精品解析：河南漯河市召陵区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年上学期学情调研作业（二） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4. 第三届河南省青少年科技运动会由河南省科协、河南省教育厅联合主办，分两个阶段进行，分赛区选拔赛于2026年6月—10月上旬举行，总决赛定于10月下旬举行．水火箭比高是运动会中的一项比赛项目，参赛者需在规定时间内现场制作以饮料瓶为主要材料的水火箭，并通过发射比较其飞行高度．一个水火箭在空中的高度关于时间的函数解析式为，则其图象的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为，到墙底端的距离为．若梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离相等，设为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，请写出一个符合条件的k的值：____________． 12. 如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 13. 下面是小明与的对话． 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，运算结果是这个数的2倍？ 在深度思考后，给出的答案是____________． 14. 已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 15. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针旋转得到的； （3）如果通过旋转可以得到，请你通过尺规作图找出旋转中心P（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例关系，下面是它们所对应的几组数据． 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 镜片焦距 0.50 0.20 0.125 （1）求关于镜片焦距的函数解析式； （2）小亮同学去年配的眼镜镜片的焦距为，今年他去眼镜店新配一副眼镜，新镜片的焦距为，则小亮同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 19. 根据多项式乘法可知，所以形如的方程，我们可以通过变形为进行求解． 例如：， ∴在解方程时， 左边变形，可得． ，或． 解得，． （1）请你仿照上面的方法将关于的整式因式分解：（            ）                                               ； （2）利用材料中的方法解方程． 20. 4月17日，中原水产种业高质量发展座谈会暨“名特优水产苗种进河南”系列活动在郑州启动，活动以“优种入豫强渔业，良种赋能富中原”为主题，着力提升全省渔业质量效益和竞争力．良种带来的品质优势正沿着产业链传导到销售端，某水产店销售一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若每千克按元销售，一个月能售出千克．如果销售单价每千克上涨元，那么月销售量就减少千克． （1）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求关于的函数解析式； （2）在（1）的条件下，为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到元，销售单价应为每千克多少元？ 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于和两点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ， ； （2）是反比例函数的图象上一点，若，求点的坐标； （3）根据图象，可知当时，的取值范围是 ． 22. 为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量(千克)与每亩施氮量(千克)之间的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为(千克)，低肥力麦田每亩的产量为(千克)．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． （1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式； （2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克，请直接写出的值． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期学情调研作业（二） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕一点旋转后可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形绕任何一点旋转后都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形绕任何一点旋转后都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形绕任何一点旋转后都不能与原图形重合，该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把该图形绕点旋转后能与原图形重合，该图形是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是 【详解】由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为 故选 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 4. 第三届河南省青少年科技运动会由河南省科协、河南省教育厅联合主办，分两个阶段进行，分赛区选拔赛于2026年6月—10月上旬举行，总决赛定于10月下旬举行．水火箭比高是运动会中的一项比赛项目，参赛者需在规定时间内现场制作以饮料瓶为主要材料的水火箭，并通过发射比较其飞行高度．一个水火箭在空中的高度关于时间的函数解析式为，则其图象的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：其图象的对称轴为直线． 5. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 6. 已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 8. 如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙底端的距离为，到墙底端的距离为．若梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离相等，设为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把、用含的代数式表示出来，再根据勾股定理列出方程． 【详解】解：由题意可知，，， ，，， ， ． 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式可知点的纵坐标为，点的横坐标为，可得：，，根据矩形的面积公式列方程求出． 【详解】解：， ， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ，， 矩形的面积为， ， 或， 反比例函数经过第一象限， ， ． 10. 如图，在中，顶点在第一象限，点在轴的负半轴上，点，，，将绕点每次顺时针旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据、坐标求出长，结合及勾股定理求出点坐标；根据旋转角度和次数确定旋转后的位置关系，利用中心对称性质求解.  【详解】解：，， ，轴， ，  ； 在中，， ， 点在轴负半轴， ， 每次顺时针旋转， 每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点的位置相当于绕点顺时针旋转， 点与旋转后的对应点关于点中心对称，设旋转后点的坐标为， 则，， 解得，， 点的坐标为. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，请写出一个符合条件的k的值：____________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象位于第一、三象限的性质，可得比例系数为正，解不等式得到k的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， 取符合条件的即可． 12. 如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 13. 下面是小明与的对话． 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，运算结果是这个数的2倍？ 在深度思考后，给出的答案是____________． 【答案】0或5 【解析】 【分析】根据题干描述的运算等量关系，设未知数列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个数为． 由题意得． 移项整理得． 因式分解得． 解得，． 14. 已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 15. 如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，，  设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针旋转得到的； （3）如果通过旋转可以得到，请你通过尺规作图找出旋转中心P（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）如图所示． 点的坐标为． （2）如图所示， （3）点P的位置如图所示． 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，描点连线画出平移后的三角形，进而写出坐标即可． （2）利用绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，描点连线画出旋转后的三角形． （3）连接、，分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例关系，下面是它们所对应的几组数据． 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 镜片焦距 0.50 0.20 0.125 （1）求关于镜片焦距的函数解析式； （2）小亮同学去年配的眼镜镜片的焦距为，今年他去眼镜店新配一副眼镜，新镜片的焦距为，则小亮同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 【答案】（1） （2）上升了150度 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分别将、代入函数解析式计算，进而判断即可． 【小问1详解】 解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距成反比例关系， ∴设y关于x的函数解析式为． 将点代入，得． 关于x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． （度）． 答：小亮同学的眼镜度数上升了，上升了150度． 19. 根据多项式乘法可知，所以形如的方程，我们可以通过变形为进行求解． 例如：， ∴在解方程时， 左边变形，可得． ，或． 解得，． （1）请你仿照上面的方法将关于的整式因式分解：（            ）                                               ； （2）利用材料中的方法解方程． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【分析】（1）读懂材料，找到两个数，和为一次项系数3，积为常数项2，完成填空与因式分解． （2）仿照材料方法，找到两个数，和为，积为，把多项式分解成两个一次因式乘积，再利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ，或， ，． 20. 4月17日，中原水产种业高质量发展座谈会暨“名特优水产苗种进河南”系列活动在郑州启动，活动以“优种入豫强渔业，良种赋能富中原”为主题，着力提升全省渔业质量效益和竞争力．良种带来的品质优势正沿着产业链传导到销售端，某水产店销售一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若每千克按元销售，一个月能售出千克．如果销售单价每千克上涨元，那么月销售量就减少千克． （1）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求关于的函数解析式； （2）在（1）的条件下，为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到元，销售单价应为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每千克元 【解析】 【分析】（1）先表示出每千克利润、月销售量，再根据总利润单件利润销售量列出函数关系式，化简得到解析式． （2）把利润代入函数解析式，解一元二次方程得到两个解，结合“尽快减少库存”的条件，选择销量更大、单价更低的解． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 【小问2详解】 解：将代入， 得． 解得，． ∵需要尽快减少库存， ． 答：销售单价应为每千克60元． 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于和两点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ， ； （2）是反比例函数的图象上一点，若，求点的坐标； （3）根据图象，可知当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）；； （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别令与求一次函数图象与两坐标轴的交点，再把点的坐标代入反比例函数解析式求； （2）以坐标轴上的线段为底，用底乘高的一半把两个三角形的面积表示成含点横坐标的式子，由面积关系求出横坐标； （3）把不等式看成一次函数图象在反比例函数图象上方，依据两个交点的横坐标与分段观察图象写出范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点． ∴令，得． ∴． ∴点的坐标为． ∵图象与轴交于点． ∴令，得． ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵点为原点． ∴，点到轴的距离为． ∴． ∵点． ∴． 设点的坐标为，则点到轴的距离为． ∴． ∵． ∴． ∴或． ∵点在的图象上． ∴当时，． 当时，． ∴点的坐标为． 或． 【小问3详解】 解：不等式表示一次函数图象在反比例函数图象上方． ∵两图象交点的横坐标为与，且时反比例函数无意义． ∴由图象可知，当或时直线在双曲线上方． ∴或． 22. 为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量(千克)与每亩施氮量(千克)之间的关系可近似用如图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为(千克)，低肥力麦田每亩的产量为(千克)．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． （1）求中肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式； （2）已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与之间的函数解析式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①每亩产量的差为千克；②的值为 【解析】 【分析】（1）由点是抛物线的顶点设出顶点式，把点的坐标代入求出待定系数，再把点的坐标代入检验； （2）①用配方法求的最大值及对应的施氮量，再把同一个代入求两种麦田每亩产量的差， ②把两块麦田的每亩产量相加得到一个新的二次函数，用配方法并结合求总产量的最大值． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线的顶点． ∴设． ∵点在这条抛物线上． ∴． ∴． ∴． ∵点在这条抛物线上． ∴把代入得，与点的纵坐标一致． ∴)． 【小问2详解】 解：①． ∵二次项系数，且． ∴当时，低肥力麦田每亩产量最大，为千克． ∵此时． ∴两种麦田每亩产量的差为(千克)． ②设两块麦田每亩施氮量都为千克，总产量为千克． ． ． ． ∵，且二次项系数． ∴当时，取得最大值． ∴． 23. 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系：________． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图1，在上取，连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得， ， ， ， 点E，D，C共线． ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转得到，，，，可得，进一步证明可得到答案； （2）在上取，连接．首先由，得，，再证明，得，即可得到答案； （3）利用旋转的性质即可得到，，，可得，得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由旋转的性质，得，，，， ， 点，，共线． ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $