4.3.1 第2课时 等比数列的性质与判定 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a4＝(　　) A．－4 B．4 C．±4 D．6 解析：选B.因为a6＝a2q4，所以q4＝＝＝4，所以q2＝2，所以a4＝a2q2＝4. 2．已知递增的等比数列{an}满足a6＋a8＝10，a3a11＝9，则{an}的公比q＝(　　) A．6 B．3 C．2 D． 解析：选B.由a6a8＝a3a11＝9，a6＋a8＝10，解得或因为{an}是递增数列，所以a6＝1，a8＝9，q>1，则q2＝＝9，解得q＝3. 3．已知公比不为±1的等比数列{an}满足a12a13＝a2am，则正整数m的值为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 解析：选C.因为数列{an}是公比不为±1的等比数列，且a12a13＝a2am，所以12＋13＝2＋m，所以m＝23. 4．已知{an}为等比数列，q为其公比，设甲：q>2；乙：{an}为递增数列，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.根据题意，{an}为等比数列，当a1＝－1，q＝3时，an＝×3n-1，此时{an}为递减数列，故充分性不成立；当an＝2n时，{an}为递增数列，但q＝2，故必要性不成立． 5．设各项为正数的等比数列{an}中，a11＝8，则9a9＋a13取最小值时，a5＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设公比为q，所以9a9＋a13＝＋a11q2＝＋8q2≥2＝48，当且仅当＝8q2，即q2＝3时取等号，此时a5＝＝. 6．(多选)记数列{an}的前n项和为Sn，则下列条件使{an}一定为等比数列的是(　　) A．＝3 B．a＝anan＋2 C．Sn＝3n－2 D．＝n 解析：选AD.对于A，由等比数列定义知，{an}一定为等比数列，故A正确；对于B，当an＝0时，a＝anan＋2成立，{an}不成等比数列，故B错误；对于C，由Sn＝3n－2，得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，a1，a2，a3不成等比数列，故C错误；对于D，由＝n，得a1≠0，an＝a1，{an}是公比为1的等比数列，故D正确． 7．在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝________． 解析：设数列{an}的公比为q，由于a1a3＝a＝9，则a2＝±3，又因为a2，a4在等比数列中同号，结合a2＋a4＝9，得a2＝3，得a4＝6. 答案：6 8．在正项等比数列{an}中，3a14a16－a9a21＝2e4，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a29＝________． 解析：因为{an}是正项等比数列，则3a14a16－a9a21＝2e4＝3a－a＝2a，故a15＝e2，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a29＝ln (a1·a2·…·a29)＝ln a＝29ln a15＝29ln e2＝58. 答案：58 9．在正项等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝15，a1a2a3a4＝45，则＋＋＋＝________． 解析：因为数列{an}为正项等比数列，a1a2a3a4＝45，所以a2a3＝a1a4＝3，故＋＋＋＝＋＝＝＝. 答案： 10．(13分)已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(5分) (2)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an.(8分) 解：(1)因为a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，则a＋2a3a5＋a＝36，即(a3＋a5)2＝36，又因为an>0，所以a3＋a5＝6. (2)因为a1a2a3＝a＝216，所以a2＝6，所以a1a3＝36.又a1＋a3＝21－a2＝15，所以a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n-1；当a1＝12时，q＝＝，an＝12·n-1＝3·. 11．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是公差大于0的等差数列，且a3＝b3，a7＝b7，则(　　) A．a1<b1 B．a5＝b5 C．a6>b6 D．a9>b9 解析：选D.设{an}的公比为q(q>0)，{bn}的公差为d(d>0)，所以an＝a1qn-1＝·qn，bn＝b1＋(n－1)d＝b1－d＋nd.由d>0可知{bn}为递增数列，即a7＝b7>b3＝a3，因为a1>0，＝q4>1，即q>1，所以数列{an}为递增数列．作出函数y＝·qx，y＝dx＋b1－d的大致图象如图所示， 由题意可知，当x∈N*时，两函数图象在x＝3，x＝7处相交， 所以由图象可知a1>b1，a5<b5，a6<b6，a9>b9. 12．(多选)已知等比数列{an}的前n项积为∏n，a1>0，公比q>0，∏8<1<∏9，则(　　) A．>a5 B．q<1 C．当n＝5时，∏n最小 D．当n＝4时，∏n最小 解析：选AD.对于A，B，依题意an>0，由∏8<1<∏9，得a1·a2·…·a8<1<a1a2·…·a8a9，则(a4a5)4<1<a，于是a4a5<1，a5>1，即>a5，且a4<1，a5>1，q>1，故A正确，B错误；对于C，D，由a4<1，a5>1，a1>0，q>1，得数列{an}为递增数列，且当n≤4时，an≤a4<1，当n≥5时，an≥a5>1，所以当n＝4时，∏n最小，故C错误，D正确． 13．已知{an}是等比数列，a2，a10是函数f(x)＝x＋＋10的两个零点，则a6＝________． 解析：因为a2，a10是函数f(x)＝x＋＋10的两个零点，即是方程x2＋10x＋4＝0的两根，所以a2＋a10＝－10，a2a10＝4，可知a2，a10均为负数，又a＝a2a10＝4，且a6与a2，a10同号，故a6＝－2. 答案：－2 14．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＝2Sn－1(n∈N*). (1)求a1，a2的值；(5分) (2)证明数列{an}为等比数列并求其通项公式．(8分) 解：(1)由an＝2Sn－1得a1＝2S1－1＝2a1－1，解得a1＝1，a2＝2S2－1＝2(a2＋1)－1，解得a2＝－1，所以a1＝1，a2＝－1. (2)当n∈N*时，Sn＝an＋，则当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减得an＝an－an－1，整理得an＝－an－1，而a1＝1≠0，所以数列{an}是首项为1，公比为－1的等比数列，通项公式为an＝(－1)n-1. 15．(15分)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，数列{bn}为等差数列，且满足b1＝1，b8＋2＝a5. (1)求证数列{an＋1}为等比数列，并写出数列{an}的通项公式；(7分) (2)令cn＝λlog2(an＋1)－nbn，若数列{cn}为递减数列，求实数λ的取值范围．(8分) 解：(1)在数列{an}中，当n≥2时，由an＝2an－1＋1，得an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，故＝2，故{an＋1}为公比为2，首项为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)在数列{bn}中，设其公差为d，由b1＝1，b8＋2＝a5，得1＋7d＋2＝25－1，解得d＝4，所以{bn}的通项公式为bn＝1＋4(n－1)＝4n－3，cn＝λlog2(an＋1)－nbn＝λlog22n－n(4n－3)＝λn－4n2＋3n.已知数列{cn}为递减数列，则cn＋1<cn对任意正整数n都成立，即λ(n＋1)－4(n＋1)2＋3(n＋1)<λn－4n2＋3n，化简得λ<8n＋1对任意正整数n都成立，所以λ<9. 学科网（北京）股份有限公司 $