陕西省西安市西北大学附属中学2026-2027学年高二上学期11月期中测试数学试题

西北大学附属中学期中测试2026-2027学年上学期高二数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标好.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收试题 第I卷（选择题58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A={x0<△x<2},B={x- 3≤x≤5}，C={x0<x<引，然后他们三人各用一句话来正确描述4“表示的数字，并让丁同学猜出该数 字.以下是甲、乙、丙三位同学的描述.甲：此数为小于5的正整数；乙：x∈B是x∈A的必要不充 分条件；丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则△”表示的数字是() A.3或4 B.-2或3 C.1或2 D.1或3 2.已知函数f四={“42t,x11在R上单调递增，则下列a的值可以是() A.2.3 B.3 C.3.5 D.4 3.己知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间不在△ABC所在平面内的点P,都有PQ=一2PA+ 5PB+mPC,则实数m的值为() A.0 B.-2 C.-1 D.2 4.己知集合A={x1≤x≤4}，B={xm≤x≤m+2},若xEB是xEA的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为() A.{m1≤m≤2} B.{ml1≤m<2} C.{mlm≤2} D.{mlm<2} 5.已知函数f)=sin(ωx-)(w>0)在区间（(-亚，0上单调递增，且在区间(0，m上有且仅有2个零点， 则ω的取值范围为() A.(佳) B.(（ c.(,2 D.(2] 6.已知双曲线C器-兰=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,以F1为圆心的圆与C的一条渐 近线相切于点G,若GF·GF=-bc,则C的离心率为() A.v2 B. C.2 D.3 7.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,V2,则四边形ABCD面积的最大值 为() 试卷第1页（共4页） A.4 B.2v6 C.5 D.6 8.若直线：kx-y+4+2k=0与曲线y=V4-x2有两个交点，则实数k的取值范围是() A.(-∞，-1] B.（-o,-到 c.-1,-) D.-1,-) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.一组数据从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,这组数据的极差为4，平均数为3，方差为2，若y:=4x一 1(i=1,2,3,4,5)则() A.y1,y2,y3,y4,ys的第80百分位数为y4 B.y1,y2,y3,y4,y5的极差为16 C.y1,y2,y3,y4,y5的平均数为11 D.y1,y2,y3,y4,ys的方差为32 10.若P(MW=壬P(MW=号P(网=则() A.M与N互斥 B.M与N相互独立 C.P(MN)<P(MN) D.P(M+N)= 11.设正方体ABCD一A:B:C:D的棱长为2，F为棱CC1上的一个动点，则在点F运动的过程中，下列说 法正确的是() D B B A.BD⊥AF B.存在点F,满足A,B,F,D四点共面 C.直线AF与平面AADD所成角为定值 D.当F为CC,的中点时，三棱锥F一ABC的外接球的体积为驷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知F为椭圆E:号+y2=1的右焦点，△ABC的顶点为椭圆E上的三点，且FA+FE+下元=0，则项点 A的横坐标x4的取值范围为 I3.已知正方形ABCD与正方形ABEF构成一个大小为的二面角，将△ACD绕AD旋转一周，则在旋转过程 中，直线AC与平面ABEF所成角的取值范围是 试卷第2页（共4页） E D A==二二二日 B 14.如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点M(2,0)的直线L1,2与E分别相交于A,B和C,D,直线AD 过点F,设直线AD,BC的倾斜角分别为a,B,则tan(a-B)的最大值为· 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(本题13分)已知直线L:(k+1)x-(2k-1)y-3=0. (1)求直线所过的定点A的坐标： (2)求证：不论k取什么实数，直线与圆(x-1)2+y-2)2=25都相交于两点. (3)已知圆M经过定点A,B(3,4),C(-1,2),求圆M的方程. 16.(本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC/AD,AB1AD,AB=BC=2,△PAD是边长为4 的等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD B C (1)证明：PC1AD: (Q)点E在线段PD上，且器-子求平面EAC与平面DAC夹角的余弦值. 17.(本题15分)在三棱锥A-BCD中，已知△BCD,△ACD均是边长为a的正三角形，棱AB-a.现 对其四个顶点随机贴上写有数字18的八个标签中的四个，f(A),f(B),f(C),f(D)表示顶点A,B,C, D所贴数字，E为侧棱AB上一点. 试卷第3页（共4页） B D B (1)求事件“1f(C)-f(D)川=2的概率P1: (2)求事件“f(C)+f(D)为偶数的概率P2: (3)若A=A,求“平面ECD与平面ACD夹角0大于的概率P3. IEBI f(B) 18.(本题17分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0),与y轴交 于点C(O,-2),连接AC、BC,过点B作直线BD/AC,交抛物线于点D. 0 (1)求抛物线表达式： (2)点P是线段AC下方抛物线上一点，连接BP,DP,点Q是x轴上一动点，连接PQ,当△BPD的面积取得最 大值时，求点P的坐标及PQ+号BQ的最小值 19.(本题17分)已知椭圆C:兰+导=1a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F,(1,0),过点F1的 直线L1与椭圆C相交于A,B两点，当AB垂直于x轴时，AB|=3. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设过点F1且与直线L1垂直的直线L2交椭圆C于D,E两点，点M,N分别是弦AB,DE的中点，若直线l1和 直线L2均不与x轴重合， ①求证：直线MN过定点： ②当两直线L1和L2的斜率为何值时，△MWF2的面积取得最大值？ 试卷第4页（共4页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 c A B A D B D BCD BC 题号 11 答案 ABD 12.(,V②由题意可知，F(1,0),设A(x4yA,B(xa,yB),C(xcyc), 则FA=(xA-1,ya),FB=(xB-1,ya),FC=(xc-1,yc),由FA+FB+FC=0得， (xA-1)+(xB-1)+(xc-1)=0,整理得xA+xB+xc=3,yA+yB+yc=0 则BC的中点丝标为M(兰，罗)因为M在椭圆内，所以学+（分<1学<1--1 艺，解得x4>又x4∈[-V2,V,所以顶点A的横坐标x4的取值范围为(，V2, 13.后周 设ABEF所在的平面为a,△ACD绕AD旋转一周形成一个圆锥，显然圆锥的中轴线 AD与平面ABEF成5角，而LACD=票，在旋转过程中，如图，当点C离平面α最近 时直线与平面所成的角最小， 即最小角为芳-年 ,当点C离平面α最远时直线与平面所成的角最大，即最大角 为π-（ +9=晋 所以AC与平面ABEF所成角的范围为侣得哥 14.2 【详解】由题意，设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为直线l1过点M(2,0)与E相交于A,B两 点，设l1:x=y+2,与抛物线E:y2=4x联立，可得y1·y2=-8, 同理，可求得4=-8,14=-4y12=-8,可得=是1y4=-4,可得y4=是 y4 14豆蓝1+kac=2盟=23=生 由y3·y4=-8,可得y3=8=2y1,又kD===4 x2-x3y2喧y2+y31 4Γ4 44 风h为⅓k加专器a,c器腿 答案第1页（共7页） 所以tamu=2anf,所以a(a-)=器=温。若am0=0,则an(a-月=r=0, 若amg<0,则ta(a-)=<0,若ag>0,则ane-)=n 1 1 9+2ag>2高g2anB 方-要当且仅当a=号时，等号成立综上所述，ama-)的最大值为号 15.(1)将直线方程(+1)x-(2k-1)y-3=0展开并整理，得：kx+x-2ky+y-3=0, k(x-2y)+(x+y-3)=0,要使该方程对任意实数k恒成立， 需满是：{牛，2”。解得x2y1所以宜线所过伯定点A的坐标为21小1分) (2)已知圆(x-1)2+y-2)2=25的圆心为C(1,2),半径R=5,(5分) 定点A(2,1)到圆心C(1,2)的距离为：4Col=J(2-1)2+(1-2)2=、12+(-1)2=V2, 因为ACol=√2<5=R,说明定点A(2,1)在圆(x-1)2+y-2)2=25的内部，(9分) 因为直线恒过圆内定点A,所以不论k取什么实数，直线与圆都必相交于两点.(10分) (3)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为圆M经过A(2,1),B(3,4),C(-1,2)三点，（11分) 22+12+2D+E+F=0 代入坐标得： 32+42+3D+4E+F=0 (-1)2+22-D+2E+F=0 2D+E+F=-5① 化简得：了3D+4E+F=-25②(12分) -D+2E+F=-5③ 由①-③得：3D-E=0→E=3D, 由②-①得：D+3E=-20, 将E=3D代入上式得：D+9D=-20→10D=-20→D=-2,则E=3×(-2)=-6. 将D=-2,E=-6代入①得：2(-2)-6+F=-5→-10+F=-5→F=5. 所以圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+y-3)2=5.(13分) 16.(1)取AD中点为0，连接P0,0C, △PAD是边长为4的等边三角形，·P01AD, 又平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,·P0I平面ABCD,(3分) 又BC/AD,AO=BC=2,.ABCO是平行四边形，.OC/AB,又AB1AD, 0C1AD,0C=AB=2,又0P,0CC平面P0C且0P∩0C=0, ·AD1平面POC,又PCC平面POC∴PC1AD.(6分) (2) 答案第2页（共7页） ZA 以0为坐标原点，分别以0C,OD,0P的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系， 0(0,0,0),A(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,23,(8分) 因器=所以=而所以E(,) 由题意可知，平面DACc平面x0y,故平面DAC的法向量为n=(0,0,1),(10分) 向量4C=(2,2.0),A正=-(0) 设平面EAC的法向量为n=(x,y,z),(11分) 店-+g=0=-5.解得x=V,z=2.C13分) n2·AC=2x+2y=0 则 即2=(3，-3,2)， =离-w层元品-9(15分) 设平面EAC与平面DAC的夹角为0，则cos0=网=，2 17.(1)由于f(C、f(D)是从8个数字中选取两个不同的数字， 若f(C=1,则f(D)有7种：若f(C)=2,则f(D)有7种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个，(2分) 又因为满足If(C)-f(D)=2的基本事件有 (1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(5,7),(7,5),(6,8),(8,6), 共12个样本点，(3分) 根据古典概率知识得：P1=号=是：(4分) (2)用M1表示“f(C)、f(D)均为奇数的事件， 若f(C)=1,则f(D)有3种：若f(C)=3,则f(D)有3种：依此类推， 可知事件M1包含12个样本点， 用M2表示“f(C)、f(D)均为偶数”的事件，同上可知，事件M2也包含12个样本点， 又从1~8个数字中任取两个数字标签贴在C、D顶点的样本空间有56个样本点， 根据古典概率知识得：PM)=号=，P(M)=号=子(7分) 答案第3页（共7页） 记“f(C)+f(D)为偶数”为事件Q,则Q=M1+M2, 故P2=P(M)+PM2)=A+是-月(8分) (3)如图，取边CD的中点F,连结BF,AF,EF, 因为△BCD、△ACD均是边长为a的正三角形， 所以AF⊥CD,BF⊥CD, 因AF0 BF=F,AF,BFC平面ABF,因此CDI平面ABF,(10分) 因EFC平面ABF,则CD⊥EF,从而LAFE是平面ECD与平面ACD的夹角日， 又AF=BF=9Q=AB,则∠AFB=LFBA=∠BAF= 在△A5F中利用正弦定理得品一， sin4BAF,则AE=EF-sin9 sin4BAF(13分) EF.sin(0) 同理在△BEF中利用正弦定理得，BE= sin∠ABF D 当平面ECD与平面ACD夹角9大于时，<6≤5，则1<tan6≤V3, 当f(B)=1时，f(A)≥3，则f(A)可取3,4,5,6,7,8共六个值： 当f(B)=2时，f(A)≥6，则f(A)可取6,7,8共三个值： 当f(B)≥3时，f(A)≥9，则f(A)不存在， 从1~8个数字中任取两个数字标签贴在A,B顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得平面ECD与平面ACD夹角0大于的样本点有9个，所以P;=云(15分) 18.(1)因为抛物线y=x2+bx+c过点C(0,-2),所以c=-2. 将8(2,0)代入解析式，得×2+2b-2=0,则b=号 所以抛物线表达式为y=二x2+x-2.(3分) 6 (2)令y=0,则2x2+子x-2=0,解得x1=2,x2=-6,则A(-6,0). 所以kc=0=吉5分) 因为BD/AC,所以kD=kAc=-子则直线BD方程为y=-(x-2)=-x+子 答案第4页（共7页） 联立直线BD与抛物线得 y=-x+号 1 =2+x-2 所以D(-8,) 直线BD方程x+3y-2=0,设P(G+号t-2)-6<t<0, 点P到直线BD的距离为h= +3食+导-2-2_2+3t8到 √12+32 √12+32 因为6<t<0,所以对2+3t-8<0,所以h=子+8 10W10 BD= a-+(- 所以S△BPn-·|BD·h.(13分) 因为BD为定值，所以S△BPD最大，只需f)=-t2-3t+8取得最大值 f(0=--3t+8=-t+3)2+5 则当t=-3时，f(t)取得最大值，即S△BPD取得最大值 此时y=×(-3)2+号×(-3)-2=-即P(-3-) 过B(2,0)作直线l:y=-x+2,即x+y-2=0,它与x轴的夹角为45° 所以点Q(ko,0)到直线的距离为d=+0-2-上92=BQ V12+12 √2 2 所以PQ+号Q=PQ+d 当P,Q与Q到的垂足三点共线，且该直线垂直于时，上式取得最小值，最小值等于点P到直线的距离为 3+(到》_1=5=155(14分) √12+12 4 取最小值时，过P作的垂线，其斜率为1，方程为y+=x+3.(16分) 令y=0,解得x=-,即Q(-,0)(17分) 答案第5页（共7页） 19.(1)由腮意，当AB垂直于x轴时，AB-2g 由题意，得 兴=3，解得8二青 a a2=b2+1 (b2=3' 所以椭圆C的标准方程为号+号-1.(4分) (2)①证明：由题意，设直线AB的方程为x=my-1(m≠0)， 则直线DE的方程为x=一y-1.设ACx1y),B(x2,2). (x=my-1, 消去x,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0.(6分) 3 △=36m2+363m2+4)=14(m2+1)>0,则y1+h=4 由题意，得yM=2=,3m 2 3m2+41 A M F E 所以xu=myu-1-3车则M(3) 4 将点M坐标中的m用-代换，得弦DE的中点N(n牛3，一n+) 4m2 3m 当=得m2=1,所以-= 4 4m2 所以直线MN的方程为x=-手 (9分) 3m13m 当m2≠1时，直线MN的斜率kMN=nm m2 7m 4 4(m2-万 3m2+44m2+3 所以直线MN的方程为切一器一可(x+÷) 3m 整理得y=(+) 所以直线MN过点(-，0)(13分) ②直线l1和l2的斜率分别为1和-1 (2) ②由题意，得△MNF2的面积 答案第6页（共7页） s-2,-w-wl=x(+身bn4+ ）.3m 3m1 号号 设m+=t,则t≥2,15分) 5号号 由对勾函数的性质，得函数y=12t+在[2，+oo)上单调递增， 所以当t=2,即m=士1时，S取得最大值为，即△MNF,面积的最大值为 此时两直线l1和l2的斜率分别为1和-1.（17分) 答案第7页（共7页）