4.2.2等差数列的前n项和公式（分层作业，14大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等差数列前n项和的基本量计算 题型02 求等差数列的前n项和 题型03 等差数列前n项和的最值 题型04 等差数列前n项和的函数特性 题型05 由等差数列的前n项和求通项公式 B组 能力进阶 题型01 等差数列前n项和的性质 题型02 等差数列线段和性质 题型03 等差数列前n项和与n的比值 题型04 等差数列奇数项与偶数项的和 题型05 根据等差数列前n项和的最值求参数 题型06 等差数列前n项和的实际应用 C组 思维拔高 题型01 两个等差数列前n项和的比值 题型02 含绝对值的等差数列的前n项和 题型03 新定义问题 等差数列前n项和的基本量计算题型01 1．（24-25高二下·广东佛山·学业水平）记为等差数列的前项和，若，则公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由等差数列的前项和公式可得结果. 【详解】，解得． 故选：B. 2．设等差数列的前项和为，，且，则___________. 【答案】8 【分析】代入等差数列前项和公式计算公差，再计算即可. 【详解】由题知：，又，解得：. . 故答案为：8 3．（24-25高三下·北京·质检）已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________． 【答案】 0 7 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得到，从而得到，即可求出的值，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得到，解得，所以， 则， 又，得到或（舍）， 又，所以使的的最小值为， 故答案为：，. 4．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】(1) 设等差数列的公差为d，利用已知建立方程组，解之可求得数列的通项公式； (2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 由已知，，得，解得，则； （2）解：由（1）得，则 由，得或（舍去），所以的值为10. 5．已知数列的前项和为，当时，满足. (1)求证：； (2)求证：数列为等差数列； (3)若，公差，问是否存在，，使得？如果存在，求出所有满足条件的，，如果不在，请说明理由. 【答案】（1）证明:∵时，， 令得，， ∴. （2）证明:由 ， ∴， 各式相加得，， 当时，， 由时，， 而，，也满足上式，∴为等差数列. （3）存在，或. 【分析】（1）已知条件是时，，令可证结论； （2）已知条件变形 ，用累加的方法得，从而，把此式再写一次： 当时，，两式相减得：时，，同时也适合此式，从而证明是等差数列； （3）由求得，让从2开始一一检验，看是否有，当然时，有，. 【详解】（1）略； （2）略； （3）∵，公差为， ∴，，， 当时，，当时，， 当时，（舍），时，（舍）， 当时，（舍），时，（舍）， 当时，（舍）， 当时，， ∴，（舍）， 综上或. 【点睛】本题考查等差数列的证明，由的递推关系证明数列是等差数列，由于已知式较复杂，因此关键是第一步的变形： ，这样可用累加法求得，再由得（），然后说明前3项也适合此表示法，完成证明.这里涉及到与的关系，要注意在推理过程中的取值范围. 求等差数列的前n项和题型02 1．（24-25高二上·湖南·期末）等差数列中，为其前项的和，若，，则（   ） A．50 B．100 C．400 D．500 【答案】D 【分析】根据等差求和公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 2．（24-25高二·重庆·月考）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．26 B．34 C．56 D．117 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式求出即可. 【详解】由是等差数列，得. 3．数列满足，则的前项和为______． 【答案】 【分析】根据条件有，，，，再累加，利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为，即， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 5．已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 【答案】(1) (2)，或，． 【分析】（1）设出公差建立方程组，解出即可得通项公式； （2）由（1）的通项公式化简可得，根据，所以，对分类讨论，即可得出结果. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意有， 解得，，所以， 故数列的通项公式为； （2）由 ， 有，可得， 因为，所以， 因为，所以或或， ①当时，可得，满足题意； ②当时，可得，由m为正整数，不合题意,舍； ③当时，可得，满足题意， 综上：，或，． 等差数列前n项和的最值题型03 1．等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的下标性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】， ， 因此可得，而，因此该等差数列是递减数列， 所以当时，最大， 故选：C 2．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时________. 【答案】 【分析】解不等式，可得出当取得最小值时的值. 【详解】由可得且，故当时，取最小值. 故答案为：. 3．在数列中，为的前n项和，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先通过判断出奇数项和偶数项分别成等差数列，写出对应的通项公式，分为偶数和为奇数分别求出，再计算出最小值，比较即可. 【详解】因为，所以是以为首项，2为公差的等差数列，是以为首项，2为公差的等差数列. 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以， 当为偶数时， ，故当时，的最小值为； 当为奇数时，， 故当或时，取最小值. 综上，的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·福建福州·质检）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）在等差数列中，根据题意建立方程组，解方程组即可求得首项和公差，从而得通项公式； （2）思路一：由等差数列求和公式可得，结合二次函数的单调性可求最值；思路二：由易知当时，；从第4项起，均为负项，所以前3项的和为最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，得 解方程组，得 所以； （2）解法一： . 因为，所以当时，的最大值为9. 解法二：（1）同解法一； （2）由，可得： 当时，； 当时，； 所以. 即当时，最大， 因为，所以的最大值为9. 5．（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)或，最小值为． 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算求得首项和公差即可得解. （2）利用等差数列求和公式求和，进而利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）设的公差为，则 解得 所以； （2）， 所以当或时，取得最小值，最小值为． 等差数列前n项和的函数特性题型04 1．（25-26高二上·湖南·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 2．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 3．设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则. ①当时，则，，则对任意的恒成立， A、B、C、D四个选项都成立； ②当时，不妨取，记，则， 由可得，即， 则， 令，可得； 令，可得. ， 则， 解关于的不等式， 可得或， 所以或. 由于数列单调递减，该数列没有最小项； 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增， 所以，数列单调递减，该数列的最大项为， . 对于A选项，，， 则， ， ， 则， 所以，，A选项成立； 对于B选项，， 则， ， ， 则， 所以，，B选项成立； 当时，； 当时，. 满足，. 对于C选项，，， ， ， 当时，， 所以，C选项不一定成立； 对于D选项，， ， 所以，， D选项成立； ③当时，由②同理可知，C选项不一定成立. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题. 4．数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是________. 【答案】 【分析】根据等差数列前n项和公式的函数特征求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 又， ，解得. 故答案为：. 5．设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为__________． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】由等差数列前n项和公式有且，结合二次函数性质找到一个满足不是递减数列的即可. 【详解】由，其对称轴为，且， 结合二次函数性质，只需，即，此时不是递减数列， 如，，则，显然. 故答案为：，（答案不唯一） 由等差数列的前n项和求通项公式题型05 1．（25-26高二·上海·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】利用定义法，再检验时的取值，即可得到结果. 【详解】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 2．（25-26高二下·四川·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 3．（25-26高二·陕西渭南·月考）已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入前项和公式求出； （2）列出与的关系式，再结合已知条件计算求解． 【详解】（1）时，， 时，． （2）因，， 当时，， ， 当时，， 故． 4．已知数列的前n项和为 （1）当取最小值时，求n的值； （2）求出的通项公式. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）直接对进行配方，由可求出其最小值 （2）由求解的通项公式 【详解】解：（1）， 因为， 所以当或时，取最小值， （2）当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以 【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题 5．已知数列的前项和. (1)求证：数列是等差数列. (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由（1）得 ，将不等式对任意恒成立，转化为，对任意恒成立求解. 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 所以，即， 即， 又， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，，即， 所以，对任意恒成立， 即，对任意恒成立， 记，故， 所以时，，所以，即， 时，，即随着的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 等差数列前n项和的性质题型01 1．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 2．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（    ） A．13 B．12 C．24 D．25 【答案】D 【分析】先由，转化为，再应用等差数列的性质，将等差数列求和问题转化为中间项求解即可. 【详解】，．， 则，． 故选：D. 【点睛】等差数列常用结论： 若等差数列的项数为偶数，则； 若等差数列的项数为奇数，则. 3．设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和的结构特征假设，从而利用题设条件列式求得，进而得解. 【详解】因为等差数列的前项和为，所以设， 则，即， 两式相减，得，所以， 所以. 故选：D. 4．设各项均为实数的等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，对于方程① ，② ，③ .下列判断正确的是 （     ） A．若①有实根，②有实根，则③有实根； B．若①有实根，②无实根，则③有实根； C．若①无实根，②有实根，则③无实根 D．若①无实根，②无实根，则③无实根 【答案】B 【分析】先借助等差数列奇数项求和公式化简方程①的判别式，得到中间项满足； 再把方程②、③的判别式相加，结合均值不等式放缩，推出①有实根时两个判别式相加结果一定非负，二者不可能同时小于0. 【详解】设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和， 对于方程①，②，③. （1）若①有实根，由题意得：，其中，， 代入上式得，设方程与方程的判别式分别为和， 则，等号成立的条件是. 又， 如果②有实根，则，则或者，所以③有实根或者没有实根，如 ，，，，满足，. 但是，所以③没有实根，所以A不符合题意； 如果②没实根，则，则，所以③有实根，所以B符合题意； （2）若①无实根，则，②有实根，则， 设，，，所以，， 此时，则③有实根，所以C不符合题意； 若①无实根，则，②无实根，则， 设，，，，所以，， 此时，则③有实根，所以D不符合题意. 5．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题： ①也是等差数列； ②数列也是等差数列； ③若，则时，最大； ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19． 其中所有真命题的序号是_____________． 【答案】②③④ 【分析】对①，由等差中项性质判断； 对②，求出数列的通项公式即可判断； 对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断. 【详解】设数列的公差为d，，首项为，则，， 对①， ，∴不是等差数列，①错； 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； 对③，∵，，∴， ，， ∴由定义可知，时，最大，③对； 对④，由题意可设的项数为， 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的和为， 所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和为. 两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 故答案为：②③④. 等差数列线段和性质题型02 1．在等差数列中，若，则的和等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为， 由等差数列的性质得 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 3．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 4．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 【答案】D 【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值结合等差数列定义即可判断CD. 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C，，,，不满足，故C不正确； 对于D：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确； 故选：D． 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 【答案】15或-14 【分析】通过递推得到相邻项的关系，进而分析数列的奇数项和偶数项的规律，判断其为等差数列，再利用数列的通项公式求出前项和的表达式，再结合建立关于的方程，求解. 【详解】由前项和定义：，已知，因此. 已知对任意，， 当时，有，两式相减得： ，因此数列的奇数项、偶数项均为公差为2的等差数列. 由，得，可得通项： 奇数项：， 偶数项：. 根据，分两种情况： 情况1：为奇数，设，则，得. 此时为偶数，分组求和： ， 令，得方程，解得正根，因此. 情况2：为偶数，设，则，得. 此时为奇数，分组求和得：， 代入，得方程，解得正根，因此. 综上，或. 等差数列前n项和与n的比值题型03 1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 2．（2025·湖北黄冈·模拟）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 3．已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】 【分析】根据题意可知是以为首项，公差为1的等差数列，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式可知； 可得为定值，所以即为等差数列，又， 即是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，从而． 故答案为： 4．等差数列中，为其前项和，若，，则________． 【答案】 【分析】先利用等差数列的求和公式证得是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式求解. 【详解】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得， 又 所以是首项为，公差为等差数列， 由，，得， 所以的公差为 所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题. 5．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1) 证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 等差数列奇数项与偶数项的和题型04 1．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 2．（25-26高三上·四川·质检）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果. 【详解】设等差数列共有项， 则，，中间项为， 故 ， ， 故选：B. 4．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 5．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________. 【答案】16 【分析】根据递推关系式求得数列{}的奇数项是首项为1，公差为﹣3的等差数列，偶数项是首项为﹣4，公差为﹣3的等差数列，进而求出其2n项的和，即可求解结论． 【详解】数列满足， ，且， ， 数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公差为的等差数列， (负值舍去)， ，此时n无正整数解， 若，则， 故答案为：16. 根据等差数列前n项和的最值求参数题型05 1．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理. 【详解】由， 得， 由积化和差公式，得， 整理，得， 所以 ，因为公差，所以， 则.所以 ， 设，其图像的对称轴方程为. 由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值， 所以，解得. 则首项的取值范围是.故B，C，D错误. 故选：A. 2．（24-25高二上·天津·期末）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______. 【答案】 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 3．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得：； ，，解得：， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列. 4．等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 【答案】 【分析】利用等差数列的定义及求和公式先计算基本量得，再分离参数，借助对勾函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知，则的公差为， 所以， 则，即恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 而，即， 所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·福建·质检）定义在上的函数满足对任意的x，y都有（为常数），且，设，数列的前n项和为，当且仅当时，取到最大值，则t的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用赋值法求出，进而求出得出数列为等差数列，并求出通项，根据条件列出方程组求解即可 【详解】由， 令，得，则，又， 所以，所以， 因为， 所以， ，又， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 又当且仅当时，取到最大值， 所以满足， 则则t的取值范围是. 故答案为： 等差数列前n项和的实际应用题型06 1．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 2．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用等差数列性质得到，，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为， 则，故，，故， 则. 故选：B. 3．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 4．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 【答案】90 【分析】每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案. 【详解】每日织布数可看作等差数列，其中， 故30天共织布尺. 故答案为：90 5．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 【答案】(1) (2)这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大 【分析】（1）由题意可知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，所以可以设出纯收益和使用年数n的关系式； （2）根据年平均收益函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， （2）年平均收入为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. 两个等差数列前n项和的比值题型01 1．已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n项和公式推理计算作答. 【详解】两等差数列，，前n项和分别是，，满足， 所以. 故选：B 2．等差数列和的前项和分别记为与，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，将变形为数列的前n项和的比的形式，即可求得答案. 【详解】和为等差数列， 故, 故选：D. 3．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解. 【详解】由于 所以， 要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个， 故选：B 4．已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 _____________. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式、等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列， 的前n项和分别为，，， 所以. 故答案为：2 5．（24-25高一下·上海·月考）已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为______． 【答案】## 【分析】设，则，求出、的值，可得出的值，设，利用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理以及，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为、分别为等差数列、的前项和，， 设，则， 所以， ， 所以，所以， 因为点是直线上一点，点是直线外一点， 设，即，所以， 由题意可知、不共线，由平面向量基本定理可得，解得. 故答案为：. 含绝对值的等差数列的前n项和题型02 1．（25-26高三上·辽宁·期中）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可. 【详解】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以. 故选：D. 2．设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是 A． B．的值可能为奇数 C．存在，满足 D．的可能取值为 【答案】A 【分析】根据题意，设出绝对值函数， 根据绝对值函数的性质判断即可． 【详解】因为 所以 令 则 （） ①当时，，不满足（），舍去． ②当时，由（）得为平底型，故为偶数 ． 的大致图像为： 则 所以，故A正确． 由 当 时 当 时 故不存在，满足，C错 由于 所以，故D错 ③当时，令 由于 的图像与的图像关于轴对称，故只需研究 故令 因为 所以 由②知为平底型，故为偶数，故B错 令 所以 ，故A正确 由②知，不存在，满足，故C错 由②知，，故D错 综上所述，A正确,BCD错误 故选A. 【点睛】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题． 3．已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________． 【答案】或 【分析】对分，讨论求出，代入运算可得解. 【详解】令，则， 当时， ， ， 由，得，化简整理得，，解得或； 当时， ， 由，得，化简整理得，解得， 这与矛盾，不合题意； 综上，符合题意的正整数或. 故答案为：2或3. 4．已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）将表示为分段的形式，分和两种情况讨论，结合等差数列求和公式可求得. 【详解】（1）由，可得， 时，， 对也成立，可得； （2）当时，，即有． 当时，，， 即有． 5．已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) 因为，所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，3为公差的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析的最值； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以， 令，解得， 可知当时，；当时，， 所以的最小值为. （3）因为，，， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， ， 所以. 新定义问题题型03 1．若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【分析】设，由已知可得，可求. 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A 2．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题： ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列； ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值； 下列说法正确的是（    ）． A．① 是真命题，② 是假命题 B．① 是假命题，② 真命题 C．① 和 ② 都是真命题 D．① 和 ② 都是假命题 【答案】C 【分析】先得出的等价条件，然后再进行判断. 【详解】对于①：， 若，则，所以①正确； 对于②：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以②正确； 故选：C 3．（24-25高三上·云南·月考）对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用递推关系可得，利用等差数列的求和公式可得数列的前项和为，根据对任意的恒成立，对分类讨论利用数列的单调性得出结果即可． 【详解】由，， 当时，，时，由， 得， ，， 而满足，故对任意的，. 数列的前项和为 ， 对任意的恒成立，， 则，化简整理得， 即，则， 得到， 左右两侧同除化为， 当时，，， 当时恒成立，当时，，， 综上可得实数的取值范围为，故A正确． 故选：A． 4．（24-25高二下·四川·月考）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求一个二阶等差数列，的和，“隙积术”不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究． (1)若，求的值； (2)现已知数列为二阶等差数列，其通项公式为，求其前n项和； (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，……，第n层放若干个物体堆成的堆垛（如图2所示），设各层球数构成一个数列．利用上述材料，求当从上往下n层小球总数（即数列的前n项和）时，三角垛的层数？ 【答案】(1)232； (2)； (3)15 【分析】（1）得到，代入公式求出； （2），代入公式计算出答案； （3），累加法得到，层三角垛，每层所放物体数乘以2，利用公式，结合（2）得到，代入680，求出答案. 【详解】（1）由题意得，则， ； （2）将其转化为上底有个，下底有个，共n层的堆积物， 其中， 则 ； （3）由题意，， 故 故第层所放物体个数为， 从上往下，层三角垛，每层所放物体数乘以2， 则从上往下，各层物体数依次为， 则，项数为， 由（2）知，，故， 令，故， 所以，故三角垛的层数为15. 5．给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列． (1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列： ①、、、； ②、、、； (2)已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值； (3)已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值． 【答案】(1)①、、，不是数列；②、、，是数列 (2)或 (3)或 【分析】（1）写出两个数列的绝对差分数列，结合题中定义判断即可得出结论； （2）设数列数列的差分数列为、、、，并且其公差，分析可得，对的取值进行分类讨论，求出的表达式，结合累加法可得出的值； （3）分、、、几种情况讨论，在第一种情况下，利用题中定义推出矛盾，在第二、三种情况下，结合特例可得出结论，在时，利用题中的定义推导其不成立，综合可得出结论. 【详解】（1）解：①数列的绝对差分数列为、、，不是数列； ②数列的绝对差分数列为 、、，是数列． （2）解：设数列数列的差分数列为、、、，并且其公差， 因为， 所以，其差分数列满足， 因为数列各项均为整数，所以，数列的各项也均为整数， 累加得， 当时，，即，所以，， 考虑，所以，或者， 若，，则，， 若，，则，． （3）解：当时，，因此不成立； 当时，数列，数列，满足题意； 当时，数列，数列，满足题意； 当时，考虑， 又因为且， 所以，数列有以下三种可能：或或， 当数列为时，因为各项不同，因此数列的前项为公差为或的等差数列， 若公差为，则有，且或， 与的整数连续性矛盾，与的互异性矛盾， 类似地，可证明若公差为的情况； 类似地，可以证明或也不可能， 因此时不成立， 综上，或． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，解题的关键在于紧扣题中定义，利用特例以及逻辑推理进行求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.2等差数列的前n项和公式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等差数列前n项和的基本量计算 题型02 求等差数列的前n项和 题型03 等差数列前n项和的最值 题型04 等差数列前n项和的函数特性 题型05 由等差数列的前n项和求通项公式 B组 能力进阶 题型01 等差数列前n项和的性质 题型02 等差数列线段和性质 题型03 等差数列前n项和与n的比值 题型04 等差数列奇数项与偶数项的和 题型05 根据等差数列前n项和的最值求参数 题型06 等差数列前n项和的实际应用 C组 思维拔高 题型01 两个等差数列前n项和的比值 题型02 含绝对值的等差数列的前n项和 题型03 新定义问题 等差数列前n项和的基本量计算题型01 1．（24-25高二下·广东佛山·学业水平）记为等差数列的前项和，若，则公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设等差数列的前项和为，，且，则___________. 3．（24-25高三下·北京·质检）已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________． 4．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求k的值． 5．已知数列的前项和为，当时，满足. (1)求证：； (2)求证：数列为等差数列； (3)若，公差，问是否存在，，使得？如果存在，求出所有满足条件的，，如果不在，请说明理由. 求等差数列的前n项和题型02 1．（24-25高二上·湖南·期末）等差数列中，为其前项的和，若，，则（   ） A．50 B．100 C．400 D．500 2．（24-25高二·重庆·月考）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．26 B．34 C．56 D．117 3．数列满足，则的前项和为______． 4．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 5．已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 等差数列前n项和的最值题型03 1．等差数列中，为它前项和，若，，，则当（    ）时，最大. A．20 B．19 C． D． 2．数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时________. 3．在数列中，为的前n项和，则的最小值为______． 4．（24-25高二上·福建福州·质检）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和的最大值. 5．（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知数列是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值． 等差数列前n项和的函数特性题型04 1．（25-26高二上·湖南·期中）已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是________. 5．设公差为的等差数列的前项和为，能说明“若，则数列是递减数列”为假命题的一组的值依次为__________． 由等差数列的前n项和求通项公式题型05 1．（25-26高二·上海·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 2．（25-26高二下·四川·期中）已知数列的前项和为，则__________． 3．（25-26高二·陕西渭南·月考）已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 4．已知数列的前n项和为 （1）当取最小值时，求n的值； （2）求出的通项公式. 5．已知数列的前项和. (1)求证：数列是等差数列. (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 等差数列前n项和的性质题型01 1．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（    ） A．13 B．12 C．24 D．25 3．设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 4．设各项均为实数的等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，对于方程① ，② ，③ .下列判断正确的是 （     ） A．若①有实根，②有实根，则③有实根； B．若①有实根，②无实根，则③有实根； C．若①无实根，②有实根，则③无实根 D．若①无实根，②无实根，则③无实根 5．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题： ①也是等差数列； ②数列也是等差数列； ③若，则时，最大； ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19． 其中所有真命题的序号是_____________． 等差数列线段和性质题型02 1．在等差数列中，若，则的和等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 3．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）设数列的前项和为，，且对任意的都有.若存在，使得，则实数等于______. 等差数列前n项和与n的比值题型03 1．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·模拟）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 4．等差数列中，为其前项和，若，，则________． 5．已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 等差数列奇数项与偶数项的和题型04 1．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 2．（25-26高三上·四川·质检）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 4．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 5．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则__________. 根据等差数列前n项和的最值求参数题型05 1．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期末）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______. 3．已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________． 4．等差数列中，为的前n项和，，若不等式，对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_________. 5．（24-25高二上·福建·质检）定义在上的函数满足对任意的x，y都有（为常数），且，设，数列的前n项和为，当且仅当时，取到最大值，则t的取值范围是______. 等差数列前n项和的实际应用题型06 1．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 2．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 4．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布__________尺． 5．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 两个等差数列前n项和的比值题型01 1．已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 2．等差数列和的前项和分别记为与，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 _____________. 5．（24-25高一下·上海·月考）已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为______． 含绝对值的等差数列的前n项和题型02 1．（25-26高三上·辽宁·期中）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 2．设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是 A． B．的值可能为奇数 C．存在，满足 D．的可能取值为 3．已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________． 4．已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 5．已知数列满足，，，若． (1)求证：是等差数列； (2)求的前项和的最小值； (3)求的前项和． 新定义问题题型03 1．若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 2．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，给出下列两个命题： ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列； ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值； 下列说法正确的是（    ）． A．① 是真命题，② 是假命题 B．① 是假命题，② 真命题 C．① 和 ② 都是真命题 D．① 和 ② 都是假命题 3．（24-25高三上·云南·月考）对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川·月考）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求一个二阶等差数列，的和，“隙积术”不仅给出了二阶等差数列的一个求和公式，而且发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究． (1)若，求的值； (2)现已知数列为二阶等差数列，其通项公式为，求其前n项和； (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，……，第n层放若干个物体堆成的堆垛（如图2所示），设各层球数构成一个数列．利用上述材料，求当从上往下n层小球总数（即数列的前n项和）时，三角垛的层数？ 5．给定有穷数列、、、，定义数列的绝对差分数列、、、，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列． (1)直接写出下面两个数列的绝对差分数列，并判断其是否为数列： ①、、、； ②、、、； (2)已知各项均为整数的数列、、、满足，并且其差分数列是等差数列，若，，求的所有可能值； (3)已知数列、、、是、、、、的一个排列，若其差分数列、、、满足，求的所有可能值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $