4.2.1 第2课时 等差数列的性质与判定 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝4，a6＝4，则a8＝(　　) A．4 B．5 C．7 D．6 解析：选D.由等差数列的性质得2a4＝a3＋a5＝4，解得a4＝2， 又因为a6＝4，2a6＝a4＋a8，解得a8＝6. 2．(2026·莆田期中)在数列{an}中，a1＝1，点P(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，则a3＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选A.因为点P(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，所以an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 所以数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以a3＝1＋(3－1)×2＝5. 3．已知等差数列{an}，则“{an}为递增数列”是“a1＜a2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，即an＋1－an＝d. 当{an}为递增数列时，d＞0，令n＝1得到a2－a1＝d，则a1<a2； 反之a1<a2，则d＞0，{an}为递增数列． 故“{an}为递增数列”是“a1<a2”的充要条件． 4．已知正项等差数列{an}满足a1a4＋a2a6＋a4a9＋a6a8＝25，则a5＝(　　) A．5 B． C． D． 解析：选C.因为a1a4＋a2a6＋a4a9＋a6a8＝25， 所以a4(a1＋a9)＋a6(a2＋a8)＝25，又a4＋a6＝a1＋a9＝a2＋a8＝2a5， 所以2a5a4＋2a5a6＝25，则2a5(a4＋a6)＝25，则2a5×2a5＝25， 解得a5＝或a5＝－，又an＞0，所以a5＝. 5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝，若＋＝，n＞1，且n∈N*，则a10＝(　　) A． B． C． D．17 解析：选B.因为＋＝，又＝1，＝，－＝－1＝， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以＝1＋(10－1)×＝，所以a10＝. 6．(多选)已知各项均为正数的递增等差数列{an}，且a5＝2，则(　　) A．公差d的取值范围是 B．2a7＝a9＋2 C．a8＋a4＞a6＋a5 D．a1＋a9＝4 解析：选BCD.由题意得d＞0，a1＞0，a5＝2，所以a1＝2－4d＞0，解得d＜，所以d∈，故A错误； 由2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确； 由a8＋a4－(a6＋a5)＝a8－a6－(a5－a4)＝2d－d＝d＞0，故a8＋a4＞a6＋a5，故C正确； 由等差数列性质得，a1＋a9＝2a5＝4，故D正确． 7．已知{an}是等差数列且a3＝3，a6＝9，则公差d＝______． 解析：在等差数列{an}中，a3＝3，a6＝9， 所以公差d＝＝＝2. 答案：2 8．同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式为an＝__________． ①{an}是递增的等差数列；②a1－a3＋2a4＝4. 解析：设等差数列{an}的公差为d，由①可知d＞0，取d＝1， 由a1－a3＋2a4＝4，得－2d＋2a1＋6d＝4，所以a1＋2d＝2，则a1＝0， 所以此时数列{an}的通项公式为an＝0＋(n－1)＝n－1. 答案：n－1(答案不唯一) 9．已知{an}为等差数列，a2＋a4＋a5＝a3＋a6，a10＝10，则a6＝__________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为a2＋a4＋a5＝a2＋(a3＋d)＋(a6－d)＝a3＋a6，所以a2＝0， 由等差中项的性质可知，2a6＝a2＋a10，所以a6＝5. 答案：5 10．(13分)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2){an}中有多少项在区间[－18，18]内．(7分) 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a21＝a4＋17d，得70＋17d＝－100， 解得d＝－10， 所以an＝a4＋(n－4)d＝70－10(n－4)＝－10n＋110. (2)由－18≤－10n＋110≤18，得9.2≤n≤12.8， 因为n∈N*， 所以n＝10，11，12，所以{an}中共有3项在区间[－18，18]内． 11．已知{an}为正项等差数列，若4a3－a7＝8，则a1a3的最大值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C.设{an}的公差为d.由4a3－a7＝4(a1＋2d)－(a1＋6d)＝3a1＋2d＝8，解得a1＝， 由于{an}为正项等差数列，则解得0≤d＜4. a1a3＝·＝ ＝(8－2d)(4＋2d)≤·＝8，当且仅当d＝1，a1＝2时等号成立， 所以a1a3的最大值为8. 12．已知等差数列{an}的公差d＞0，且a3a7＝－16，a4＋a6＝0，则a10＝______． 解析：在等差数列{an}中，a3＋a7＝a4＋a6＝0， 由解得或 因为公差d＞0，所以a3＜a7，则 所以公差d＝＝2，所以a10＝a7＋3d＝10. 答案：10 13．(15分)已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66. (1)求数列{an}的通项公式；(8分) (2)若a1＜a2，请判断985，211是不是该数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(7分) 解：(1)因为{an}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝18，所以3a3＝18，a3＝6. 因为所以解得或设等差数列{an}的公差为d， 当时，a1＝16，d＝－5.所以an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)×(－5)＝－5n＋21. 当时，a1＝－4，d＝5.所以an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)×5＝5n－9. 综上，an＝－5n＋21或an＝5n－9. (2)在等差数列{an}中，若a1＜a2，则该数列为递增数列，由(1)可知an＝5n－9， 令5n－9＝985，得n＝∉N*，所以985不是该数列中的项． 令5n－9＝211，得n＝44，所以211是该数列中的项，为第44项． 14．(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝a＋2an＋1. (1)求a1，a2和a3的值；(7分) (2)求证：数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．(8分) 解：(1)由题可得4a1＝4S1＝a＋2a1＋1，即(a1－1)2＝0，得a1＝1. 所以4(a1＋a2)＝4S2＝a＋2a2＋1，即a－2a2－3＝0，则(a2－3)(a2＋1)＝0， 又数列{an}为正项数列，所以a2＝3. 所以4a3＝4S3－4S2＝(a＋2a3＋1)－(a＋2a2＋1)，即a－2a3－15＝0，则(a3－5)(a3＋3)＝0， 所以由an＞0得a3＝5. (2)当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝(a＋2an＋1)－(a＋2an－1＋1)＝a－a＋2an－2an－1. 整理化简得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.又an＞0， 所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.又a1＝1， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 15．若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则a5的值不可能是(　　) A．4 B．0 C．－3 D．－6 解析：选D.若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，分别取0，1，2，3，4符合题意，A可能； 若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，分别取4，3，2，1，0符合题意，B可能； 若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，分别取5，3，1，－1，－3符合题意，C可能； 若a1，a2，a3，a4，a5是等差数列，a5＝－6， 且3，1为数列中的项，则该数列为递减数列，设公差为d(d＜0)， 设ai＝3，aj＝1，其中i＜j且i，j∈{1，2，3，4}， 则aj－ai＝(j－i)d＝－2，a5－aj＝(5－j)d＝－7， 两式相除化简得9j－7i＝10，经检验，此方程在i＜j，i，j∈{1，2，3，4}上无解， 则a5不可能为－6，所以D选项不可能． 学科网（北京）股份有限公司 $