4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 等差数列的概念 第课时 等差数列的性质及应用 一、知识点自测 知识点1 等差数列的性质及应用 .若数列是等差数列,且,则（ ） A． B． C． D． .在等差数列中,若,则的值为（ ） A． B． C． D． 3.已知等差数列中,,求; 已知数列都是等差数列,且,,,求. 知识点2 等差数列的判定与证明 1.已知数列满足,且. 求; 证明数列是等差数列,并求的通项公式. 2.已知数列满足,,若. 求证:是等差数列; 求数列的通项公式. 知识点3 等差数列的实际应用 1.某公司经销一种产品,第年可获利万元.从第年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少万元.按照这一规律,如果公司不引进新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将会亏损? 通常情况下,从地面到 km高空,高度每增加 km,气温就下降某一个固定数值.已知 km高度的气温是 ℃, km高度的气温是℃,求高度的气温. 2.梯子的最高一级宽 cm,最低一级宽 cm,中间还有级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度. 知识点4 等差数列的综合问题 1.已知四个数成等差数列,它们的和为,中间两项的积为,求这四个数. 2.已知递减等差数列前三项的和为,前三项的积为,求数列的通项公式; 已知两个等差数列与,求它们的相同项构成的数列的通项公式及相同项的个数. 二、课后练习 A组 夯实基础 .已知等差数列满足,,则（ ） A． B． C． D． .在等差数列中,若,则（ ） A． B． C． D． .在a和b两数之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为（ ） A． B． C． D． 多选)在等差数列中,,,公差为d,则（ ） A．公差 B． C．数列为递增数列 D． 传统文化)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:"今有五人分十钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何."其意思为,已知A,B,C,D,E五人分钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得成等差数列,问五人各得多少钱.在这个问题中,E所得为（ ） A． B． C． D． .设等差数列满足,,则的首项=________. .已知数列满足,且,,则=________. .已知在递增的等差数列中,,. 求和; 求的通项公式. B组 能力提升 多选)已知点都在直线上,那么在数列中,下列说法错误的有（ ） A． B． C． D． .已知公差不为的等差数列满足,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 多选)设正项等差数列满足,则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 .设数列都是等差数列,且,,,则数列的第项为________. .已知在等差数列中,,. 求的值; 若数列满足,证明:数列是等差数列. C组 思考题 .已知圆O的半径为,,过点P的条弦的长度组成一个等差数列,为圆O过点P的最短弦的长,为圆O过点P的最长弦的长,则数列的公差为（ ） A． B． C． D． .已知数列的前n项和为,,,,其中为常数. 证明:. 是否存在,使得为等差数列? 请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 等差数列的概念 第课时 等差数列的性质及应用 一、知识点自测 知识点1 等差数列的性质及应用 .若数列是等差数列,且,则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是等差数列,所以,即,解得,故.故选B. .在等差数列中,若,则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由,所以,所以.故选C. 3.已知等差数列中,,求; 已知数列都是等差数列,且,,,求. 【答案】（1）；（2） 【详解】由等差数列的性质,得,所以,得,故. 设等差数列的公差分别为. 由,得. 所以. 知识点2 等差数列的判定与证明 1.已知数列满足,且. 求; 证明数列是等差数列,并求的通项公式. 【答案】（1），；（2）. 【详解】由已知,得,则.又,所以.由,得,所以. 证明:由, 得,即. 所以数列是首项为,公差为的等差数列. 所以.所以. 2.已知数列满足,,若. 求证:是等差数列; 求数列的通项公式. 【答案】见解析 【详解】证明:由,得, 则,即.又, 所以数列是以为首项,为公差的等差数列. 由得,,则. 知识点3 等差数列的实际应用 1.某公司经销一种产品,第年可获利万元.从第年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少万元.按照这一规律,如果公司不引进新产品,也不调整经营策略,那么从哪一年起,该公司经销这一产品将会亏损? 通常情况下,从地面到 km高空,高度每增加 km,气温就下降某一个固定数值.已知 km高度的气温是 ℃, km高度的气温是℃,求高度的气温. 【答案】（1）第年起；（2）. 【详解】设第年的利润为万元, 则,. 所以每年的利润可构成一个等差数列,且公差. 所以. 若,则该公司经销这一产品将会亏损. 由,得. 故从第年起,该公司经销这一产品将会亏损. 由题易知,自下而上各高度的气温构成等差数列,设为,公差为d,则,. 由,解得. 所以. 所以,,, 即高度的气温分别为. 2.梯子的最高一级宽 cm,最低一级宽 cm,中间还有级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度. 【答案】见解析 【详解】用数列表示梯子自上而下各级宽度所构成的等差数列,其公差设为d. 由已知,得,,. 则, 即,解得. 因此,. 所以,梯子中间各级的宽度从上而下依次是 cm. 知识点4 等差数列的综合问题 1.已知四个数成等差数列,它们的和为,中间两项的积为,求这四个数. 【答案】见解析 【详解】设这四个数分别为. 根据题意,得 化简,得解得 所以这四个数分别为或. 2.已知递减等差数列前三项的和为,前三项的积为,求数列的通项公式; 已知两个等差数列与,求它们的相同项构成的数列的通项公式及相同项的个数. 【答案】（1）；（2），. 【详解】方法一)设等差数列的公差为d. 依题意,得,所以, 解得或 因为数列是递减等差数列,所以. 故,. 所以,即等差数列的通项公式为. (方法二)设等差数列的前三项依次为,则 ,解得 又因为数列是递减等差数列,所以, 所以,. 所以等差数列的首项为,公差为. 所以. 记数列为,由已知得,数列的首项为,公差为, 所以通项公式为. 记数列为,由已知得,数列的首项为,公差为,则. (方法一)若数列的第n项与数列的第m项相同, 即,则, 所以. 又,,所以,即. 所以. 所以两个数列的相同项为. 记两个数列的相同项构成的数列为,则的通项公式为,共有(个)相同项. (方法二)设它们的相同项构成的数列为,则. 因为数列为等差数列,所以数列仍为等差数列,且公差. 所以. 令,得,所以两数列共有个相同项. 二、课后练习 A组 夯实基础 .已知等差数列满足,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知等差数列,则,可得.故选C. .在等差数列中,若,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等差数列的性质可知,,所以,解得,所以.故选D. .在a和b两数之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在a和b两数之间插入n个数,使它们与a,b组成等差数列,则这个数列共有项.设该数列的公差为d,则.故选B. 多选)在等差数列中,,,公差为d,则（ ） A．公差 B． C．数列为递增数列 D． 【答案】BC 【详解】在等差数列中,因为,所以,所以.因为,所以, 所以数列为递增数列,,所以.故选BC. 传统文化)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:"今有五人分十钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何."其意思为,已知A,B,C,D,E五人分钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得成等差数列,问五人各得多少钱.在这个问题中,E所得为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意,设A所得为,B所得为,C所得为,D所得为,E所得为a,则,解得　 故E所得为钱.故选B. .设等差数列满足,,则的首项=________. 【答案】 【详解】设等差数列的公差为d,由题意得,则,所以. .已知数列满足,且,,则=________. 【答案】 【详解】由,知数列是等差数列. 由等差数列的性质,得,所以. .已知在递增的等差数列中,,. 求和; 求的通项公式. 【答案】（1）,；（2） 【详解】因为,所以解得或 又因为数列为递增数列,所以,. 设数列的公差为, 由,,可得解得 所以数列的通项公式为. B组 能力提升 多选)已知点都在直线上,那么在数列中,下列说法错误的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为点都在直线上,所以,所以,所以数列为等差数列,且,,.所以由等差数列的性质可得,且.故选ABD. .已知公差不为的等差数列满足,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质可得,则, 所以. 当且仅当,即,时,等号成立.故选B. 多选)设正项等差数列满足,则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】因为正项等差数列满足, 所以,即. 对于A,,当且仅当时,等号成立,故选项A正确; 对于B,由于,所以,,当且仅当时,等号成立,故选项B正确;　 对于C,,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为,故选项C错误; 对于D,结合A选项的结论,有,当且仅当时,等号成立,故选项D正确.故选ABD. .设数列都是等差数列,且,,,则数列的第项为________. 【答案】 【详解】因为是等差数列,所以是等差数列. 因为,, 所以数列的公差,所以. .已知在等差数列中,,. 求的值; 若数列满足,证明:数列是等差数列. 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】设等差数列的公差为d. 因为,,所以. 因为,即,所以. 所以. 证明:由可知, 所以. 因为, 又, 所以数列是首项为,公差为的等差数列. C组 思考题 .已知圆O的半径为,,过点P的条弦的长度组成一个等差数列,为圆O过点P的最短弦的长,为圆O过点P的最长弦的长,则数列的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆O的半径为,,过点P的条弦的长度组成一个等差数列,最短弦长为,最长弦长为过点P的直径,则,所以公差.故选B. .已知数列的前n项和为,,,,其中为常数. 证明:. 是否存在,使得为等差数列? 请说明理由. 【答案】见解析 【详解】证明:由题意知,,, 两式相减得. 由于,所以. 存在.理由如下: 由题意知,,,可得. 由知,. 令, 解得. 故,由此可得 是首项为,公差为的等差数列,; 是首项为,公差为的等差数列,. 所以,. 因此存在实数,使得数列为等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $