4.3.1 第1课时 等比数列的概念同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版 选择性必修 第二册 4.3.1 等比数列的概念 第课时 等比数列的概念 知识点 等比数列的概念 .在公差不为的等差数列中,是公比为的等比数列,则m=（ ） A． B． C． D． .从集合,…,中任意选出三个不同的数,使得这三个数成等比数列,则这样的等比数列的个数是（ ） A． B． C． D． .下列数列一定是等比数列的是（ ） A． B． C． D． .下列数列是等比数列的有________.(填序号) ①; ②,…; ③,…; ④,…; ⑤,…. 知识点　等比数列的通项公式与等比中项 1.在等比数列中,已知,,则公比（ ） A．- B． C． D． 2.若数列-为等比数列,则实数b的值为（ ） A．- B． C． D．不能确定 3.已知数列是等比数列. （1）若,,求; （2）若,,,求n. .已知等比数列. 若,,求; 若,,公比,求n; 若,,,求n. .已知等比数列的前三项和为,,求的等比中项. 知识点　成等比数列的几个数的设法技巧 1.有四个实数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,前三个数之积为,中间两个数之和为,求这四个数. 2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是,求这四个数. 二、课后练习 A 组 夯实基础 .若三个数成等比数列,则m（ ） A． B． C．- D． .已知等比数列的公比,,则首项（ ） A．- B．- C． D． .设,则数列是（ ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 .在等比数列中,,,则（ ） A． B． C． D． 多选)在等比数列中,已知,,则（ ） A．公比为 B． C．当时, D．的前项积为 .“”是“成等比数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 .已知a,b,c,d成等比数列,给出下列三个数列:①;②;③.其中一定是等比数列的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 .已知等比数列的公比不为,且成等差数列,则数列的公比为________. .在与之间插入个数,使这个数成等比数列,求所插入的个数. B组 能力提升 .已知数列为等比数列,则“公比”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 多选)已知a,b,c为非零实数,则下列说法一定正确的有（ ） A．若a,b,c成等差数列,则成等差数列 B．若a,b,c成等比数列,则成等比数列 C．若a,b,c成等差数列,则成等比数列 D．若成等比数列,则a,b,c成等比数列 .在数列中,,,则________. .已知一个等比数列的各项均为正数,且数列中的任何一项都等于它后面两项之和的倍,则该数列的公比q=________. .在各项均为正偶数的数列中,前项成公差为d()的等差数列,后项成公比为q的等比数列.若,求q的所有可能的值构成的集合. C组 思考题 .已知各项均为正数的等比数列中,成等差数列,则公比q（ ） A． B． C． D． 多选)将个数排成行列: 已知第一行的数成公差为d的等差数列,而每一列的数()都成公比为q的等比数列.若,,,则下列结论一定正确的有（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第二册 4.3.1 等比数列的概念 第课时 等比数列的概念 知识点 等比数列的概念 .在公差不为的等差数列中,是公比为的等比数列,则m=（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为d,则.因为是公比为的等比数列,所以①,②.由①得,代入②,解得.故选C. .从集合,…,中任意选出三个不同的数,使得这三个数成等比数列,则这样的等比数列的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当公比为时,等比数列可为或或;当公比为时,等比数列可为;当公比为时,等比数列可为.同时,以上数列反向排列也是等比数列.综上,共个等比数列.故选B. .下列数列一定是等比数列的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当,时,A,C均不是等比数列;,所以B不是等比数列.故选D. .下列数列是等比数列的有________.(填序号) ①; ②,…; ③,…; ④,…; ⑤,…. 【答案】②③⑤ 【详解】①中,故不是等比数列;②是等比数列,公比为;③是等比数列,公比为;④中有数,故不是等比数列;⑤是等比数列,公比为-. 知识点　等比数列的通项公式与等比中项 1.在等比数列中,已知,,则公比（ ） A．- B． C． D． 【答案】D 【详解】由是等比数列,得.又,所以,即,所以.故选D. 2.若数列-为等比数列,则实数b的值为（ ） A．- B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】因为-成等比数列,所以-成等比数列,a,b,c成等比数列,成等比数列.所以,,.所以,所以.又,所以.所以.故选A. 3.已知数列是等比数列. （1）若,,求; （2）若,,,求n. 【答案】（1）；（2） 【详解】设等比数列的公比为q. （1）根据题意,可知 所以 所以. （2）因为,即,所以. 由,得. 由,得. .已知等比数列. 若,,求; 若,,公比,求n; 若,,,求n. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】设等比数列的公比为q. 因为,即, 所以,所以. 所以. 因为,所以,所以,所以. 方法一)因为,, 所以 ②①得,代入①得. 而,所以, 所以. (方法二), , 所以. 因为,所以, 所以. .已知等比数列的前三项和为,,求的等比中项. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为q. 由已知得 整理得 ②①得,所以. 所以. 设G是的等比中项, 则应有, 所以, 所以. 所以的等比中项是. 知识点　成等比数列的几个数的设法技巧 1.有四个实数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,前三个数之积为,中间两个数之和为,求这四个数. 【答案】 【详解】设前三个数分别为(),则第四个数为. 由题意得 解得 所以这四个数分别为. 2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个数的和是,求这四个数. 【答案】-或 【详解】(方法一)设这四个数依次为(),由条件得 解得或 当时,所求的四个数分别为-; 当时,所求的四个数分别为. 故所求的四个数分别为-或. (方法二)设这四个数依次为(), 由条件得 解得或 当时,所求的四个数分别为-; 当时,所求的四个数分别为. 故所求的四个数分别为-或. 二、课后练习 A 组 夯实基础 .若三个数成等比数列,则m（ ） A． B． C．- D． 【答案】A 【详解】因为成等比数列,所以由等比数列的性质得,解得.故选A. .已知等比数列的公比,,则首项（ ） A．- B．- C． D． 【答案】A 【详解】由题意知首项.故选A. .设,则数列是（ ） A．等比数列 B．等差数列 C．递增数列 D．递减数列 【答案】A 【详解】由已知数列的前项为-,明显数列不是等差数列,也不是单调递增数列,也不是单调递减数列,排除BCD.又当时,为常数,故数列是等比数列.故选A. .在等比数列中,,,则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q,则,可得,所以.故选C. 多选)在等比数列中,已知,,则（ ） A．公比为 B． C．当时, D．的前项积为 【答案】ABD 【详解】设等比数列的公比为q. 对于A,由得 解得故A正确; 对于B,,则,故B正确; 对于C,,当时,,则,故C错误; 对于D,由,可得的前项积为,故D正确. 故选ABD. .“”是“成等比数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】成等比数列,等价于,解得.而“”是“”的充分不必要条件,所以“”是“成等比数列”的充分不必要条件.故选B. .已知a,b,c,d成等比数列,给出下列三个数列:①;②;③.其中一定是等比数列的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】若a,b,c,d成等比数列,设公比为q,则a,b,c,d均不为,且, 则,故成等比数列,且公比为; ,,因此成等比数列,且公比为; ,,,当时,成等比数列,且公比为q,但当时,不是等比数列.故选C. .已知等比数列的公比不为,且成等差数列,则数列的公比为________. 【答案】 【详解】设等比数列的公比为. 由已知条件可知,又,,且,代入到,可得, 化简得,即,　 解得或(舍). .在与之间插入个数,使这个数成等比数列,求所插入的个数. 【答案】- 【详解】设所成的等比数列的公比为q,则,即,解得. 当时,插入的个数为; 当时,插入的个数为-. B组 能力提升 .已知数列为等比数列,则“公比”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列为递增数列的充要条件是或故“公比”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D. 多选)已知a,b,c为非零实数,则下列说法一定正确的有（ ） A．若a,b,c成等差数列,则成等差数列 B．若a,b,c成等比数列,则成等比数列 C．若a,b,c成等差数列,则成等比数列 D．若成等比数列,则a,b,c成等比数列 【答案】BC 【详解】对于是等差数列,但是不是等差数列,故A不正确; 对于B,a,b,c成等比数列,则,所以,所以成等比数列,故B正确; 对于C,a,b,c成等差数列,所以,所以,即,故C正确; 对于D,成等比数列,所以,所以或,若,则a,b,c不成等比数列,故D不正确. 故选BC. .在数列中,,,则________. 【答案】 【详解】因为,, 所以,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,所以. .已知一个等比数列的各项均为正数,且数列中的任何一项都等于它后面两项之和的倍,则该数列的公比q=________. 【答案】 【详解】设该等比数列为,公比为q.依题意,得,所以. 因为,所以, 解得(舍去). .在各项均为正偶数的数列中,前项成公差为d()的等差数列,后项成公比为q的等比数列.若,求q的所有可能的值构成的集合. 【答案】 【详解】易知四个数依次为,其中为正偶数. 因为后项成公比为q的等比数列, 所以,整理得, 所以,解得, 所以d可能的值为. 当时,(舍去); 当时,(舍去); 当时,,; 当时,,. 综上可得,q的所有可能的值构成的集合为. C组 思考题 .已知各项均为正数的等比数列中,成等差数列,则公比q（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为,因为成等差数列,所以,即.显然,所以,解得或(舍去).故选B. 多选)将个数排成行列: 已知第一行的数成公差为d的等差数列,而每一列的数()都成公比为q的等比数列.若,,,则下列结论一定正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为第一行的数成公差为d的等差数列,每列的数成公比为q的等比数列, 则,, , 联立以上式子,可解得,即, 又,即,即.故B正确. 将代入前面式子, 当时,,,,, 此时,,　 则,; 当时,,,,, 此时,,则. 综上所得,A,C错误,B,D正确. 故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 $