1.2 一定是直角三角形吗 素养培优卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2026—2027学年　北师大版　八年级数学上册

1.2 一定是直角三角形吗（素养培优卷）

题型目录

题型1　利用三边长度判断直角三角形

1．某单位有一块四边形的空地，，量得个边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草．

  

(1)连接，证明：是直角三角形；

(2)若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？

2．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有__．(填序号)

3．若实数y的立方根为2，且实数x，y，z满足．

(1)求的值；

(2)若x，y，z是的三边，试判断三角形的形状．

4．点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ）

A．4　 B．2　 C．1　 D．0

5．下列是直角三角形的有(　　)个

①△ABC中a2＝c2﹣b2

②△ABC的三内角之比为3：4：7

③△ABC的三边平方之比为1：2：3

④三角形三边之比为3：4：5

A．1　 B．2　 C．3　 D．4

6．同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．

题型2　勾股数识别与构造

7．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．

(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；

(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．

8．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ）

a	b	c
3	4	5
8	6	10
15	8	17
24	10	26
…	…	…
x	14	y

A．67　 B．34　 C．98　 D．73

9．观察下列等式：

第1个等式
第2个等式
第3个等式
第4个等式
．．．．．．	．．．．．．

（1）补充上述表格．

发现：

（2）请用含（为正整数，且）的等式表示上述规律：______．

应用：

（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．

10．阅读理解并解答问题

如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．

(1)请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数；

(2)写出一组不同于3、4、5的勾股数；

(3)如果m表示大于1的整数，且a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数．

11．一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且）：

m	2	3	3	4	4	…
n	1	1	2	1	2	…
a						…
b	4	6		8		…
c						…

(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：______，______，______．

(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．

12．勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．

【探究1】

（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；

（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；

（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．

【探究2】

观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：

（1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _；

（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _；

（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．

_；

请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．

题型3　利用勾股逆定理证明垂直关系