 10. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若为锐角三角形，则 C. D. 11. 已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点轨迹的长度为 B. 若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题 12. 已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 13. 已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 14. 设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则__________． 四、解答题 15. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． （2）①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 16. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 17. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 19. 已知椭圆经过点，过左焦点且垂直于长轴的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，不垂直于坐标轴的直线经过点，且与椭圆相交于点，． ①若直线的斜率是直线的斜率的倍，试探究是否为定值．若是，求出该定值，若不是，求出的取值范围； ②已知直线经过点，过点作直线，使得，且与椭圆相交于点，，设点，均位于轴上方，直线与交于点．若，，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市武钢三中高二上学期十一月素养调研数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的运算可得. 【详解】因为集合，， 所以， 综合选项判断可得B正确. 故选：B. 2. 复数z是纯虚数的一个充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据纯虚数的定义以及各选项所给条件逐一分析判断. 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则 ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数的一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 3. 在的展开式中，记项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果. 【详解】根据题意，得到展开式中项的系数为： ， 所以，，，， 因此． 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，以及组合数的计算，属于常考题型. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 在同一坐标系中作出和的图像： 令，由相邻交点的性质可得， 解得, 分别令，得到相邻三个交点的坐标， ，， 此时等边底边，高为， 又正三角形中，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 5. 如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设“升篓”的高为，米的密度为， 可知上、下底面边长分别为，，则中截面的边长为， 则上底面面积为，下底面面积为，中截面面积为， 所以，解得， 则剩余米的重量为. 6. 设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由和点在双曲线上得到两个方程，利用平分得到角平分线定理，将线段比转化为离心率的表达式，联立方程消元后得到关于离心率的方程，解出并结合确定最终结果. 【详解】设，由得（1） 又在双曲线上：（2） 由平分，由角平分线定理得（3）， 由 (1)(2) 消去得（4）， 又 将 代入 (3) 的平方： 即，整理得（5）， 由(4)(5)得即 因为，所以，代入得 化简得，即， 解得，因为，所以 7. 在中，角，，的对边分别是，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通分原式，再利用正弦定理化简为，再利用余弦定理结合已知条件，可得，从而求出的值，得出判断. 【详解】由题可知 ， 在中，，则，所以， 即，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，又，所以， 因此. 8. 设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，可转化问题为对于恒成立，设，，结合其单调性转化问题为对于恒成立，令，则对于恒成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 则函数在上单调递增，而， 则，即， 则对于恒成立，而， 设，，显然在上单调递增，且， 则，即对于恒成立， 令，则对于恒成立， 令，，则， 令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围为. 二、多选题 9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人 C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分 【答案】ABD 【解析】 【详解】，，A对． ，即内的有15人，B对． 平均分，C错． ，这100名学生成绩的第60百分位数为80分，D对． 10. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若为锐角三角形，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理和基本不等式，求得，可判定A正确；根据余弦定理，列出不等式组，求得的范围，可判定B不正确；利用正余弦定理，化简得到，结合两角和的正弦公式，可判定C正确；利用正弦定理和基本不等式，求得，可判断D正确. 【详解】对于A，因为，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以的最小值为，所以A正确； 对于B，由为锐角三角形，可得， 因为，可得，即， 设，则，可得，解得， 即，所以B不正确； 对于C，由余弦定理得， 又由正弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 即所以C正确； 对于D，由，由正弦定理得， 又由， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 当，可得，若，可得， 此时，即不成立，所以， 由A知：，所以，所以所以，所以D正确. 11. 已知正方体外接球的体积为，点满足，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则点轨迹的长度为 B. 若点在线段上（不包括端点），则的最小值为4 C. 当时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，求得正方体的棱长为，由和，求得，得到点的轨迹为一段圆弧，求得圆弧的长度，可判定A正确；由点在线段上，得到，利用基本不等式，可判定B错误；由，得到点在棱上运动，结合，可判定C正确；由，得到点在线段上运动，建立空间直角坐标系，结合，可判定D错误. 【详解】由正方体外接球的体积为， 设正方体外接球的半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 对于A，因为点满足，可得点在平面上， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆弧， 故点的轨迹的长度为，所以A正确； 对于B，若点在线段上（不包括端点），则，其中， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，所以B错误； 对于C，当时，点在棱上运动， 此时为定值，所以C正确； 对于D，当时，如图，分别是的中点，点在线段上运动， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 可得， 因为， 所以与不垂直，所以不存在点，使得平面，所以D错误. 三、填空题 12. 已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由单位向量，满足，化简得，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由单位向量，满足， 可得， 又因为，可得， 设向量与的夹角为，且， 因为，所以. 13. 已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再求出在方向上的投影向量，最后再求向量在平面内的投影向量. 【详解】由，，，可得： ，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，又，所以. 在方向上的投影向量为： ， 又向量在平面内的投影向量为： . 14. 设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，进而得到，根据已知得即可得结果. 【详解】由，得，于是， 因此， 因为，所以， 所以数列为递增数列. 又，，所以恒成立. 所以，于是，则. 四、解答题 15. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． （2）①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】（1）选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. （2）①；②该公司2030年的年利润最大 【解析】 【分析】（1）根据残差图确定即可； （2）①根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；②根据题意结合二次函数性质计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 16. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点到平面的距离. 【答案】（1）证明：在三棱柱中，连接，设与相交于点，连接， 由四边形是平行四边形，得点为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解；（ⅱ）利用点到平面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ⅱ）由（ⅰ）知， 所以点到平面的距离. 17. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记，若对恒成立，求实数的取值范围； （3）记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 的最大值为，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由递推关系式利用等比数列定义求通项； （2）先根据错位相减法求出前项和，得到数列的通项公式，再作差研究数列单调性找到最大值，进而由恒成立求得参数范围； （3）对裂项相消求和，再根据的单调性与取值范围确定的最大值和整数的最小值. 【小问1详解】 由递推关系，变形得， 因此数列是首项为、公比为的等比数列. 故，即. 【小问2详解】  ① ， 两边同乘得： ② ， ①②得：  ， 因此，则，故. ， 当时，，即； 当时，，即从第2项起单调递减， 因此的最大值为. 由对任意恒成立，得，即的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）得， ，因此. 前项和. 又为单调递增数列，故，且. 由对恒成立， 所以，. 即实数的最大值为，整数的最小值为 1. 18. 若定义在上的单调函数，满足对于任意的，都有． （1）求的解析式； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）若，当时，试比较：与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由在上单调，可得存在唯一的实数，使得，进而结合题设求解即可； （2）由题设可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）方法一：结合（2）可得对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而得到，可得，进而得解； 方法二：设，，利用导数分析可得在上单调递增，设，，利用导数分析其单调性可得，进而得到，进而得解. 【小问1详解】 在上单调，∴存在唯一的实数， 使得，则为定值对于任意的恒成立． 故，而， 取，在上单调递增，且，则， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 则对于恒成立， 设，，则， 而，，设，， 则，而在上单调递增，且， ①当时，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，此时有成立，满足题意． ②当时，， 由于在上单调递增，且， 故当时，，在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 故有当时，，不符合题意． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：由（2）知：当时，对于恒成立， 则对于恒成立， 设，， 则， 故在上单调递增，故，则有， 变形得，即，则， 即，则. 方法二：设，， 则， 设，， 则，所以在上单调递增， 故，即，则在上单调递增， 设，， 则，故在上单调递减， 故，则有， 则，即， 即有时，，即. 19. 已知椭圆经过点，过左焦点且垂直于长轴的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，不垂直于坐标轴的直线经过点，且与椭圆相交于点，． ①若直线的斜率是直线的斜率的倍，试探究是否为定值．若是，求出该定值，若不是，求出的取值范围； ②已知直线经过点，过点作直线，使得，且与椭圆相交于点，，设点，均位于轴上方，直线与交于点．若，，求面积的最小值． 【答案】（1）； （2）①是，定值为；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，即可得椭圆方程； （2）①直线与椭圆联立，结合韦达定理和斜率公式，化简整理即可求解；②将直线和椭圆联立，根据韦达定理，将弦长表示出来，再结合三角形面积公式和不等式性质，即可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由题知，，所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 ①设直线，，， 联立，化简得， 由韦达定理且， 又，， 所以 所以 ， 所以为定值3． ②由题意，，， 所以 由①知，，， 所以 用换有， 所以， 取等条件：，解得． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $