4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.3.1 等比数列的概念 第课时 等比数列的性质及应用 一、知识点自测 知识点 等比数列及其性质 .已知等比数列的各项均为正数,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为,所以.故选B. .在等比数列中,,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由等比数列的性质得,故,得.由,得,则,所以.故选C. .在等比数列中,,,求. 【答案】或 【详解】设等比数列的公比为q. 因为,, 所以或 所以或. 因为,所以的值为或. 知识点　等比数列的判定和证明 1.（1）数列的前n项和为,,,,求证:数列为等比数列. 证明:易知.因为,所以. 又, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. （2）数列满足,,证明:数列是等比数列. 证明:由,得,. 因为,所以, 所以, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. （3）数列满足,.求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为, 所以. 因为,所以,所以. 所以, 所以是以为首项,为公比的等比数列. 所以,所以. 2.数列的前n项和为,且. 求证:数列为等比数列; 求数列的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明:因为①, 所以当时,②. ①-②,得,即③. 又当时,,即,所以.由③可得, 则数列为以为首项,为公比的等比数列. 由知. 知识点　学习等比数列的实际应用 1. 某种细菌在生长过程中,每min分裂一次(由一个分裂为两个),经过min,此细菌可由一个分裂成 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】 由题意可得一个细菌min后共有个,min后共有个……从而得到 min后共有个,所以经过min,此细菌可由一个分裂成个.故选C. 某渔场养鱼,第一年鱼的产量增长率为,以后每年的产量增长率都是上一年增长率的一半. ①当饲养五年后,鱼的产量预计是原来的多少倍? ②如果由于某种原因,每年的损失是预计产量的,那么多少年后,鱼的产量开始减少? 【答案】①倍；②第五年开始,鱼的产量开始减少 【详解】①设鱼原来的产量为a,n年后鱼的产量为,则 所以,五年后鱼的产量是原来的倍,即倍. ②设n年后鱼的实际产量为,则 由,得. 即,解得.　 因此,从第五年开始,鱼的产量开始减少. 2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质质量是原来的,这种物质的半衰期(放射性物质质量衰减到原来的一半所需要的时间称为该物质的半衰期)为多长? (参考数据:,,精确到年) 【答案】大约为年 【详解】设这种物质最初的质量是,经过n年,剩余质量是.由条件可得,数列是一个等比数列,其中,.设,则,两边取常用对数,得. 故这种物质的半衰期大约为年. 知识点　研究等比数列与等差数列的综合应用 1.已知为等差数列,且公差,是和的等比中项. 若数列的前m项和,求m的值; 若成等比数列,求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】因为是等差数列, 所以,,. 因为是和的等比中项, 所以,所以. 又,化简得,所以. 由,解得(负值已舍去). 因为成等比数列, 所以该数列的公比,所以.　 又因为为等差数列,所以, 所以. .在公比大于的等比数列中,已知,且成等差数列. 求数列的通项公式. 已知,当n为何值时,取得最大值? 并求的最大值. 【答案】（1）；（2）当或时，　 【详解】设数列的公比为, 由,得. 因为成等差数列, 所以, 则,即,　 解得(负值已舍去),所以. 所以. . 因为, 所以当或时,取得最大值,此时最大值为.　 .数列的前n项和记为,,. 求数列的通项公式; 等差数列的各项均为正数,其前n项和为,且,又成等比数列,求. 【答案】（1）；（2） 【详解】由, 可得. 两式相减,得,即. 又因为,所以. 故是以为首项,为公比的等比数列, 所以. 设的公差为d. 由,得,可得, 故,. 又, 由题意可得, 即,整理得, 解得或. 因为等差数列的各项均为正数,所以. 所以.所以. 所以. 二、课后练习 A组 夯实基础 .已知等比数列中,,,则等于（ ） A． B． C．- D．不确定 【答案】C 【详解】 由等比数列,得.因为,所以,所以.故选C. .在等比数列中,,,则（ ） A． B．- C． D． 【答案】D 【详解】 在等比数列中,,,则,.因为与的符号一致, 所以.故选D. .已知等比数列的前n项和是,,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设等比数列的公比为q,显然,则 ,解得.又 .故 选D. .画一个边长为的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第个正方形,然后以第个正方形的一条对角线为边画第个正方形……这样共画了个正方形,则第个正方形的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 依题意,得这个正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列,所以. 所以第个正方形的面积.故选C. 多选)已知数列为等比数列,下列结论正确的有（ ） A． 数列为等比数列数列 B． 为等比数列数列 C． 为等差数列数列 D． 为等差数列 【答案】BCD 【详解】 设等比数列的公比为q. 对于A,当时,,故A错误; 对于B,, 所以,是等比数列,故B正确; 对于C,,是等差数列,故C正确; 对于D, ,是等差数列,故D正确. 故选BCD. .已知数列的前n项和为,且满足,,则的通项公式为________. 【答案】 【详解】 当时,,因为,所以, 当时,, 则, 即,. 又, 所以从第项起构成首项为,公比为的等比数列, 则. 所以 .已知数列满足,且,则的值为________. 【答案】- 【详解】 因为, 所以,所以, 所以,所以是公比的等比数列. 所以 . .设公比不为的等比数列满足,且成等差数列,求. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为, 因为,所以. 因为成等差数列,所以. 所以, 解得或(舍). 所以. .已知数列满足,,. 证明:是等比数列; 求数列的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明:由, 得. 又因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列. 由知. 则. B组 能力提升 .在等比数列中,,公比.若,则m等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为, 所以.故选B. 多选)已知递增等比数列的公比为q,则下列说法正确的有（ ） A．当时,当时,当时, 【答案】AC 【详解】 对于A,当时,从第二项起,数列的每一项都大于前一项,所以数列为递增数列,故A正确. 对于B,当时,为摆动数列,故B错误. 对于C,当时,数列为递增数列,故C正确. 对于D,,当时,,此时;当时,,,故D错误. 故选AC. 多选)记为数列的前n项和.若,则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】 对于A,当时,,解得,故选项A正确; 对于C,当时,,所以,即. 所以是以-为首项,为公比的等比数列,所以,故选项C正确; 对于B,,故选项B错误; 对于D,,故选项D正确.故选ACD. .“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为每一个单音的频率与前一个单音的频率的比为,所以 ,故,.又,所以.故选B. 多选)已知等差数列的前n项和为,公差为d,正项等比数列的前n项积为,公比为q,下列结论错误的有（ ） A． 若有最大值,则 B． 若,则有最大值 C． 若,则 D． 若,则 【答案】ACD 【详解】 当时,最大,此时,故A错误; 因为,所以当时,有最大值,故B正确; 由,可得,但不一定成立,故C错误; 若,则,但可以大于或等于,此时,故D错误. 故选ACD. .已知是等比数列,且,,则________,的最大值为________. 【答案】　 【详解】 因为是等比数列,, 所以,即. 因为,所以. 故,即,当且仅当时,等号成立. .已知数列是首项为,公比为q的等比数列. 求证:当时,是递减数列; 若对任意,都有成等差数列,求q的值. 【答案】（1）见解析；（2）或 【详解】证明:因为. 所以. 当时,有,, 所以,即. 所以为递减数列. 因为成等差数列, 所以. 所以, 即. 因为,所以, 解得或. C组 思考题 .等比数列的前n项积为,,则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为在等比数列中,,由, 得,解得,所以.因为等比数列中奇数项同号,所以,,于是,当且仅当时取得最小值.故选C. .已知圆和点,若过点P的条弦的长度构成一个递增的等比数列,则该数列公比的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 过圆内点作该圆的弦,其中最大弦长为,最小弦长为, 所以当,时,公比q取得最大值,此时,即. 因为过点P的条弦的长度构成一个递增的等比数列,所以,所以该数列公比的取值范围是.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 4.3.1 等比数列的概念 第课时 等比数列的性质及应用 一、知识点自测 知识点 等比数列及其性质 .已知等比数列的各项均为正数,且,则（ ） A． B． C． D． .在等比数列中,,且,则（ ） A． B． C． D． .在等比数列中,,,求. 知识点　等比数列的判定和证明 1.（1）数列的前n项和为,,,,求证:数列为等比数列. （2）数列满足,,证明:数列是等比数列. （3）数列满足,.求数列的通项公式. 2.数列的前n项和为,且. 求证:数列为等比数列; 求数列的通项公式. 知识点　学习等比数列的实际应用 1. 某种细菌在生长过程中,每min分裂一次(由一个分裂为两个),经过min,此细菌可由一个分裂成 A．个 B．个 C．个 D．个 某渔场养鱼,第一年鱼的产量增长率为,以后每年的产量增长率都是上一年增长率的一半. ①当饲养五年后,鱼的产量预计是原来的多少倍? ②如果由于某种原因,每年的损失是预计产量的,那么多少年后,鱼的产量开始减少? 2.某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质质量是原来的,这种物质的半衰期(放射性物质质量衰减到原来的一半所需要的时间称为该物质的半衰期)为多长? (参考数据:,,精确到年) 知识点　研究等比数列与等差数列的综合应用 1.已知为等差数列,且公差,是和的等比中项. 若数列的前m项和,求m的值; 若成等比数列,求数列的通项公式. .在公比大于的等比数列中,已知,且成等差数列. 求数列的通项公式. 已知,当n为何值时,取得最大值? 并求的最大值. .数列的前n项和记为,,. 求数列的通项公式; 等差数列的各项均为正数,其前n项和为,且,又成等比数列,求. 二、课后练习 A组 夯实基础 .已知等比数列中,,,则等于（ ） A． B． C．- D．不确定 .在等比数列中,,,则（ ） A． B．- C． D． .已知等比数列的前n项和是,,,则（ ） A． B． C． D． .画一个边长为的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第个正方形,然后以第个正方形的一条对角线为边画第个正方形……这样共画了个正方形,则第个正方形的面积等于（ ） A． B． C． D． 多选)已知数列为等比数列,下列结论正确的有（ ） A． 数列为等比数列数列 B． 为等比数列数列 C． 为等差数列数列 D． 为等差数列 .已知数列的前n项和为,且满足,,则的通项公式为________. .已知数列满足,且,则的值为________. .设公比不为的等比数列满足,且成等差数列,求. .已知数列满足,,. 证明:是等比数列; 求数列的通项公式. B组 能力提升 .在等比数列中,,公比.若,则m等于（ ） A． B． C． D． 多选)已知递增等比数列的公比为q,则下列说法正确的有（ ） A．当时,当时,当时, 多选)记为数列的前n项和.若,则（ ） A． B． C． D． .“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第六个单音的频率为（ ） A． B． C． D． 多选)已知等差数列的前n项和为,公差为d,正项等比数列的前n项积为,公比为q,下列结论错误的有（ ） A． 若有最大值,则 B． 若,则有最大值 C． 若,则 D． 若,则 .已知是等比数列,且,,则________,的最大值为________. .已知数列是首项为,公比为q的等比数列. 求证:当时,是递减数列; 若对任意,都有成等差数列,求q的值. C组 思考题 .等比数列的前n项积为,,则的最小值是（ ） A． B． C． D． .已知圆和点,若过点P的条弦的长度构成一个递增的等比数列,则该数列公比的取值范围是（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $