4.3.1 等比数列的概念（第2课时 等比数列的性质）课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质 一、基础落实 1.在等比数列{an}中,a3a4a5=8,a4+a8=20,则a6=(　　) A.36 B.±6 C.-6 D.6 2.在正项等比数列{an}中,a3+a4+a5=7,则数列{an}的公比q为(　　) A.-2或3 B.3 C.2或-3 D.2 3.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　) A.f B.f C.f D.f 4.(2025·广西桂林模拟)已知各项均为正数的等比数列{an},a7=4,则log2a3+log2a11=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.(多选题)已知数列{an}为等比数列,则(　　) A.数列a2,a4,a8成等比数列 B.数列a1a2,a3a4,a5a6成等比数列 C.数列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列 D.数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比数列 6.在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lg Tn,n≥1,则数列{an}的通项公式为　　　　　.  7.已知各项均为正数的数列{an}满足对任意的正整数m,n都有am+n=aman,a6=8,则=　　　　　.  8.在等比数列{an}中,an>0,公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为±2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=log2an,求{|bn|}的前n项和Tn. 9.一个蜂巢有1只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了5个伙伴;第二天,6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第六天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中有多少只蜜蜂? 二、素能提升 10.公比q不为1的等比数列{an}满足a5a7+a4a8=16,若a2a3a9am=64,则m的值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 11.已知a>0,b>0,且9是3a和3b的等比中项,则的最小值是(　　) A. B.36 C.9 D.49 12.已知函数f(x)=,数列{an}为等比数列,且当an>0时,a1 012=1,则f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a3)+…+f(ln a2 023)=　　　　　.  13.某集团投资一工厂,第一年年初投入资金5 000万元作为初始资金,工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%.每年年底,工厂向集团上缴m(m>0)万元,并将剩余资金全部作为下一年的初始资金,设第n年的初始资金为an万元. (1)判断{an-2m}是否为等比数列?并说明理由. (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用,则工厂在这一年转型升级.设m=2 600,则该工厂在第几年转型升级? 14.在等差数列{an}中,公差d≠0,a1,a2,a4成等比数列,已知数列a1,a3,,…,,…也成等比数列,求数列{kn}的通项公式. 15.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持,据市场调研预测,5G商用初期,该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比为a0=55%及b0=45%,假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现,每次技术更新后,上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术,采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术,设第n次技术更新后,该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn,不考虑其他因素的影响. (1)用bn表示bn+1,并求实数λ,使{bn-λ}是等比数列; (2)经过若干次技术更新后,该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 参考答案 一、基础落实 1.D 解析 设等比数列{an}的公比为q,由a3a4a5==8,解得a4=2,则a4+a8=2+a8=20,所以a8=18, 又a4a8==2×18=36,解得a6=±6. 因为a6=a4q2=2q2>0,所以a6=6. 故选D. 2.D 解析 由题意得a3+a3q+a3q2=7,得a3(1+q+q2)=7|a3|, 由an>0,得1+q+q2=7, 解得q=2或q=-3(舍去),故选D. 3.D 解析 由题意知,十三个单音构成等比数列{an},设{an}的公比为q,因为从第二个单音起,每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,且第一个单音的频率为f,即a1=f,q=,所以a8=a1q7=f,即第八个单音的频率为f.故选D. 4.C 解析 因为等比数列{an}各项均为正数,a7=4,所以a3a11==16,所以log2a3+log2a11=log2=4.故选C. 5.BD 解析 设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质,知=q2,=q4,当q≠±1时,q2≠q4,故A错误; 可知数列a1a2,a3a4,a5a6每项都不为0,且=q4,故B正确; 当数列{an}为1,-1,1,-1,1,…时,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C错误; 数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9的每一项都不为0,且=q3,故D正确,故选BD. 6.an=n+2 解析 记由n+2个数构成递增的等比数列为{bn},公比为q,则b1=1,bn+2=100,则qn+1=100,即(n+1)lg q=lg 100=2,所以Tn=b1·b2·b3·…·bn+2,即an=lg(b1·b2·b3·…·bn+2)=lg b1+lg(b1q)+lg(b1q2)+…+lg(b1qn+1)=(n+2)lg b1+[1+2+3+…+(n+1)]lg q=lg q=n+2. 7. 解析 (方法一)对于am+n=aman,取m=1,得an+1=a1an, 所以数列{an}是首项为a1,公比为a1的等比数列, 所以an=,则a6==8,得=2, 所以. (方法二)对于am+n=aman,取m=n=3,得a6=, 又a6=8,所以a3=2,则. 8.解 (1)因为a1a5+2a3a5+a2a8=25, 所以+2a3a5+=(a3+a5)2=25, 又因为an>0(n∈N*), 所以a3+a5=5. 因为a3与a5的等比中项为±2,所以a3a5=4, 则解得(舍去), 所以q2=,所以q=或q=-(舍去), 所以an=a5·qn-5=. (2)由(1)得an=,所以bn=log2an=-n+5,则b1=4. 当bn≥0,n∈N*时,则1≤n≤5; 当bn<0,n∈N*时,则n≥6. 当1≤n≤5时,Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+bn=, 当n≥6时,Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=(b1+b2+…+b5)-(b6+b7+…+bn)=10-, 综上所述,Tn= 9.解 设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an,根据题意得数列{an}成等比数列,它的首项为6,公比q=6,所以{an}的通项公式为an=6×6n-1=6n,到第六天,所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中有a6=66=46 656只蜜蜂. 二、素能提升 10.C 解析 依题意,数列{an}是等比数列,且公比q≠1,a5a7+a4a8=2=16,=8,因为a2a3a9am=a2··am=8a2am=64,a2am=8=,所以2+m=12,m=10,故选C. 11.C 解析 ∵9是3a和3b的等比中项, ∴3a·3b=92,∴a+b=4. ∵a>0,b>0,∴(a+b)()=(26+)≥(26+2×)=9,当且仅当b=5a=时等号成立. 故选C. 12. 解析 因为f(x)=,所以f(x)+f(-x)==1. 又因为数列{an}为等比数列,an>0,a1 012=1, 所以a1a2 023=a2a2 022=…==1, 所以ln a1+ln a2 023=ln a2+ln a2 022=…=2ln a1 012=0. 设S2 023=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a3)+…+f(ln a2 023),① 则S2 023=f(ln a2 023)+f(ln a2 022)+f(ln a2 021)+…+f(ln a1),② 由①+②得2S2 023=2 023,所以S2 023=. 13.解 (1)依题意,a1=5 000,a2=a1(1+50%)-m=7 500-m, an+1=an(1+50%)-m=an-m, 即an+1-2m=(an-2m). 当m=2 500,即a1-2m=0时,{an-2m}不是等比数列; 当m>0且m≠2 500时,数列{an-2m}是以为公比,5 000-2m为首项的等比数列. (2)当m=2 600时,由(1)知数列{an-2m}是以-200为首项,为公比的等比数列, 则an-5 200=-200×, 即an=5 200-200×. 设第n年转型升级,则an+1=5 200-200×<0,则>26,数列是递增数列,<26,>26,而n∈N*,则nmin=9, 所以该工厂在第9年转型升级. 14.解 由题意得=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得d(d-a1)=0, ∵d≠0,∴a1=d. 又a1,a3,,…,,…成等比数列, ∴该数列的公比q==3, ∴=a1·3n+1. ∵=a1+(kn-1)d=kna1, ∴数列{kn}的通项公式为kn=3n+1. 15.解 (1)由题意得5G商用初期,该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品的占比分别为a0=55%=,b0=45%=. 易知经过n次技术更新后an+bn=1, 则bn+1=(1-20%)bn+5%·an=bn+(1-bn)=bn+,即bn+1=bn+. 由题意,可设bn+1-λ=(bn-λ), 则bn+1=bn+,所以,解得λ=, 又b1=b0+,b1-, 从而当λ=时,是以为首项,为公比的等比数列. (2)由(1)可知bn-·()n-1=·()n, 则bn=·()n, 又因为an+bn=1,则an=·()n, 所以经过n次技术更新后,该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比an=·()n. 由题意,令an>75%,得·()n>, 则()n<,即nlg<lg, 则n>=5.592, 故n≥6,即至少经过6次技术更新,该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上. 学科网（北京）股份有限公司 $