精品解析：河南省漯河市召陵区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025～2026学年上学期期中考试九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形”、“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：D． 3. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有个相等的实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式直接判断即可． 【详解】解：， 方程没有实数根． 故选：A ． 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为cm，则点与的位置关系是（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径大小即可判断. 【详解】解：∵ 圆的半径，点P到圆心O的距离 ，且， ∴， ∴点P在外； 故选：C． 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 6. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的平移和关于原点对称的性质．点的平移规则：向右平移，横坐标增加；关于原点对称的点，坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】∵点向右平移3个单位长度得到点， ∴的坐标为，即； ∵点与点关于原点对称， ∴的坐标为． 故选：D． 7. 如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则20个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 根据题意，可列方程为． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分为点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解即可． 本题考查了菱形的对称性、坐标与图形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是要分情况讨论． 【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到x轴正半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，   ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． 同理：当点D旋转到x轴负半轴时，点C的坐标为． ∴点C的坐标为或． 故选：D． 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由开口方向，，以及抛物线与轴的交点在轴的上方即可判断符号，即可判断①；由于抛物线与x轴有两个交点，则，即可判断②；由抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，则抛物线与x轴另一个交点，当，即可判断③；由于时，，时，，则，运用平方差公式化简判断④；当时，，则，故，即可判断⑤． 【详解】解：开口向下，； 对称轴在轴的右侧，， 则； 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴， 所以①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点， ∴当，故③正确； ∵时，， 时，， ∴， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴当时，， ∴ ∴，故⑤错误， ∴正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式______________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 二次函数图象开口向下，则二次项系数为负；经过点，则常数项为1． 【详解】解：设二次函数表达式为． ∵图象经过点， ∴当时， ，即，解得． ∵图象开口向下， ∴． 取，则． 故答案为∶ (答案不唯一)． 12. 点关于原点对称的点是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，求出的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：． 13. 如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律和待定系数法求参数．根据平移规则“左加右减”得到平移后的函数表达式，再代入原点坐标求解． 【详解】解：将函数 的图像向左平移2个单位后，得到新函数 ，由于平移后的图象经过原点， 把点代入得 ， 即， 解得 ， 故答案为：4 14. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为___． 【答案】4． 【解析】 【详解】试题分析：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R， ∴方程有两个相等的实根，∴△=16﹣4m=0， 解得，m=4． 故答案是4． 考点：1.直线与圆的位置关系2.根的判别式． 15. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形是矩形，得到，然后根据，得到当三点共线时，最小，此时，为点E到距离，从而求得答案； （2）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，先证明，得到，然后根据勾股定理，求得，然后利用，求得答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是的中点，是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时，为点E到距离， 点E到距离的最小值为； 故答案为：； （2）如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， ，， ， ， 正方形中，，是边的中点， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当共线时，等号成立， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 【答案】（1） 解：如图所示： 即为所求； （2） 解：如图所示： 即为所求； （3）， 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中变换作图，涉及关于原点对称作图、旋转作图及旋转的坐标特征，数形结合是解决问题的关键． （1）分别作出三个顶点关于原点对称的点，连接三个顶点即可得到答案； （2）分别作出三个顶点绕原点按逆时针方向旋转后的点，连接三个顶点即可得到答案； （3）由（2）中图形，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：中顶点坐标为，若为边上一点，则点对应的点的坐标为， 故答案为：，． 18. 已知关于的方程（是实数） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成一个长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的一扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1）米 （2） 花圃的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． （1）用篱笆的总长减去2个的长，然后加上1个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽长为米，则长米， 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∵ ∴ ∴， 答：花圃的长为，宽为． 20. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1） （2）有最大值为，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，二次函数与三角形，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，设点的坐标为，再求出直线的表达式为，得到点的坐标为，则，表示出的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，，代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 如图2，过点作轴交于点， 设点的横坐标为，则点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值为，此时点的坐标为． 22. 已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）求当时，y的最大值与最小值的差； （3）当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； （4）当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）先求得顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求得当时，y的最大值与最小值，再计算即可解答； （3）根据函数的增减性，再结合函数图象即可解答； （4）先求得当时，的值，再结合函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：由图象知，抛物线经过点和， ∴对称轴直线为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，将代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得当时，y有最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：由题意得，当时，y随x的增大而增大， ∵当时，y随x的增大而增大，∴m的取值范围是； 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，，解得或， 由图可知： 当时，函数值，n的取值范围． 故答案为：． 23. 如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点 重合），过点 作线段垂直且 ，连接，交 于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点 运动过程中，能否使为等腰三角形?若能，请直接写出 的长； 若不能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明: 连接， ∵，点，分别为，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，，在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）的长为或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，故有，再证明即可； （）连接，证明，所以，，又，则有，即，然后通过勾股定理即可求解； （）分当，当，当三种情况分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点，分别为，的中点，，， ∴， ∴， 当，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，如图，此时三点共线， 此时； 当，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴, ∴， 综上可得：为等腰三角形时，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期中考试九年级数学 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 3. 方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有个相等的实数根 C. 有个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 已知的半径为，点到圆心的距离为cm，则点与的位置关系是（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 以上都有可能 5. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 6. 将点向右平移3个单位长度得到点，点与点关于原点对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，有以下5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图象开口向下，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式______________． 12. 点关于原点对称的点是，则__________． 13. 如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么______． 14. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为___． 15. 如图，在正方形中，，O是中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接． （1）点E到距离的最小值为_____． （2）线段长的最小值为_____． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的图形； （2）请画出绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）按照（2）作图，回答下列问题：中顶点坐标为__________，若为边上一点，则点对应的点的坐标为__________． 18. 已知关于的方程（是实数） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成一个长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的一扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． 20. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 22. 已知二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）求二次函数的表达式； （2）求当时，y的最大值与最小值的差； （3）当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ； （4）当时，函数值，直接写出n的取值范围 ． 23. 如图，在中，，．点，分别为，的中点，点为线段上一动点（不与点 重合），过点 作线段垂直且 ，连接，交 于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）在点 运动过程中，能否使为等腰三角形?若能，请直接写出 的长； 若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $