湖北武汉市武钢三中2026-2027学年高二上学期10月学科素养调研数学试卷

武汉市武钢三中2026-2027学年度上学期学科素养调研 高二数学 考试时间：2026年10月24日上午10:00-12:00 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知直线：和：平行，则实数（ ） A． B． C． D． 2．假设，，且与相互独立，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.58 3．若直线的方向向量，，则的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知：和：的一条公切线方程为，则两个圆的公共弦长为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比（，），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，，若点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．若圆：上恰有四个点到直线：的距离等于1，则的值可能是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．抛掷一枚骰子两次．设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A．事件与事件互为对立事件 B． C． D．事件与事件相互不独立 11．棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在一点，使得 D．二面角最小时，其平面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆：与圆：有三条公切线，则__________． 13．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为__________． 14．正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上一动点，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知直线：，求： （1）直线关于点对称的直线的方程． （2）直线关于直线对称的直线的方程； 16．（本小题15分）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点． （1）在线段上找一点，使得平面； （2）在（1）的条件下，求与平面的距离． 17．（本小题15分）已知圆关于直线对称，且两点，在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）直线经过点，且与圆交于，两点．若的面积为，求直线的方程． 18．（本小题17分）已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线分别交两圆于两个不同的点，，且，求直线的方程． 19．（本小题17分）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，，点为线段上的动点，于． （1）若点为中点，证明：； （2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值； （3）求线段长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.A8.D9.ABC10.BC11.ABD V3+1 12.1613.514.2 15.【答案】(1)在直线1：3x-y+3=0上取点M(0,3),设点M关于点(，2的对称点为 +0-1y+3=2 M'(),所以21,2=2，解得=2，y=1,所以M'(21.又关于点L2)的对称 直线平行于1，所以k=3,所以对称直线的方程为y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0】 (2)7x+y+22=0 16.【答案】(I)以A为原点，AC,AB，AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则4(0,0,4)，C(2,0,0),M(01,0),N(11,4),P(11,2) ∴.AC=(2,0,-4).AM=(0,1,-4).AN=(1,1,0)AP=(11,-2) 设平面4CM的一个法向量为=(x,山，2)， i4C=0, [2x-4z=0, 则元：4M=0,即y-4z=0, 令z=1,得x=2,y=4, 此时元=(2,4,1) 设40=14N=(亿，元，0)(0≤元≤)】 则P0=40-AP=(2,元，0)-(，1-2)=(-1，元-1,2) 若PO平面ACM,则P吧⊥i, 从而P0i=0,即2(1-)+4(-1)+2=0 解得3， 0-号不 :当为线段AN上靠近N的三等分点时，P∥平面ACM. (2)由(1)知 :PO∥平面4CM,一PO与平面ACM的距离为点2到平面4CM的距离. 33 4421 :点到平面ACM的距离 V22+42+12 21√21-21 421 ∴PO到平面4CM的距离为21· 17.【答案】解：(1)连接两点(L,-),（4,2)线段的中垂线方程为y=-x+3, y=x+1 x=1 由y=-x+3,解得y=2 所以圆心C(1,2) 所以半径=V1-+(2+1=3 所以圆C的标准方程为(x-少°+(y-2=9。 (2)因为△ABC的面积 -4cocm∠4c-3m<4c8-是， 所以sin∠ACB=1 因为0<∠ACB<元， ∠ACB= 所 2 3V2 所以圆心C到直线I的距离为2. 若直线I的斜率不存在，则！的方程为x=3,此时圆心C到直线的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线l的方程为’-1=k(x-3),即a-y-3k+1=0, d=2k+135 则圆心C到直线l的距离V+12,解得k=1或k=7. 所以直线I的方程为x-y-2=0或7x-y-20=0. 18.【答案】(1)根据题意，圆0：+广=9，圆心为O(0,0),半径为3， 圆N:(x+5)+y=16,圆心为N(-5,0）,半径为4， 9 xX=- 、9 两圆方程相减得 5,所以直线AB的方程为 5 所以所求圆的圆心为、 所以以4B为直径的圆的方程为x5+2=4 25 (2)A在第二象限，由(1)可得 如图，不妨设点C,D分别在圆O和圆N上，易知直线CD的斜率存在，设直线CD的方程是 -号-g+号).即5-5y490+12=0,测车0到位线c0度为25+25.点V到百按 9 9k+12 -25k+9k+12-16k+12 CD的距离为V25k2+25 √25k2+25 因为AC=AD 9-(9k+12)月 所以25k2+25 16.6125 25k2+25, k、7 解得24 所以直线CD的方程为7x+24y-45=0, 19.【答案】解：(1)△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC. PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.PA⊥BC, 因为PA∩AE=A,PA、AEc平面PAE, ∴.BC⊥平面PAE,因为AFC平面PAE, ∴.BC⊥AF, 又：PE⊥AF,BC∩PE=E,BC、PEC平面PBC, .AF⊥平面PBC,FCC平面PBC, AF⊥FC: (2)以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC,EA为x轴，y轴的正半轴， 个z E 5ao,Pa5则.aol.c0.F02g9到 -aac-0f-兽到 设平面PAC的法向量为m=(x,y,2) m.AP=0z=0 则m:Ac=0x-3y=0 令少=1，则法向量为m=(5,L0 设平面ACF的法向量为元=(a,b,c), F=0 2b+ 4 c=0 4 则(i·AC=0 a-v3b=0 令c=1,则法向量为i=(3,5, 设平面PAC与平面ACF夹角为O, m_2√39 则 s0=cos(m,-厉3 (3)建系同2)设E,00-1≤1≤，PE=(,-V5,-,P所=P元=(，V52,- .F(,5-5,1-）AF=(2,-5,1- 1 :4f.P=0,+42-1=0,2=+4. 听-u-旷-小-j0--e426+小55 令-2-7=m,m∈[-9，-]. 4m m2+14m+65 +5=4 +5 .65 m+- 2+14 则 m 网m[9-而上单洞地戒.me[一瓜.-可上年调造搭 当m=-V65时， T-3- 8 CF =/65-1 min 4