4.1 第1课时 数列的概念同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.1 数列的概念 第课时 数列的概念 一、知识点自测 知识点1 数列的概念的理解 .下列说法正确的是（ ） A．,…, 是无穷数列 B．数列与数列是相同数列 C．同一个数在数列中不能重复出现 D．数列的第项是 .下列对象是数列的是________;是有穷数列的是________;是无穷数列的是________. ;;所有无理数;,…;. 知识点2 数列的通项公式 1.写出下列数列的一个通项公式: ; ; ; ; ; . 知识点3 数列的函数特性 1.已知数列的通项公式为,若是递增数列,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.在数列中,. （1）画出的图象; （2）根据图象写出数列的单调性. .已知数列的通项公式为. 数列中有多少项为负数? 当n为何值时,有最小值?请求出最小值. .已知数列的通项公式为,求数列中的最大项. 二、课后练习 A组 夯实基础 多选)下列关于数列的说法正确的有（ ） A.按一定次序排列的一列数叫做数列 B.若表示数列,则表示数列的第n项,表示数列的通项公式 C.同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D.同一个数列的任意两项均不可能相同 多选)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的为（ ） A． B． C． D．,… .下列说法正确的是（ ） A．数列是递增数列 B．数列,…的一个通项公式为 C．数列,…是常数列 D．数列与数列是相同的数列 .已知数列的通项公式为,则数列的最小项是（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 .已知数列满足,对一切,,则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 .若数列的通项公式是,则此数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 .观察下列个图形中小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有________个小圆圈. .根据下面的通项公式,写出数列的前项. ; . B组 能力提升 .已知数列的通项公式为,则该数列的前项依次为（ ） A． B． C． D． .已知数列的通项公式为,则数列中的最大项为（ ） A．第项 B．第项 C．第项或第项 D．第项 .已知数列的通项公式为则=（ ） A． B． C． D． 多选)根据下列通项公式可以判断数列是递增数列的有（ ） A． B． C． D． .已知数列的通项公式为,且满足,则=________.　 传统文化)大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易》传"大衍之数五十"作出的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前项依次是,则此数列的第项与第项的和为________. .已知数列的通项公式为,且,,求和.　 .已知数列:,…;:,…. 根据前项的特征,分别求出它们的一个通项公式. 根据中的两个通项公式,判断这两个数列是否有序号与值都相同的项.如果没有,请说明理由;如果有,请指明它们是第几项. C组 思考题 图是第七届国际数学教育大会(简称的会徽图案,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的,其中,那么,如果把图中的直角三角形继续作下去,记的长度构成的数列为,则此数列的通项公式为=________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 4.1 数列的概念 第课时 数列的概念 一、知识点自测 知识点1 数列的概念的理解 .下列说法正确的是（ ） A．,…, 是无穷数列 B．数列与数列是相同数列 C．同一个数在数列中不能重复出现 D．数列的第项是 【答案】D 【详解】数列,…, 共项,是有穷数列,A错误.数列中的项是有次序的,B错误.数列中的数可以重复出现,C错误.当时,正确.故选D. .下列对象是数列的是________;是有穷数列的是________;是无穷数列的是________. ;;所有无理数;,…;. 【答案】　　 【详解】是集合,不是数列;不能构成数列,因为没有把所有的无理数按一定顺序排列起来;是数列,其中是无穷数列,是有穷数列. 知识点2 数列的通项公式 1.写出下列数列的一个通项公式: ; ; ; ; ; . 【答案】见解析 【详解】将各项都统一成分数:,所以它的一个通项公式为. 数列各项的绝对值构成数列,…,是连续的正奇数,其通项公式为.考虑具有转换符号的作用,所以原数列的一个通项公式为. 将各项乘后分别变为,…,即,所以原数列的一个通项公式为.　 数列中的每一项均由三部分组成,分母是从开始的连续奇数,其通项公式为.分子的前一部分是从开始的连续自然数的平方,其通项公式为;分子的后一部分是减去一个自然数,减去的自然数的通项公式为.综合得原数列的一个通项公式为. 这个数列的前项的绝对值都等于序号与序号加的积的倒数,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为. 由于该数列中的奇数项全部都是,偶数项全部都是,因此可用分段函数的形式表示数列的通项公式,即 该数列也可改写为,…,因此其通项公式又可以表示为. 知识点3 数列的函数特性 1.已知数列的通项公式为,若是递增数列,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数列是递增数列可得恒成立,即,整理可得,该式对任意恒成立.又因为函数为上的单调递减函数,所以,所以λ>.故选D. 2.在数列中,. （1）画出的图象; （2）根据图象写出数列的单调性. 【答案】见解析 【详解】（1）列表: n … - - - - - - - - - … 描点,画出的图象如图所示. （2）数列在时是递减的,在,…时是递增的. .已知数列的通项公式为. 数列中有多少项为负数? 当n为何值时,有最小值?请求出最小值. 【答案】（1）项；（2）当或时,有最小值-. 【详解】由,得.又因为,所以或.所以数列中有项为负数. 因为,且,所以当或时,有最小值-. .已知数列的通项公式为,求数列中的最大项. 【答案】 【详解】设为数列中的最大项, 所以即 整理得解得. 故中的最大项为. 二、课后练习 A组 夯实基础 多选)下列关于数列的说法正确的有（ ） A.按一定次序排列的一列数叫做数列 B.若表示数列,则表示数列的第n项,表示数列的通项公式 C.同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D.同一个数列的任意两项均不可能相同 【答案】ABC 【详解】因为一个数列的每一项的值是可以相等的,如常数列,所以D项错误,A,B,C均正确.故选ABC. 多选)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的为（ ） A． B． C． D．,… 【答案】CD 【详解】选项C,D既是无穷数列又是递增数列,而选项A是递减数列,选项B是摆动数列.故选CD. .下列说法正确的是（ ） A．数列是递增数列 B．数列,…的一个通项公式为 C．数列,…是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【详解】对于A,设,则对恒成立,所以数列是递增数列,故A正确; 对于B,当时,与第一项为不符,故B错误; 对于C,数列中的项并不完全相同,故C错误; 对于D,根据数列的概念,数列与顺序有关,所以数列与数列不是相同的数列,故D错误.故选A. .已知数列的通项公式为,则数列的最小项是（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 【答案】D 【详解】因为,所以设,其图象的对称轴为,且开口向上.又因为,所以的最小项为第项或第项.故选D. .已知数列满足,对一切,,则数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 【答案】B 【详解】因为,则,所以,故数列是递减数列.故选B. .若数列的通项公式是,则此数列是（ ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 【答案】A 【详解】因为,所以.因此数列是递增数列.故选A. .观察下列个图形中小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图形中有________个小圆圈. 【答案】 【详解】个图形中小圆圈的个数分别为,…,即,故第n个图形中小圆圈的个数为. .根据下面的通项公式,写出数列的前项. ; . 【答案】见解析 【详解】当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,. 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,. B组 能力提升 .已知数列的通项公式为,则该数列的前项依次为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】;;;.故选B. .已知数列的通项公式为,则数列中的最大项为（ ） A．第项 B．第项 C．第项或第项 D．第项 【答案】C 【详解】;;;. 当时,,所以,所以数列中的最大项为第项或第项.故选C. .已知数列的通项公式为则=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得,,所以.故选C. 多选)根据下列通项公式可以判断数列是递增数列的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A,因为,所以时,不是递增数列; 对于B,,所以时,是递增数列; 对于C,因为,所以时,不是递增数列; 对于D,,所以时,是递增数列.故选BD. .已知数列的通项公式为,且满足,则=________.　 【答案】 【详解】由题意得所以,解得或.又,所以.　 因为,所以.所以,所以. 传统文化)大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易》传"大衍之数五十"作出的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前项依次是,则此数列的第项与第项的和为________. 【答案】 【详解】由数列的前项可知,数列的偶数项的一个通项公式为,所以. 奇数项的一个通项公式为,所以. 所以. .已知数列的通项公式为,且,,求和.　 【答案】 【详解】因为,,代入通项公式中,可得 　 解得,. 所以,所以. .已知数列:,…;:,…. 根据前项的特征,分别求出它们的一个通项公式. 根据中的两个通项公式,判断这两个数列是否有序号与值都相同的项.如果没有,请说明理由;如果有,请指明它们是第几项. 【答案】见解析 【详解】,. 有序号与值都相同的项.令,即,解得或舍去),所以两个数列有序号与值都相同的项,是两个数列的第项. C组 思考题 图是第七届国际数学教育大会(简称的会徽图案,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的,其中,那么,如果把图中的直角三角形继续作下去,记的长度构成的数列为,则此数列的通项公式为=________. 【答案】 【详解】由勾股定理,,,,…,归纳可得,故数列的通项公式为. 学科网（北京）股份有限公司 $