精品解析：黑龙江省实验中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2026-2027学年度高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线经过点，所以直线的斜率为：， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以倾斜角． 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 4. 已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义得，结合三角形中位线知识得. 【详解】因为双曲线左支上的点M到右焦点的距离为18， 所以M到左焦点的距离， N是的中点，O是的中点，所以. 故选：A. 5. 若动点到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于点到定点的距离比它到定直线的距离小1，故点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 故点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，故方程为. 6. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解. 【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线， 过分别作，垂足分别为， 由抛物线定义可知，过点作，垂足为， 设，因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为， 由，得， 设，则， 由焦点弦公式， 故选：B. 8. 设、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 双曲线的左顶点，左焦点，右焦点，则以为直径的圆的方程为，双曲线第一象限的渐近线方程为 . ，得，解得； 交点在第一象限，，得，则. ，，则，得. ； ，即该双曲线的离心率为. 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 该双曲线的实轴长为 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 直线与双曲线的左右两支各有一个交点 【答案】AB 【解析】 【分析】求得实轴长判断A；利用双曲线的定义求得周长判断B；求得面积判断C；利用渐近线求得与双曲线左右两支各有一个交点的直线的斜率的范围可判断D. 【详解】由双曲线，得，所以， 故实轴长为，故A正确； 因为，又，所以， 所以，，又， 所以的周长为，故B正确； 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故C错误； 双曲线的渐近线方程为， 若直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则， 由直线，得，故其斜率为1，在轴上截距为， 所以直线与双曲线右支有两个交点，不与左支相交，故D错误. 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可求得点，计算可得判断A选项；设椭圆的上顶点为，计算可得，进而可判断B选项；计算的范围判断C选项; 利用椭圆的定义计算的范围判断D. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以，设， 则，又，所以， 所以，故A错误； 设椭圆的上顶点为，由，所以， 所以，所以存在点，使得，故B正确； 设，因为，所以， 所以， 当时，，当或时，， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，在椭圆外，设直线与椭圆相交于，如图所示， 则， ，， ，即， 所以， 所以的取值范围为，故D正确. 11. 已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. C. 为一个定值 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率求出的值，进而可得渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率为，则， 所以，，则渐近线方程为． 故答案为：. 13. 中国灯笼又称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．每年的农历正月十五元霄节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼，来营造一种喜庆的氛围．如图，是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼的高为20cm，在距离最大横截面6cm处的横截面的面积为，则该灯笼的轴截面的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该椭圆的方程为，根据条件得点在椭圆上，解得，再求离心率即可. 【详解】由该灯笼的轴截面为椭圆和高为20cm，可设该椭圆的方程为， 记在距离最大横截面6cm处的横截面的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得， 所以该灯笼的轴截面的离心率为． 故答案为： 14. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，其中为切点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】== 因为圆心到直线的距离，所以，，，当时取最小值．所以填． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】（1）； （2）和. 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程. 【小问1详解】 设圆心 依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为， 显然圆心在线段的垂直平分线上，由，解得， 因此圆心的坐标是，圆的半径， 所以圆的方程是． 【小问2详解】 依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即， 于是，解得或， 所以所求切线方程为和. 16. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标、离心率结合椭圆基本参数关系求解标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解参数值. 【小问1详解】 由椭圆的左右焦点是、，得， 且焦点在轴上. 椭圆的离心率为，，得； ； 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线与椭圆交于，. 联立，消去整理得. ，解得. ，； ； ，解得，符合题意. ，即的值为. 17. 已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出结果； （2）求出直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理求得，再结合线段的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； （3）由题意，设，，由于四边形是平行四边形，则的中点为，可得与的关系，将其代入抛物线方程，可求出的值，即可求出点的坐标，并对其检验，即可得到结果. 【小问1详解】 将代入得，故， 抛物线方程为，焦点. 【小问2详解】 直线的斜率为1且过，直线：，即， 代入得，设，， 韦达定理，，， ，，且，即、位于轴两侧， 故. 【小问3详解】 四边形为平行四边形，顺次顶点，则对角线与互相平分， ，，故的中点为， 设，， 则由中点关系，，，即， 将代入直线， 得， 化简得，即，解得或， ①当时，，，四点，，， 四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； ②当时，，，四点，，，，四点不在同一条线上，对角线互相平分，构成平行四边形，符合题意； 综上，对应点的坐标为或. 18. 设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若为线段的中点，求直线的方程； （3）当直线过点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 19. 已知点，，动点满足直线AR与BR的斜率之积为.记R的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设经过点的直线l交曲线C于M，N两点，设直线BM，BN的斜率为，，直线AM与直线BN交于点G. ①求的值； ②求证点G在定直线上. 【答案】（1） （2），点G在直线上，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直线AR与BR的斜率之积为，结合斜率公式，化简得出曲线C的方程； （2）由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，证明，再设出直线AM与直线BN的方程，并联立方程，从而证明点G在定直线上. 【小问1详解】 因为直线AR与BR的斜率之积为，所以，即 故曲线C的方程为 【小问2详解】 易知直线l的斜率不为，设直线的方程为 由可得， 设，则， ， 设，记直线与的交点 则， 即， ， 故 即点G在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2026-2027学年度高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 5. 若动点到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 8. 设、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆与双曲线渐近线在第一象限的交点为，且满足，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 该双曲线的实轴长为 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为 D. 直线与双曲线的左右两支各有一个交点 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. C. 为一个定值 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_______． 13. 中国灯笼又称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．每年的农历正月十五元霄节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼，来营造一种喜庆的氛围．如图，是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼的高为20cm，在距离最大横截面6cm处的横截面的面积为，则该灯笼的轴截面的离心率为______． 14. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，其中为切点，则的取值范围为__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程： （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 已知椭圆的左右焦点是、，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 17. 已知抛物线：（）经过点，其焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点． （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积； （3）设点在抛物线上，试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 18. 设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若为线段的中点，求直线的方程； （3）当直线过点时，求的取值范围． 19. 已知点，，动点满足直线AR与BR的斜率之积为.记R的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）设经过点的直线l交曲线C于M，N两点，设直线BM，BN的斜率为，，直线AM与直线BN交于点G. ①求的值； ②求证点G在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $