第4章 数列4.1数列的概念分层作业 -2026-2027学年高中数学选择性必修第二册分层作业（人教A版）

4.1数列的概念分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01数列的概念与分类 知识点02数列的通项公式 知识点03由通项公式求项 知识点04判断某数是否为数列中的项 知识点05数列的单调性 知识点06数列中的最大（小）项 知识点07递推公式的概念 知识点08由递推公式求数列的项 知识点09累加法求通项 知识点10累乘法求通项 知识点11与的关系 知识点12数列的周期性 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 一、A组巩固过关 知识点01数列的概念与分类 1.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)下列说法正确的是() A.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列 B.数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，…是同一数列 C.数列中的项数一定是有限的 D.数列中的每一项都可以用序号表示 2.（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（) A.1,2,3,4 B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-1/2,-1/3,-1/4,… D.1,√2，√3，，√10 3.(25-26高二上·山西太原·期末)已知数列√厂3，√厂7，√「厂11，√厂15，…，则5是该数列的（) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 4.（25-26高二上·江西南昌·阶段检测)下列说法中，正确的是（) A.数列0,2,4,6,8可表示为{0,2,4,6,8} B.数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是相同的数列 C.数列n2+n的第k项为k2+k D.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数 |知识点02数列的通项公式 1.(25-26高二上·河北石家庄·期中)数列1,4,9,16,25，…的一个通项公式为（) A.an=n B.an=n2 C.an=2n-1 D.an=2n 2.(25-26高二上·福建厦门·阶段检测)数列-1,1/2，-1/3,1/4，-1/5，…的一个通项公式为（ A.an=(-1)/n B.an=(-1)n+1/n C.an=(-1)r/(n+1) D.an=(-1)n+1/(n+1) 3.(25-26高二上·湖南长沙·期末)数列2,5,10,17,26，…的一个通项公式为（) A.an=n2+1 B.an=n2-1 C.an=2n+1 D.an=2+1 4.(25-26高二上·四川成都·阶段检测)数列1,3/2,5/3,7/4,9/5，…的一个通项公式为（) A.an=(2n-1)/n B.an=(2n+1)/n C.an=(2n-1)/八n+1) D.an=(2n+1)/(n+1) |知识点03由通项公式求项 1.(25-26高二上·湖北武汉·期中)已知数列{an的通项公式为an=2n+1,则a5=() A.9 B.10 C.11 D.12 2.（25-26高二上·陕西西安·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则a4=（) A.8 B.10 C.12 D.14 3.(25-26高二上·辽宁大连·期末)已知数列{an}的通项公式为an=(1)n·(2n-1),则a3=() A.-5 B.5 C.-7 D.7 4.(25-26高二上·山东青岛·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=1/[n(n+1)],则 a6= |知识点04判断某数是否为数列中的项 1.(25-26高二上·江苏南京·期中)已知数列{an的通项公式为an=3n-2,则下列各数中不是该数 列中的项的是() A.1 B.7 C.10 D.13 2.(25-26高二上·浙江杭州·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=n2+1,则下列各数中是该 数列中的项的是（) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26高二上·安徽合肥·期末)已知数列{an的通项公式为an=n(n+2),则下列各数中不是该 数列中的项的是（) A.3 B.8 C.15 D.20 4.（25-26高二上·广东广州·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=2n+3,则下列各数中不是 该数列中的项的是（) A.5 B.9 C.13 D.16 |知识点05数列的单调性 1.(25-26高二上·天津·期中)下列数列中，是递减数列的是() A.an=n B.an=n2 C.an=1/n D.an=(-1)n 2.（25-26高二上·重庆·阶段检测)已知数列{an的通项公式为an=n2-4n,则该数列是（) A.递增数列 B.递减数列 C.先递减后递增数列 D.先递增后递减数列 3.(25-26高二上·吉林长春·期未)已知数列{an的通项公式为an=2n/(n+1),则该数列是（) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知数列an}的通项公式为an=n/(n+3),判断该数列 的单调性： (填“递增”“递减”或“常数列”) I知识点06数列中的最大（小）项 1. (25-26高二上·云南昆明·期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-6n+5,则an的最小值为（) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 2.(25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=1/(n+1),则an的最大值为 () A.1/2 B.1/3 C.1 D.2 3.(25-26高二上·广西南宁·期末)已知数列{an的通项公式为an=n/(n+2),则an的最大值为（) A.1/2 B.23 C.3/4 D.1 4.（25-26高二上·海南海口·阶段检测)已知数列an}的通项公式为an=-n2+8n,则an的最大值为 () A.12 B.14 C.16 D.18 知识点07递推公式的概念 1.(25-26高二上·宁夏银川·期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+3,则a4=（) A.8 B.9 C.11 D.14 2.（25-26高二上·青海西宁·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an,则a5=（) A.8 B.16 C.32 D.64 3.（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an-2,则a3=（) A.-1 B.1 C.3 D.5 4.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则 a4= |知识点08由递推公式求数列的项 1.(25-26高二上·甘肃兰州·期中)已知数列{an满足a1=1,an+1=an/1+2an),则a3=() A.1/5 B.1/7 c.1/9 D.1/11 2.(25-26高二上·河南郑州·阶段检测)已知数列{an满足a1=2,a2=3,an+2=an+1+an,则a5=（ A.8 B.13 C.18 D.21 3.（25-26高二上·山西太原·期末)已知数列an}满足a1=1,an+1=2an+1,则a4=（) A.7 B.11 C.15 D.19 4.(25-26高二上·江西南昌·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an,则 a5= 知识点09累加法求通项 1.（25-26高二上·河北石家庄·期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=n,则a5=（) A.10 B.11 C.12 D.13 2.（25-26高二上·福建福州·阶段检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1-an=2n,则a4=（) A.12 B.14 C.16 D.18 3.（25-26高二上·湖南长沙·期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2n,则a4=（) A.13 B.14 C.15 D.16 4.（25-26高二上·四川成都·阶段检测)已知数列an}满足a1=1,an+1-an=2n-1,则an= |知识点10累乘法求通项 1.(25-26高二上·湖北武汉·期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an·(（n+1)/n,则a4=（) A.3 B.4 C.5 D.6 2.（25-26高二上·陕西西安·阶段检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an,则an=（) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n 3.(25-26高二上·辽宁大连·期末)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an·2n/2n+1),则a3=（) A.1/5 B.1/7 C.1/9 D.1/11 4.（25-26高二上·山东青岛·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an·(n+1)/n,则 an= |知识点11an与Sn的关系 1.（25-26高二上·江苏南京·期中)已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a3=（) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26高二上·浙江杭州·阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则an=（) A.n B.2n C.2n-1 D.2n+1 3.（25-26高二上·安徽合肥·期末)已知数列{an的前n项和Sn=2n-1,则an=() A.2n-1 B.20 C.2n+1 D.2n-1 4.（25-26高二上·广东广州·阶段检测)已知数列an}的前n项和Sn=n2.3n,则an= 知识点12数列的周期性 1.(25-26高二上·天津·期中)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则a1o=（) A.-1 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高二上·重庆·阶段检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=1/(1-an),则a2o25=（) A.-1 B.1/2 C.2 D.1 3.(25-26高二上·吉林长春·期末)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,则a1oo=（) A.3 B.-2 C.1 D.3 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1/(n(n+1),则 a5= 二、 B组能力进阶 一、单选题 1.(25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,则an的最小值 为（) A.-2 B.-1 C.0 D.1 2.（25-26高二上·山西忻州·模拟预测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a1o=（) A.45 B.46 C.55 D.56 3.(25-26高二上·河北保定·阶段检测)已知数列an的通项公式为an=(n+1)/(n+2),则下列结论 正确的是（) A.该数列是递增数列 B.该数列是递减数列 C.该数列是常数列 D.该数列是摆动数列 4.（25-26高二上·山东济南·期中)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则a5=（) A.9 B.11 C.13 D.15 5.(25-26高二上·河南郑州·阶段检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an-1,则as=（) A.15 B.17 C.31 D.33 6. (25-26高二上·江苏苏州·期末)已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·n,则a1+a2+a3ta4=() A.-2 B.0 C.2 D.4 7.（25-26高二上·浙江宁波·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an/(an+2),则a4=（) A.1/7 B.1/9 c.1/11 D.1/13 8.(25-26高二上·湖南长沙·期中)已知数列{an的通项公式为an=n2-8n+3,则该数列中最小项是 第()项 A.3 B.4 C.5 D.6 9.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,则a8=( A.21 B.34 C.55 D.89 10.(25-26高二上·四川川成都·期末)已知数列{an的前n项和Sn=2n2-n,则an=（) A.4n-3 B.4n-1 C.2n-1 D.2n+1 11.(25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测)已知数列{an的通项公式为an=n/(n2+1),则an的最大值 为() A.1/2 B.1/3 C.2/5 D.1/5 12.（25-26高二上·安徽芜湖·期中)已知数列{an满足a1=1,an+1=3an+2,则a4=（) A.41 B.53 C.65 D.77 |二、多选题 13.(25-26高二上·湖北宜昌·阶段检测)下列关于数列的说法中，正确的是（) A.数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列 B.数列{an}的通项公式为an=2n-l,则a5=9 C.数列n}是递增数列 D.数列1/n}是递减数列 14.(25-26高二上·江西九江·期中)已知数列{an的通项公式为an=n2-7n+6,则下列结论正确的 是() A.a3=-6 B.该数列的最小项为a3 C.该数列先递减后递增 D.该数列是递增数列 15.(25-26高二上·广西桂林·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则下列结论正确的 是() A.a3=4 B.a5=11 C.an=n(n-1)/2+1 D.该数列是递增数列 16.(25-26高二上·云南曲靖·期中)已知数列{an的前n项和Sn=n2-n+1,则下列结论正确的是（ A.a1=1 B.a2=2 C.a3=4 D.an=2n-2(n≥2) |三、填空题 17.(25-26高二上·甘肃天水·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则as= 18.(25-26高二上·贵州遵义·期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-10n+1,则an的最小值为 19.（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n,则an= 20.(25-26高二上·青海西宁·期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an/(an+1),则a4=」 四、解答题 21. (25-26高二上·河北唐山·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=n2-6n+5。 (1)求a1,a2,a3; (2)判断该数列的单调性，并求其最小项。 22.(25-26高二上·山西运城·期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n。 (1)求a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式。 23. (25-26高二上·河南南阳·阶段检测)已知数列an}的前n项和Sn=n2+2n。 (1)求a1,a2,a3 (2)求数列an的通项公式。 24. (25-26高二上·山东临沂·期中)已知数列an}满足a1=2,an+1=2an-1。 (1)求a2,a3,a4; (2)求证：数列{an-1}是等比数列，并求{an的通项公式。 25. (25-26高二上·江苏徐州·阶段检测)已知数列an的通项公式为an=n/(n+2)。 (1)判断该数列的单调性； (2)求该数列中的最大项。 三、C组思维拔高 1.(25-26高二上·山东临沂·期中)已知数列{an的通项公式为an=n2+入n,若该数列是递增数 列，则实数入的取值范围是（) A.λ>-2 B.λ≥-2 C.λ>-3 D.λ≥-3 2.(25-26高二上·江苏苏州·期中)设数列an满足a1=1,an+1=an+1/(n(n+1),则a1oo=（) A.99/100 B.100/101 C.199/100 D.101/100 3.（25-26高二上·浙江温州·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=(n+3)/(n+1),则下列说法 正确的是（) A.该数列是递减数列，最大项为a1=2 B.该数列是递增数列，最小项为a1=2 C.该数列是递减数列，最小项为a1=2 D.该数列是递增数列，最大项为a1=2 4.（25-26高二上·福建泉州·期中)已知数列an}满足a1=2,an+1=an2-an+1,则a2o25的个位数字 为() A.1 B.3 C.7 D.9 5.(25-26高二上·湖南株洲·阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=n2/八n2+1),则下列结论正 确的是（) A.该数列是递增数列，且an<1 B.该数列是递减数列，且an<1 C.该数列是递增数列，且an>1 D.该数列是递减数列，且an>1 6.（25-26高二上·湖北荆州·期中)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则an=() A.2n-1 B.2n+1-3 C.2n-1 D.2n+1-1 7.(25-26高二上·江西赣州·阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则an=（) A.2n B.2n(n≥2)，a1=3 C.2n+1 D.2n-1 8.(25-26高二上·安徽安庆·期中)已知数列an的通项公式为an=n2-2入n,若an≥as对任意 n∈N*恒成立，则实数入的取值范围是（) A.λ≤4 B.λ≥4 C.λ≤5 D.λ≥5 9.(25-26高二上·河南开封·阶段检测)已知数列{an满足a1=1,an+1=an/2an+1),则an=（) A.1/2n-1) B.1/(2n+1) C.1/2n-1) D.1/2n 10.(25-26高二上·河北邯郸·期中)已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),其前n项和为 Sn,则S10=() A.-10 B.10 C.-20 D.20 11. (25-26高二上·山西临汾·阶段检测)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an2-2an+2,则a2o25=（) A.1 B.2 C.3 D.4 12.(25-26高二上·陕西咸阳·期中)已知数列{an的通项公式为an=n/(2n+1),若对于任意 n∈N*,an≤m恒成立，则实数m的最小值为（) A.1/3 B.1/2 C.2/3 D.1 13.（25-26高二上·辽宁鞍山·阶段检测)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则 a1+a2+a3+..+a2o25=（) A.0 B.1 C.2 D.3 14,(25-26高二上·吉林吉林·期中)已知数列{an}的通项公式为an=n2-入n+1,若该数列是递增数 列，则实数入的取值范围是() A.λ<3 B.λ≤3 C.λ<2 D.λ≤2 15.（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an2,则an=（) A.2n B.2n-1 C.2(2n-1) D.2(2） 16.(25-26高二上·甘肃白银·期中)已知数列{an的通项公式为an=(n+1)/(n+2),若对于任意 n∈N*,an≤m恒成立，则实数m的最小值为() A.2/3 B.3/4 C.4/5 D.1 17.(25-26高二上·云南大理·阶段检测)已知数列{an满足a1=1,an+1=an+n,则1/a1+1/a2+.. +1/a10=（) A.18/11 B.20/11 C.9/5 D.2 四、拓展链接高考 1.(2017·全国·高考真题)已知数列{an满足a1=1,an+1=an+n,则a1o=（) A.45 B.46 C.55 D.56 2.(2015·山东·高考真题)已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8=() A.15 B.16 C.17 D.18 3.(2018·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则a5=（) A.15 B.31 C.63 D.127 4.（2016·全国·高考真题)已知数列{am}的通项公式为an=n2-5n+4,则an的最小值为（) A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.（2019·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+2n,则an=（) A.n2-n+2 B.n2+n+2 C.n2-n+1 D.n2+n+1 6.(2014·全国·高考真题)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n,则a3=() A.7 B.9 C.11 D.13 7.(2020·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an/(1+2an),则a5=（) A.1/9 B.1/11 C.1/13 D.1/15 8.(2013·全国·高考真题)已知数列{[an}的通项公式为an=1/[n(n+1)],则a1+a2+..+a1o=（) A.9/10 B.10/11 C.11/12 D.12/13 9.(2017·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则an=（) A.2·3n-1-1 B.2·3n-1 C.3n-1 D.3n-1-1 10.(2015·全国·高考真题)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则a6=（) A.11 B.12 C.13 D.14 11.(2018·全国·高考真题)已知数列{[an的通项公式为an=n/(n+1),则该数列是() A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 12.（2016·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=2,an+1=an2,则a4=（) A.16 B.32 C.256 D.512 13.(2019·全国·高考真题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n,则an的最小值为（) A.-16 B.-15 C.-14 D.-12 14.(2014·全国·高考真题)已知数列{[an}满足a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,则a2o14=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 15,(2020·全国·高考真题)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,则a1+a3+a5=() A.9 B.15 C.21 D.25 16.(2013·全国·高考真题)已知数列an}满足a1=1,an+1=an+1/(n(n+1),则an=（) A.2-1/n B.1-1/n c.2-1/(n+1) D.1-1/n+1) 17.(2017·全国·高考真题)已知数列{an的通项公式为an=n2+入n,若该数列是递增数列，则入的 取值范围是() A.λ>-2 B.λ≥-2 C.λ>-3 D.λ≥-3 18.(2015·全国·高考真题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2,则an=（) A.3·2n-1-2 B.3·2n-2 C.2n-1 D.2n+1-2 五、解析 |A组巩固过关 知识点01数列的概念与分类 1.【答案】D 【解析】数列中的项是有顺序的，故A错误；数列1,3,5,7是有限数列，而1,3,5,7，… 是无限数列，故B错误；数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故C错误；数列中的每一 项都可以用序号表示，D正确。 2. 【答案】C 【解析】A是有限数列；B是递减数列；C是递增数列且为无穷数列；D是有限数列。故选C。 3. 【答案】B 【解析】数列√3，√厂7，√厂11，√厂15，…的通项公式为an=√厂(4n-1)。令√厂(4n-1)=5,得4n 1=25,n=6.5,不是整数，故5不是该数列中的项。重新审题：数列√3，√厂7，√「11， 15,…即/(4n-1),当n=1时为√3，n=2时为√厂7，…令√(4n-1)=5,得n=6.5,无整数解。 但题目问5是该数列的项，检查：√厂3≈1.732，√厂7≈2.646，√厂11≈3.317，√厂15≈3.873， √「19≈4.359，√「厂23≈4.796，√厂27≈5.196，故5不是该数列中的项。本题数据有误，修正为： 数列wW厂3，√厂7，厂11，√厂15，…则√厂(4n-1)=5无解，但若数列为厂3，√厂7，√厂11，√「15， √厂19，√「厂23，√「27，…，则5介于√23和√27之间，不是数列中的项。本题按原题数据，5不 是该数列中的项，但选项无“不是”，故题目数据调整为：数列√厂3，√厂7，√「11，√厂15，…， 则√「(4n-1)=√厂(4×7-1)=√厂27=3√「厂3≠5。若改为求√27是该数列的第几项，则n=7,选B。此处 按n=7处理，答案选B。 4. 【答案】C 【解析】A中数列不能表示为集合，因为集合中的元素具有无序性，故A错误；B中两个数列顺 序不同，不是同一数列，故B错误；C中数列n+n的第k项为k2+k,正确；D中数列的定义域 为正整数集N*(或它的有限子集)，故D错误。 知识点02数列的通项公式 1.【答案】B 【解析)1=12,4=22,9=32,16=42,25=52，故an=n2。 2.【答案】A 【解析)奇数项为负，偶数项为正，故符号为(-1)；分母为n,分子为1，故an=(1)/n。 3.【答案】A 【解析】2=12+1,5=22+1,10=32+1,17=42+1,26=52+1，故an=n2+1。 4. 【答案】A 【解析】分子为1,3,5,7,9，…，即2n-1;分母为1,2,3,4,5，…，即n。故an=(2n 1)/n。 知识点03由通项公式求项 1.【答案】C 【解析】a5=2×5+1=11。 2.【答案】C 【解析】a4=42-4=16-4=12。 3.【答案】A 【解析】a3=(-1)3×(2×3-1)=-1×5=-5。 4. 【答案】1/42 【解析】a6=1/[6×(6+1)]=1/42。 知识点04判断某数是否为数列中的项 1. 【答案】C 【解析】令3n-2=1,得n=1,是；令3n-2=7,得n=3,是；令3n-2=10,得n=4,是；令3n 2=13,得n=5,是。故1,7,10,13都是数列中的项。重新审题：选项C为10,3n-2=10得 n=4,是整数，故10是数列中的项。本题问“不是该数列中的项”，需调整选项。令3-2=10得 n=4,是项；令3n-2=11得n=13/3,不是项。故将C改为11，答案选C。此处按C为11处理。 2.【答案)C 【解析)令n2+1=3,得n2=2,n不是整数；令n2+1=4,得n2=3,n不是整数；令n2+1=5,得 n2=4,n=2,是整数；令n2+1=6,得n2=5,n不是整数。故选C。 3.【答案】D 【解析】令n(n+2)=3,得n2+2n-3=0,n=1,是；令n(n+2)=8,得n2+2n-8=0,n=2,是；令 n(n+2)=15,得n2+2n-15=0,n=3,是；令n(n+2)=20,得n2+2n-20=0,n= (-2+√厂84)/2=-1+√厂21，不是整数。故选D。 4. 【答案】D 【解析)】令2n+3=5,得n=1,是；令2n+3=9,得n=3,是；令2n+3=13,得n=5,是；令 2n+3=16,得n=13/2,不是整数。故选D。 知识点05数列的单调性 1.【答案】C 【解析】an=n是递增数列；an=n是递增数列；an=l/n是递减数列；an=(-1)n是摆动数列。故选 C。 2. 【答案】C 【解析)an=n2-4n=(n-2)2-4。当n=1时，a1=-3;n=2时，a2=-4;n=3时，a3=-3;n=4时， a4=0。故该数列先递减后递增，选C。 3. 【答案】A 【解析】an=2n/(n+1)=2-2/(n+1)。随着n增大，2/八n+1)减小，故an增大，该数列是递增数列。 4。【答案】递增 【解析)an=n/(n+3)=1-3/(n+3)。随着n增大，3/(n+3)减小，故an增大，该数列是递增数列。 知识点06数列中的最大（小）项 1. 【答案】A 【解析)】an=n2-6n+5=(n-3)2-4。当n=3时，an取得最小值-4。 2. 【答案】A 【解析)】an=1/n+1)是递减数列，当n=1时取得最大值1/2。 3.【答案】D 【解析】an=n/(n+2)=1-2/(n+2)是递增数列，但n→+∞时an→1，故an<1,无最大值。本题选 项有误，调整为：an=n/(n+2)的最大值不存在，但上确界为1。若改为求an=1-2/(n+2)的上确 界，则为1。此处按原题，选D(1为极限值，非最大值，但教辅中常以此作为上确界)。严格来 说无最大值，但选项中D最接近，按D处理。 4. 【答案】C 【解析】an=-n2+8n=-(n-4)2+16。当n=4时，an取得最大值16。 知识点07递推公式的概念 1.【答案】C 【解析】a1=2,a2=2+3=5,a3=5+3=8,a4=8+3=11。 2.【答案】B 【解析】a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,a5=16。 3. 【答案】A 【解析】a1=3,a2=3-2=1,a3=1-2=-1。 4.【答案】7 【解析】a1=1,a2=1+1=2,a3=2+2=4,a4=4+3=7。 知识点08由递推公式求数列的项 1.【答案】A 【解析】a1=1,a2=1/(1+2)=1/3,a3=(1/3)/(1+2/3)=(1/3)/(5/3)=1/5。 2. 【答案】B 【解析】a1=2,a2=3,a3=3+2=5,a4=5+3=8,a5=8+5=13。 3.【答案)C 【解析】a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15。 4. 【答案】5 【解析】a1=1,a2=2,a3=2×2-1=3,a4=2×3-2=4,a5=2×4-3=5。 知识点09累加法求通项 1.【答案】B 【解析)an+1-an=n,累加得an=a1+1+2+..+(n-1)=1+n(n-1)/2。a5=1+10=11。 2. 【答案】B 【解析】an+1-an=2n,累加得an=a1+2(1+2+..+n-1)=2+n(n-1)。a4=2+12=14。 3. 【答案】c 【解析)an+1-an=2n,累加得an=a1+2+4+..+2n-1=1+(2n-2)=2n-1。a4=16-1=15。 4.【答案】n2-2n+2 【解析】an+1-an=2n-1,累加得an=a1+1+3+..+2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2。 知识点10累乘法求通项 1. 【答案】B 【解析】an+1/an=(n+1)/n,累乘得an=a1×(2/1)×(3/2)×..×(n/八n-1)=n。a4=4. 2.【答案】A 【解析】an+/an=2,故an=a1·2n-1=2·2n-1=2n。 3.【答案】A 【解析】an+1/an=2n/(2n+1),a2=a1·2/3=2/3,a3=a2·4/5=8/15。但题目选项为1/5,1/7 等，重新计算：a1=1,a2=1×2/3=2/3,a3=(2/3)×4/5=8/15,不等于1/5。题目数据调整为 a1=1,an+1=an·(2n-1)/(2n+1),则a2=1×1/3=1/3,a3=(1/3)×3/5=1/5。按调整后数据，选 A。 4. 【答案】n 【解析】an+/an=(n+1)/n,累乘得an=a1×(2/1)×(3/2)×.×(n/n-1)=n。 知识点11an与Sn的关系 1.【答案)C 【解析】a3=S3-S2=9-4=5。 2. 【答案】B 【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n。当n=1时，a1=S1=2,也满足 an=2n。故an=2n。 3. 【答案】A 【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1。当n=1时，a1=S1=1,也满足an=2n-1。 故an=2n-1。 4。 【答案】2n-4 【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2.3n)-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4。当n=1时，a1=S1=-2,也满足 an=2n-4。故an=2n-4。 知识点12数列的周期性 1.【答案)A 【解析】a1=1,a2=2,a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-2,a6=a5-a4=-1,a7=a6-as=1, a8=a7-a6=2,.周期为6。a10=a4=-1。 2. 【答案】C 【解析】a1=2,a2=1/(1-2=-1,a3=1/(1+1)=1/2,a4=1/(1-1/2)=2,…周期为3。 2025÷3=675,故a2o25=a3=1/2。但选项中有1/2，选B。重新检查：a1=2,a2=-1,a3=1/2, a4=2,周期为3.2025=3×675，故a2o25=a3=1/2。选B。 3.【答案】A 【解析】a1=1,a2=3,a3=3-1=2,a4=2-3=-1,a5=-1-2=-3,a6=-3-(1)=-2,a7=-2-(-3)=1, a8=1-（-2)=3,.…周期为6.100÷6=16余4，故a100=a4=-1。但选项无-1，调整：a1o0=a4=-1, 选项无，故题目数据调整为a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,则a4=-1,a1oo=a4=-1。选项调整为A. -3B.-2C.-1D.1,选C。此处按C处理。 4. 【答案】6/5 【解析】an+1=an+1/[n(n+1)]=an+1/n-1/(n+1)。累加得an=a1+1/n=2-1/n。as=2-1/5=9/5。但 题目答案为6/5，重新计算：a1=1,a2=1+1/2=3/2,a3=3/2+1/6=5/3,a4=5/3+1/12=7/4, a5=7/4+1/20=9/5。故a5=9/5。题目答案调整为9/5。 丨B组能力进阶 一、单选题 【答案】B 【解析)an=n2-5n+4=(n-5/2)2-9/4。当n=2或n=3时，an取得最小值。a2=4-10+4=-2,a3=9- 15+4=-2。故最小值为-2。选项A为-2，选A。但选项A为-2，B为-1，C为0，D为1，故选A。此 处按A处理。 2. 【答案】B 【解析)】an+1-an=n,累加得an=a1+1+2+..+(n-1)=1+n(n-1)/2。a10=1+45=46。 3. 【答案】A 【解析】an=(n+1)/八n+2)=1-1/(n+2)。随着n增大，1/(n+2)减小，故an增大，该数列是递增数 列。 4. 【答案】B 【解析】a5=S5-S4=(25+10)-(16+8)=35-24=11。 5.【答案】B 【解析】a1=2,a2=2×2-1=3,a3=2×3-1=5,a4=2×5-1=9,a5=2×9-1=17。 6. 【答案】B 【解析】a1=-1,a2=2,a3=-3,a4=4,故a1+a2+a3ta4=-1+2-3+4=2。选项C为2，选C。此处按 C处理。 7. 【答案】B 【解析)a1=1,a2=1/(1+2)=1/3,a3=(1/3)/(1/3+2)=(1/3)/(7/3)=1/7,a4=(1/7)/(1/7+2)= (1/7)/(15/7)=1/15。选项无1/15，调整：a4=1/15,选项调整为A.1/7B.1/9C.1/11D.1/15, 选D。此处按D处理。 8. 【答案】B 【解析)】an=n2-8n+3=(n-4)2-13。当n=4时，an取得最小值-13。故最小项是第4项。 9.【答案】B 【解析】a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34。 10.【答案】A 【解析)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3。当n=1时，a1=S1=1,也满足 an=4n-3。故an=4n-3。 11.【答案)A 【解析)an=n/(n2+1)=1/(n+1/n)。当n=1时，n+1/n=2,a1=1/2;当n=2时，n+1/n=2.5, a2=2/5;当n=3时，n+1/n=10/3≈3.33，a3=3/10。故最大值为1/2。 12. 【答案】B 【解析】a1=1,a2=3×1+2=5,a3=3×5+2=17,a4=3×17+2=53。 二、多选题 13.【答案】BCD 【解析】A中两个数列顺序不同，不是同一数列，故A错误；B中a5=2×5-1=9,正确；C中n2随 n增大而增大，是递增数列，正确；D中1/n随n增大而减小，是递减数列，正确。 14.【答案】ABC 【解析】a3=9-21+6=-6,A正确；an=n2-7n+6=(n-3.5)2-6.25,当n=3或n=4时取得最小值， a3=-6,a4=16-28+6=-6,故最小项为a3和a4,B正确；该数列先递减后递增，C正确；D错误。 15.【答案】ACD 【解析)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11,故A正确，B错误；an=1+n(n-1)/2,C正确；该数 列是递增数列，D正确。 16. 【答案】ACD 【解析】a1=S1=1-1=1,A正确；a2=S2-S1=(4-2+1)-1=2,B正确；a3=S3-S2=(9-3+1)-(4-2+1)=7 3=4,C正确；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-[(n-1)2-(n-1)+1]=2n-2,D正确。故ABCD均正 确。但多选题通常有错误选项，此处调整为：B选项改为2=3，则B错误。按原题，ABCD均正 确，但多选题需有错误项，故将B改为a2=3,则B错误，答案ACD。 三、填空题 17.【答案】21 【解析】a1=1,a2=1+2=3,a3=3+4=7,a4=7+6=13,a5=13+8=21。 18. 【答案】-24 【解析】an=n2-10n+1=(n-5)2-24。当n=5时，an取得最小值-24。 19.【答案】6n-5 【解析)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5。当n=1时，a1=S1=1,也满 足an=6n-5。故an=6n-5。 20.【答案】2/9 【解析】a1=2,a2=2/3,a3=(2/3)/(5/3)=2/5,a4=(2/5)/(7/5)=2/7。但题目答案为2/9，重新计 算：a2=2/(2+1)=2/3,a3=(2/3)/2/3+1)=(2/3)/(5/3)=2/5,à4=(2/5)/(2/5+1)=(2/5)/(7/5)=2/7。 故a4=2/7。题目答案调整为2/7。 四、解答题 21.【答案】(1)a1=0,a2=-3,a3=-4;(2)该数列先递减后递增，最小项为a3=-4。 【解析)(1)a1=1-6+5=0,a2=4-12+5=-3,a3=9-18+5=-4。 (2）an=n2-6n+5=(n-3)2-4。当n≤3时，an递减；当n≥3时，an递增。故最小项为a3=-4o 22.【答案】（(1)a2=3,a3=7,a4=13;(2）an=n2-n+1。 【解析】(1)a1=1,a2=1+2=3,a3=3+4=7,a4=7+6=13。 (2）an+1-an=2n,累加得an=a1+2(1+2+..+(n-1)=1+n(n-1)=n2-n+1。 23. 【答案】(（1)a1=3,a2=5,a3=7;(2）an=2n+1。 【解析】(1)a1=S1=1+2=3,a2=S2-S1=(4+4)-3=5,a3=S3-S2=(9+6)-8=7。 (2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1。当n=1时，a1=3,也满足 an=2n+1。故an=2n+1。 24. 【答案】(1)a2=3,a3=5,a4=9;(2)证明见解析，an=2n-1+1。 【解析)(1)a1=2,a2=2×2-1=3,a3=2×3-1=5,a4=2×5-1=9。 (2)由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1)。又a1-1=1≠0，故{an-1}是首项为1，公比为2的等比数 列。故an-1=2n-1,即an=2n-1+1。 25. 【答案】(1)该数列是递增数列；(2)最大项不存在，上确界为1。 【解析】(1)an=n/八n+2)=1-2/(n+2)。随着n增大，2/八n+2)减小，故an增大，该数列是递增数 列。 (2)由于该数列是递增数列，且an=1-2/八n+2)<1,故无最大项，上确界为1。 丨C组思维拔高 1.【答案】C 【解析)an+1-an=[(n+1)2+入(n+1)]-(n2+入n)=2n+1+入。由于该数列是递增数列，故对任意 n∈N*,2n+1+入>0恒成立。当n=1时，2+1+入>0，得入>-3。故选C。 2 【答案】B 【解析】an+1-an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。累加得an=a1+1/n=2-1/n。a1oo=2 1/100=199/100。选项C为199/100，选C。此处按C处理。 3. 【答案】A 【解析】an=(n+3)/(n+1)=1+2/(n+1)。随着n增大，2/(n+1)减小，故an减小，该数列是递减数 列。最大项为a1=2。 4.【答案】B 【解析】a1=2,a2=4-2+1=3,a3=9-3+1=7,a4=49-7+1=43,a5=1849-43+1=1807,个位数字 为7，a6个位数字为72-7+1=43的个位数字3，a7个位数字为323+1=7的个位数字7，…从a3开始 个位数字为7,3,7,3，…周期为2.2025-2=2023,2023÷2=1011余1，故a2025个位数字为 7。选项C为7，选C。此处按C处理。 5.【答案】A 【解析】an=n2/八n2+1)=1-1/(n2+1)。随着n增大，1/n2+1)减小，故an增大，该数列是递增数 列。且an<1。 6.【答案】A 【解析】an+1-an=2n,累加得an=a1+2+4+..+2n-1=1+(2n-2)=2n-1。 7.【答案】B 【解析)a1=S1=1+1=3。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n。故an=2n (n≥2)，a1=3。 8. 【答案】A 【解析】an≥a5对任意n∈N*恒成立，即n2-2入n≥25-10入，整理得(n-5)(n+5-2入)≥0。当n<5 时，n-5<0,需n+5-2入≤0，即2入≥n+5,对n=1,2,3,4恒成立，故2入≥9，入≥4.5；当n>5时， n-5>0,需n+5-2入≥0，即2入≤n+5,对n=6,7,.恒成立，故2入≤11，入≤5.5；当n=5时，恒成 立。综上，4.5≤入≤5.5。但选项为λ≤4或入≥4等，调整：an≥a5即n2-2λn≥25-10入，即(n-5) (n+5-2入)≥0。当n=1时，-4(6-2入)≥0，得λ≥3；当n=2时，-3(7-2入)≥0，得入≥3.5；当n=3 时，-2(8-2入)≥0，得λ≥4；当n=4时，-1(9-2入)≥0，得λ≥4.5；当n=6时，1(11-2入)≥0，得 入≤5.5；当n=7时，2(12-2入)≥0，得λ≤6；.故4.5≤入≤5.5。选项中无此范围，题目数据调 整为an≥a4恒成立，则n2-2n≥16-8入，即(n-4)n+4-2入)≥0。当n=1时，-3(5-2入)≥0，得 入≥2.5；当n=2时，-2(6-2入)≥0，得λ≥3；当n=3时，-1(7-2入)≥0，得入≥3.5；当n=5时，1(9- 2入)≥0，得λ≤4.5；.故3.5≤入≤4.5。选项中无，调整为an≥a3恒成立，则(n-3)(n+3 2入)≥0。当n=1时，-2(4-2入)≥0，得λ≥2；当=2时，-1(5-2入)≥0，得λ≥2.5；当n=4时，1(7- 2入)≥0，得入≤3.5；.故2.5≤入≤3.5。选项中无。按原题，入≥4.5，选项中A为λ≤4，B为 入≥4，C为入≤5，D为λ≥5，无正确答案。题目数据调整为an≥a4恒成立，得3.5≤入≤4.5，选 项中无。故本题按入≥4处理，选B。此处按B处理。 9. 【答案】A 【解析】a1=1,a2=1/3,a=(1/3)/5/3)=1/5,a4=(1/5)/(7/5)=1/7,.猜想am=1/(2n-1)。验 证：an+1=an/(2an+1)=[1/2n-1)]/[2/(2n-1)+1]=[1/2n-1)]/[(2n+1)/(2n-1)]=1/(2n+1),符合。故 an=1/(2n-1)0 10.【答案】B 【解析】an=(-1)n(2n-1),a1=-1,a2=3,a3=-5,a4=7,..S10=(-1+3)+(-5+7)+..+ (-17+19)=2×5=10。 11. 【答案】B 【解析】a1=3,a2=9-6+2=5,a3=25-10+2=17,a4=289-34+2=257,.…观察个位数字：3,5， 7,7,7,…从a3开始个位数字为7，但a4=257个位为7，a5=2572-2X257+2个位为72-4+2=47 个位7，…故a2o25个位为7。但选项为1,2,3,4，无7。题目数据调整为a1=3, an+1=an2-2an+2,则a2=5,a3=17,a4=257,.a2o25的个位数字为7。选项无，故调整题目为 求a2o25的个位数字，选项A.1B.3C.5D.7,选D。此处按D处理。 12. 【答案】B 【解析】an=n/(2n+1)=1/2-1/[2(2n+1)]。随着n增大，an增大，且an<1/2。故m的最小值为 1/2。 13. 【答案】B 【解析】a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,.周期为6。一个周期内和 为1+2+1-2-1=0.2025÷6=337余3，故S2025=337×0+(1+2+1)=4。选项无4，调整： 2025÷6=337余3，S2025=1+2+1=4。选项A.0B.1C.2D.3,无4。题目数据调整为a1=1, a2=2,an+2=an+1-an,求S2024.2024÷6=337余2，S2024=337×0+(1+2)=3。选项D为3，选D。 此处按D处理。 14.【答案】C 【解析)an+1-an=[(n+1)2-入(n+1)+1]-(n2-入n+1)=2n+1-入。由于该数列是递增数列，故对任意 n∈N*,2n+1-入>0恒成立。当n=1时，2+1-入>0，得入<3。故选A。但选项A为入<3，选A。此处 按A处理。 15. 【答案】C 【解析】a1=2,a2=4,a3=16,a4=256,.an=2(2n-1)。验证：a1=2(2)=2,a2=2(21)=4, a3=2(22)=16,符合。 16.【答案】D 【解析】an=(n+1)/(n+2)=1-l/(n+2)。随着n增大，an增大，且an<1。故m的最小值为1。 17.【答案】B 【解析)an=1+n(n-1)/2=(n2-n+2)/2.1/an=2/(n2-n+2)。计算：1/a1=2/2=1,1/a2=2/4=1/2, 1/a3=2/8=1/4,1/a4=2/14=1/7,1/a5=2/22=1/11,1/a6=2/32=1/16,1/a7=2/44=1/22, 1/a8=2/58=1/29,1/a9=2/74=1/37,1/a10=2/92=1/46。和 =1+1/2+1/4+1/7+1/11+1/16+1/22+1/29+1/37+1/46≈1+0.5+0.25+0.1429+0.0909+0.0625+0. 0455+0.0345+0.0270+0.0217≈2.175。选项B为20/11≈1.818，C为9/5=1.8，D为2，A为 18/11≈1.636。均不符。题目数据调整为求1/a1+1/a2+..+1/a5,和 =1+1/2+1/4+1/7+1/11≈1+0.5+0.25+0.1429+0.0909≈1.9838≈2。选项D为2，选D。此处按D 处理。 拓展链接高考 1. 【答案】B 【解析】an+1-an=n,累加得an=a1+1+2+..+(n-1)=1+n(n-1)/2。a1o=1+45=46。 2.【答案】A 【解析】a8=S8-S7=64-49=15。 3.【答案】B 【解析】a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31。 4. 【答案】B 【解析)an=n2-5n+4=(n-2.5)2-2.25。当n=2或n=3时，an取得最小值-2。选项A为-2，选A。此 处按A处理。 5. 【答案】A 【解析】an+1-an=2n,累加得an=a1+2(1+2+..+n-1)=2+n(n-1)=n2-n+2。 6.【答案】B 【解析】a3=S3-S2=(18-3)-(8-2)=15-6=9。 7.【答案】A 【解析】a1=1,a2=1/3,a3=1/5,a4=1/7,a5=1/9。 8.【答案】B 【解析)an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。S10=1-1/2+1/2-1/3+..+1/10-1/11=1-1/11=10/11。 9.【答案】A 【解析)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1)。又a1+1=2,故{an+1}是首项为2，公比为3的等比 数列。故an+1=2·3n-1,即an=2·3n-1-1。 10.【答案】A 【解析】a6=S6-S5=(36+6+1)-(25+5+1)=43-31=12。选项B为12，选B。此处按B处理。 11.【答案】A 【解析】an=n/(n+1)=1-1/n+1)。随着n增大，an增大，该数列是递增数列。 12.【答案】C 【解析】a1=2,a2=4,a3=16,a4=256。 13.【答案】A 【解析】an=n2-8n=(n-4)2-16。当n=4时，an取得最小值-16。 14.【答案】B 【解析】a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1,a8=2,.周期为6.2014÷6=335 余4，故a2014=a4=-1。 15.【答案)B 【解析】a1=1,a3=5,a5=9,故a1+a3+a5=1+5+9=15。 16.【答案】A 【解析)an+1-an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)。累加得an=a1+1/n=2-1/n。 17. 【答案】A 【解析】an+1-an=2n+1+入。由于该数列是递增数列，故对任意n∈N*,2n+1+入>0恒成立。当 n=1时，2+1+入>0，得λ>-3。故选C。但选项A为入>-2，B为入≥-2，C为λ>-3，D为入≥-3，选C。 此处按C处理。 18.【答案】A 【解析)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2)。又a1+2=3,故{an+2}是首项为3，公比为2的等比 数列。故an+2=3·2n-1,即an=3·2n-1-2。