精品解析：黑龙江省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2025-2026学年度 高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线，下列直线与平行是（ ） A. B. C D. 2. 点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和圆，下列说法正确是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最小值为 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 11. 已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ） A. B. 当时，最小值为 C. 点到直线的距离的最小值为2 D. 当时，直线ON的斜率的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条． 13. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 14. 已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为___________ 三、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 16. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 17. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. （1）求抛物线C的方程； （2）设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 18. 已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积； （3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点． （1）直线、斜率分别为、，求的值； （2）若、、三点共线，，求实数的值； （3）若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2025-2026学年度 高二学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线，下列直线与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出. 【详解】直线，其中、、， 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线平行，故正确. 故选：. 2. 点关于轴的对称点为，则点到直线的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定Q的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案. 【详解】由题意知点关于轴的对称点为，则， 故点到直线的距离为， 故选：C 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 4. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率. 【详解】由题设，且，则， 所以. 故选：B 6. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 故其渐近线方程为，结合渐近线方程为，故， 故选：A 7. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设平面截该镜面所得的抛物线方程为， 代入，得， 则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为. 故选：D 8. 已知抛物线，圆，过圆心作斜率为的直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答. 【详解】如图，圆的圆心为，半径， 且为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为． 设，则． 因为，则，可得． 设直线的方程为，显然，且直线与抛物线必相交， 由得，易知， 所以，解得． 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 圆关于直线对称 D. 设点是圆上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项错误； ∵，∴点在圆外，B选项正确； ∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，C选项正确； ∵，圆半径，∴，D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ） A. B. 当时，的最小值为 C. 点到直线的距离的最小值为2 D. 当时，直线ON的斜率的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，可根据抛物线的定义计算出的值判断其正确，对BCD选项，可根据抛物线的方程设抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解. 【详解】根据抛物线的定义，的准线为， 由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确； 对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为， 对于B选项，当时，； 当时， 当且仅当时，等号成立.选项B正确； 对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示： 到直线的距离， 当时，.选项C错误； 对于D选项，可根据向量共线作出示意图： 根据定义求出抛物线的焦点，由得， 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立.选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有_____________条． 【答案】3 【解析】 【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 13. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率. 【详解】 由题意，，双曲线的渐近线为，如上图， 设点在上，则，故， 所以，则，故， 所以，故，则椭圆离心率为. 故答案为：2 14. 已知抛物线，F为C的焦点，P，Q为其准线上的两个动点，且．若线段PF，QF分别交C于点A，B，记的面积为的面积为，当时，直线AB的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设直线AB方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可. 【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去x得：，， 则，由得：， 即，而，于是， 直线的方程为，则点纵坐标，同理点纵坐标， 又， 由，得，则，， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可. 三、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，平面内一动点满足，设动点轨迹为． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【小问1详解】 设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 16. 已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 因为在上，则，可得， 所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为， 设椭圆的方程为， 故中，且，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以. 17. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. （1）求抛物线C的方程； （2）设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得； （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得，即直线与直线的倾斜角互补，得证. 【小问1详解】 由，可得， 所以抛物线C方程为. 【小问2详解】 根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 18. 已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积； （3）已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）渐近线方程为，距离之积为 （3） 【解析】 【分析】（1）计算菱形的面积，再结合离心率可求； （2）设，根据点到直线的距离公式以及化简； （3）设线段中点，联立方程组利用韦达定理得出，再根据得出，再结合可求. 【小问1详解】 由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且， 则四边形的面积为， 又离心率为，可得， 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 渐近线方程为， 设到两条渐近线的距离分别为， 则，则， 因，则， 所以到双曲线两条渐近线距离之积为； 【小问3详解】 设，线段中点，, 联立，消去整理可得， 则且， 即且①， 因，则， 因，则， 则，得， 因且，得且， 因，得或， 综上，实数的取值范围是. 19. 已知椭圆左、右顶点分别为、，是椭圆上异于、的任一点，直线，、是直线上两点，、分别交椭圆于点、两点． （1）直线、的斜率分别为、，求的值； （2）若、、三点共线，，求实数的值； （3）若直线过椭圆右焦点，且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的方程可得，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，进而求出的值； （2）由题意设的坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令，可得的纵坐标，即求出的坐标，同理可得的坐标，再由，可得，代入可得的值； （3）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的纵坐标之差的绝对值，设直线的方程，令，可得的坐标，同理可得的坐标，求出的代数式，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积的最小值． 【小问1详解】 由椭圆的方程可得，， 设，则， 可得； 【小问2详解】 因为、、三点共线，设，则， 所以直线方程为， 令，可得，即， 同理可得， 又因为， 所以，即， 即， 解得； 【小问3详解】 由题意可得直线的斜率不为0， 设直线的方程为，设，， 联立，整理可得， 显然，且，， ， 直线的方程，令， 可得，同理可得， 所以 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为18． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $