精品解析：河南周口市项城市两校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度上期期中测试卷 九年级数学（） 注意事项： 1.本试卷共7页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3.所有答案请书写在答题卡指定区域内，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，每题只有一项是正确答案） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A．∵当时，， ∴不一定是二次根式． B．∵， ∴， ∴一定是二次根式． C．∵的根指数为3， ∴不是二次根式． D．∵当时，， ∴不一定是二次根式． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，不符合； B、，不符合； C、无法继续化简，符合要求； D、，不符合． 3. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为与根的判别式非负的条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 4. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】将所求变形为含两根和与两根积的形式，利用根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∴． 5. 下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（ ） A. 2，3，4和4，6，7 B. 3，4，5和6，8， C. 2，4，5和4，9， D. ，，和，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三边成比例的两三角形相似，分别计算A、B、C、D各选项两组线段的比值，再判断是否成比例即可得答案. 【详解】解：A.∵， ∴2，3，4和4，6，7不能构成相似三角形，故A错误. B.∵， ∴3，4，5和6，8，能构成相似三角形，故B正确. C.∵, ∴2，4，5和4，9，不能构成相似三角形，故C错误. D.∵， ∴，，和，，不能构成相似三角形，故D错误. 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 7. 如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 某商场一月份利润为10万元，三月份利润为万元，二、三月份利润的月平均增长率相同，则月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，根据一月份利润为10万元，三月份利润为万元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， ， ∵， ∴， 解得，即月平均增长率为． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有等腰直角三角形都相似 D. 相似图形一定是位似图形 【答案】C 【解析】 【分析】从相似图形需对应角相等、对应边成比例及位似与相似的关系入手判断各选项． 【详解】解：A、B选项：矩形对应角均为直角，但对应边不一定成比例；菱形对应边成比例，但对应角不一定相等，故所有矩形、菱形不一定都相似，均错误； C选项：等腰直角三角形的三个内角分别为、、，对应角相等，对应边成比例，故所有等腰直角三角形都相似，正确； D选项：位似图形是特殊的相似图形，相似图形不一定满足位似的条件，故相似图形不一定是位似图形，错误． 10. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕固定点O旋转到位置，已知栏杆的长为，的长为，C点到的距离为，则栏杆D端到的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，作，根据题意得，根据相似三角形性质得出即可求出． 【详解】解：作垂足为F，垂足为G， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解一元一次不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义，则的取值范围是，解得， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，先根据二次根式的性质化简、然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可；正确运用二次根式的性质化简各二次根式成为解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为． 13. 已知关于的方程的一个根为2，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，即把根代入方程可使等式成立，进而求解未知系数． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为2， ∴将代入方程，得， 解得； 故答案为：． 14. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，（），代入所求式子消去参数得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）， 代入得：． 15. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程 （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 18. 若，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】先计算a+b，ab，根据，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴ = =6． 【点睛】本题考查了条件型的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的变形是解题的关键． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根为等腰三角形的两边长，周长为10，求m的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由方程可得两个根为，然后根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程因式分解得：， 解得：， ∵方程两根为等腰三角形的两边长，且周长是10， ∴当为该等腰三角形的腰长时，则底边长为，根据三角形三边关系可知：三边长为2、2、6不满足三边关系，故舍去； 当为该等腰三角形的底边长时，则腰长为，根据三角形三边关系可知：三边长为2、4、4满足三边关系， ∴． 20. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，证明，可得，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 21. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定； （1）、之间的距离应是测量者的眼睛距地面的高度 （2）证，得，即可求解； 【小问1详解】 解：∵测量者的眼睛距地面的高度为米． ∴、之间的距离应是米． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴，即，解得； ∴学校旗杆的高度为米； 22. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每天销售量为240千克，每天利润为1920元 （2）25元/千克或35元/千克 （3）不能，设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程． （1）求出每天销售量，即可求解； （2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题； （3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可． 【小问1详解】 解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． 【小问2详解】 解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． 【小问3详解】 略 23. 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在内部，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：点是的中点； （3）如图2，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴； （2） 证明：在上截取，连接， ∵绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点是的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转，可知，然后根据等边对等角，以及三角形内角和，可得，从而推出，得证； （2）在上截取，连接，先证明，得到，接着证明，那么，从而得证； （3）过作，垂足为，连接，先利用勾股定理求得，然后证明，推出，接着利用勾股定理，求得的长度，最后利用求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图4，过作，垂足为，连接． 在中，， ∴， ， ∵， ∴， 由旋转得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）得，为中点， ∵， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，． ∴在中，根据勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上期期中测试卷 九年级数学（） 注意事项： 1.本试卷共7页，23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3.所有答案请书写在答题卡指定区域内，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，每题只有一项是正确答案） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 5. 下列各组线段，能构成相似三角形的一组是（ ） A. 2，3，4和4，6，7 B. 3，4，5和6，8， C. 2，4，5和4，9， D. ，，和，， 6. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场一月份利润为10万元，三月份利润为万元，二、三月份利润的月平均增长率相同，则月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有矩形都相似 B. 所有菱形都相似 C. 所有等腰直角三角形都相似 D. 相似图形一定是位似图形 10. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕固定点O旋转到位置，已知栏杆的长为，的长为，C点到的距离为，则栏杆D端到的距离为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 12. 计算：______． 13. 已知关于的方程的一个根为2，则______． 14. 若，则的值为_______． 15. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 解方程 （1）（因式分解法） （2）（公式法） 18. 若，求的值． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根为等腰三角形的两边长，周长为10，求m的值． 20. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实际活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜来测量学校旗杆的高度，镜子中心与旗杆的距离米，当镜子中心与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点．已知测量者的身高为米，测量者的眼睛距地面的高度为米． （1）在计算过程中、之间的距离应是________米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 22. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 23. 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在内部，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）求证：点是的中点； （3）如图2，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $