4.3.1 等比数列的概念(创新拔高)课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 1.已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是( ) A. B. C. D. 2.在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数n是( ). A．5 B．6 C．7 D．8 3.已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为( ) A. B. C. D. 4.已知数列满足且，则( ) A.是等差数列 B.是等比数列 C.是等比数列 D.是等比数列 5.若数列和满足，，，则( ) A. B. C. D. 6.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，现有下列结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 7.（多选）在数学上斐波那契数列一般以递推的方式被定义：，，则( ). A. B. C.是等比数列 D.设，则 8.（多选）若数列中任意连续3项，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是( ) A.等比数列1，，，，，…是跳跃数列 B.数列的通项公式为，数列是跳跃数列 C.等差数列不可能是跳跃数列 D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比 9.已知各项都为整数的数列中，，且对于任意的，满足，，则______. 10.已知实数成等差数列，成等比数列，则的取值范围为______. 11.已知数列满足，，则与最接近的整数为______. 12.已知数列满足：，. （1）证明：； （2）设，求，的值； （3）求的通项公式. 答案以及解析 1.答案：D 解析：设等比数列的公比为q. 当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列；当时，，数列不是等比数列； 因为，所以，由等比数列的定义可知，数列是等比数列. 故选D. 2.答案：C 解析：因为在等比数列中，，所以公比，则当时，； 当时，.因为，所以，，， 则， 又当时，，故使不等式成立的n的最大值为7.故选C. 3.答案：B 解析：由题意，要使最小，则，，都是负数.若相邻两项为1和9，则公比为正数，每一项都为正数，舍去；若奇数项为1和9，则奇数项均为正数，舍去；则和为1和9，设等比数列的公比为，当时，，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以.综上可得，的最小值为. 4.答案：D 解析：由，可得，所以，又由得，所以是首项为3，公比为2的等比数列，故D正确. 所以，即，. ，所以不是等差数列；不等于常数，所以不是等比数列；不等于常数，所以不是等比数列.故选D. 5.答案：A 解析：由题意可得，即，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，故. 又由题可得，即， 所以，故， 所以. 所以，所以. 6.答案：C 解析：对于①，若与均为等差数列，不妨设各自的公差分别为，，则所以. 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以 （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则. 故①正确. 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自的公比分别为，显然，则该数列的奇数项都相同.故②错误. 对于③，设（，），，若M中至少有4个元素，则关于n的方程至少有4个不同的正数解. 若，，则由和的散点图（图略）可得关于n的方程至多有2个不同的解，矛盾. 若，，考虑关于n的方程的奇数解的个数和偶数解的个数. 当有偶数解时，此方程即为，至多有两个偶数解，且当其有两个偶数解时，，否则.因为，单调性相反，所以方程至多有一个偶数解.当有奇数解时，此方程即为，至多有两个奇数解，且当其有两个奇数解时，，即，否则.因为，单调性相反，所以方程至多有一个奇数解.因为，不可能同时成立，故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素.故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，所以前者的散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多有一个交点.故④正确.故选C. 7.答案：ABC 解析：A：，，则从开始各项依次为2，3，5，8，13，21，34，55，…， 因此，A正确. B：由. 可得，因此B正确. C： ，， 则数列是等比数列，首项与公比都为，因此C正确. D：，则， 同理可得，由斐波那契数列的单调性可得， 因此，故D不正确.故选ABC. 8.答案：ACD 解析：对于A，等比数列1，，，，，…的通项公式为，那么，由跳跃数列的定义知，等比数列1，，，，，…是跳跃数列，故A正确. 对于B，数列的前3项为，，，不符合跳跃数列的定义，故B错误. 对于C，当等差数列的公差时，它是递增数列，；时，它是递减数列，；时，它是常数列，.所以等差数列不可能是跳跃数列，故C正确. 对于D，若等比数列是跳跃数列，则，整理得，即0，若等比数列的公比q满足，则，可得，所以等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比，故D正确.故选ACD. 9.答案： 解析：因为，所以，两式相加得. 又，且数列的各项都为整数，所以. 又，所以 . 10.答案： 解析：依题意得所以. 设，则，当， 即x，y同号时，，当且仅当，即时取等号；当，即x，y异号时，，当且仅当，即时取等号，所以. 11.答案：4 解析：由题意知.令，则且，原递推公式即，整理后为，由得，即，所以当时，.又，符合上式，所以，. 另一方面，，所以. 综上所述，，所以与最接近的整数为4. 12.答案：（1）证明见解析 （2）或 （3） 解析：（1）证明：因为，所以， 所以 . （2）因为，所以. 因为， 所以解得或 （3）由（2）知，当时， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以①， 当时， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以②， 得. 学科网（北京）股份有限公司 $