4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第课时 等差数列的前n项和 一、知识点自测 知识点1 等差数列的前n项和公式与应用 1.设等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． 2.记为等差数列的前n项和.若,,则的公差为（ ） A． B． C． D． 3.记为等差数列的前n项和.若,,则（ ） A．- B．- C．- D．- 4.在等差数列中,,,前n项和,公差 5.记为等差数列的前n项和,若,,则=________. 知识点2 等差数列的前n项和的性质 1.两个等差数列和的前n项和分别为,且,则等于（ ） A． B． C． D． 2.两个等差数列和的前n项和分别为,且,则（ ） A． B． C． D． 3.已知等差数列的前n项和为,且,,求. 4.一个等差数列的前n项和为,前项和为,则前项和为________. .设为等差数列,为数列的前n项和,已知,. 求数列的通项公式; 设为数列的前n项和,求. 二、课后练习 A组 夯实基础 .等差数列的前n项和为,若,,则等于（ ） A． B． C． D． 多选)设等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． .记等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． .设为等差数列的前n项和,若,,则（ ） A．- B．- C．- D．- .已知一个项数有限的等差数列,前项的和是,最后项的和是,所有项的和是,则此数列的项数为（ ） A． B． C． D． .已知为等差数列,,,则前项和=________. .等差数列的前n项和为,且,,则=________. .在等差数列中,是其前n项和,,,则=________. .在等差数列中,,. 求数列的通项公式; 求数列的前n项和. B组 能力提升 .记为等差数列的前n项和,若,,则（ ） A．- B．- C． D． 多选)等差数列的前n项和为,若,则下列命题正确的有（ ） A．若,则 B．若,则 C．若,,则 D．若,则 多选)记为等差数列的前n项和,则下列命题正确的有（ ） A． B．若的公差不为,,则 C．成等差数列 D．是等差数列 .在等差数列中,为其前n项和.已知,,则=________. .已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为,若,求. .已知等差数列的前n项和为,,.若对任意恒成立,求的取值范围. C组 思考题 新定义)形如的正整数表示为各项都是整数、公差为的等差数列的前m项和,称作"对M的m项划分".例如,称作"对的项划分",称作"对的项划分".据此,对的项划分中最大的项是________. .已知为等差数列的前n项和,且,. 求数列的通项公式和前n项和; 是否存在n,使成等差数列? 若存在,求出n的值;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第课时 等差数列的前n项和 一、知识点自测 知识点1 等差数列的前n项和公式与应用 1.设等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为d,由且,可得,解得.故选A.　 2.记为等差数列的前n项和.若,,则的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为等差数列的前n项和,设公差为d,因为,,所以,解得,所以的公差为.故选C.　 3.记为等差数列的前n项和.若,,则（ ） A．- B．- C．- D．- 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d,则由题意可得⇒,所以.故选B. 4.在等差数列中,,,前n项和,公差 【答案】 【详解】由,解得. 又由,得,解得. 5.记为等差数列的前n项和,若,,则=________. 【答案】 【详解】设数列的公差为d. 由题意,得,解得,则. 知识点2 等差数列的前n项和的性质 1.两个等差数列和的前n项和分别为,且,则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为两个等差数列和的前n项和分别为,且,所以.故选A. 2.两个等差数列和的前n项和分别为,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意. 又因为, 所以.故选B. 3.已知等差数列的前n项和为,且,,求. 【答案】 【详解】(方法一)设数列的公差为d. 由题意,得,解得　 所以. (方法二)因为数列为等差数列, 所以也成等差数列. 所以, 即, 所以. (方法三)设为常数). 由题意,得,解得 所以.所以. (方法四)设数列的公差为d. 由,得, 所以是以为首项,为公差的等差数列. 所以成等差数列. 所以. 所以. 4.一个等差数列的前n项和为,前项和为,则前项和为________. 【答案】 【详解】由题意,得,.而成等差数列,所以. 所以. .设为等差数列,为数列的前n项和,已知,. 求数列的通项公式; 设为数列的前n项和,求. 【答案】（1）；（2）. 【详解】设等差数列的公差为d, 则. 因为,, 所以,解得. 所以. 因为,所以. 又, 所以数列是首项为,公差为的等差数列. 所以. 二、课后练习 A组 夯实基础 .等差数列的前n项和为,若,,则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为d,由题意可得,解得,所以公差,所以.故选C. 多选)设等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设等差数列的公差为d,由题意可得,解得,所以,.故选BD. .记等差数列的前n项和为,若,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由,得,而,解得,公差,所以.故选C. .设为等差数列的前n项和,若,,则（ ） A．- B．- C．- D．- 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d,由,,得,解得,所以.故选B. .已知一个项数有限的等差数列,前项的和是,最后项的和是,所有项的和是,则此数列的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知,,两式相加整理得.又因为,所以.故选C. .已知为等差数列,,,则前项和=________. 【答案】 【详解】在等差数列中,由,,两式相加可得. 由等差数列的性质可得, 故可得,解得,故. .等差数列的前n项和为,且,,则=________. 【答案】 【详解】因为成等差数列,即成等差数列, 所以,所以. .在等差数列中,是其前n项和,,,则=________. 【答案】- 【详解】由题意知,是等差数列,首项为. 设其公差为d,则,所以, 所以.所以. .在等差数列中,,. 求数列的通项公式; 求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【详解】设等差数列的公差为d. 因为,所以, 所以, 则. 由可得, 所以. B组 能力提升 .记为等差数列的前n项和,若,,则（ ） A．- B．- C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列的前n项和,,,设公差为d,所以,可得, 所以.故选C. 多选)等差数列的前n项和为,若,则下列命题正确的有（ ） A．若,则 B．若,则 C．若,,则 D．若,则 【答案】ACD 【详解】对于A,,,故A正确; 对于B,,则,,则,, 因此,即,故B错误; 对于C,,则,故C正确; 对于D,设的公差为d,由,得,解得, 则,,故D正确.故选ACD. 多选)记为等差数列的前n项和,则下列命题正确的有（ ） A． B．若的公差不为,,则 C．成等差数列 D．是等差数列 【答案】ACD 【详解】设的公差为d. 对于A,,,所以,故A正确; 对于B,,, 又因为,所以⇔,解得,故B错误; 对于C,,,, 所以,, 所以,所以成等差数列,故C正确; 对于D,因为, 所以,所以是公差为d的等差数列,故D正确.故选ACD. .在等差数列中,为其前n项和.已知,,则=________. 【答案】 【详解】因为成等差数列,而,,所以. .已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为,若,求. 【答案】 【详解】因为,, 所以, 整理得. 又,所以, 所以, 所以. .已知等差数列的前n项和为,,.若对任意恒成立,求的取值范围. 【答案】 【详解】由题意得,因为, 所以,则公差, 所以. 由,得恒成立. 设,易知当时,单调递减;当时,单调递增. 又因为,, 所以当或时,取得最小值, 所以,即的取值范围是. C组 思考题 新定义)形如的正整数表示为各项都是整数、公差为的等差数列的前m项和,称作"对M的m项划分".例如,称作"对的项划分",称作"对的项划分".据此,对的项划分中最大的项是________. 【答案】 【详解】设对的项划分中最小的项为,最大的项为, 则,解得　 .已知为等差数列的前n项和,且,. 求数列的通项公式和前n项和; 是否存在n,使成等差数列? 若存在,求出n的值;若不存在,说明理由. 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】设的公差为d, 则解得 所以,. 存在. 因为,, 所以. 若存在n,使成等差数列, 则,解得. 所以存在,使成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $