2026-2027学年高三数学一轮复习周测回顾卷10

山西大学附中高中数学（一轮复习）单元回顾 1、 选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A．-2 B．-1 C．2 D．3 3．下列结论正确的是 A． B． C．若，则 D．若，则 4．若函数的图象与直线相切于点，则实数 A． B．2 C． D．3 5．设是等差数列的前项和，若，则等于 A． B．-1 C．1 D．2 6．已知数列的首项，且满足，则的值为 A．256 B．255 C．129 D．127 7．如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为 A． B． C．2 D． 8．设直线分别是函数 图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分.） 9．设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 10．数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C． D．中有最大项也有最小项 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知，则=______． 13．已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 14．已知，，，则的最小值为_______________. 四、解答题（本题5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在中，为锐角，，． (1)求； (2)若，求的面积及边上的中线长． 16．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 17．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面的距离为1，求直线与平面所成的角． 18．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 19．已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 试卷第2页（共20页） 试卷第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（一轮复习）单元回顾 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】联立，解得， 故. 故选：B 2．已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】， 是纯虚数，，. 3．下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：因为，则， 令可得，解得，故D正确. 故选：D 4．若函数的图象与直线相切于点，则实数（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】，则，解得， 所以，即切点为， 代入直线整理得，解得. 5．设是等差数列的前项和，若，则等于（    ） A． B．-1 C．1 D．2 【详解】因为， 所以. 故选：D 6．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．256 B．255 C．129 D．127 【详解】令，得 ， 用替换可得，，再与相减可得，，那么 . 7．如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】显然，所以，所以只需写出和的面积即可，此时，最适宜引入的参数就是，用表示出两个三角形的面积，再用正弦型函数的最值即可解决本题. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知， 因为是等边三角形，所以. 又，为等边三角形， 所以，所以， 故 ， 所以，当，即时，. 8．设直线分别是函数 图象上点处的切线，与垂直相交于点P，且分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设（不妨设）， 则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为 由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即． 分别令得 又与的交点为，故选A． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 二、多选题 9．设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 10．数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C． D．中有最大项也有最小项 【答案】ABD 【详解】选项A，， 当时，，， ，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，， ，为等差数列，故选项B正确； 选项C，为等差数列，公差为，首项为， ， ，，故选项C错误； 选项D，， 当时，， 当时，， 当时，越大，越小，即越趋近于0， 即， 是最大值，是最小值， 中有最大项也有最小项，故选项D正确. 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．已知，则=______． 【详解】∵sinα=3cosα， ∴tanα=3 则==== 故答案为 13．已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 14．已知，，，则的最小值为_______________. 【答案】2 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题 15．在中，为锐角，，． (1)求； (2)若，求的面积及边上的中线长． 【详解】（1）在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以，因为为锐角，所以． （2） 如图所示，已知，因为是的内角，所以， 若为钝角，则， ，矛盾， 因此为锐角，即，已知， 由正弦定理知，因为，得. 又， 所以，， 设中点为， 由余弦定理，得. 16．某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. 17．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面的距离为1，求直线与平面所成的角． 【详解】 (1)取的中点，连接，； 因为，分别为，的中点，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）过点作于点，连接， 设， 因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为平面， 所以与平面的距离等于点到平面的距离， 即点到直线的距离为， 在中，因为，所以， 因为为的中点，所以， ， 由题意，得 ，解得， 则，， 在中，因为 ，所以， 因为，，且 ，所以平面， 平面， 因为，在平面内，所以是在平面内的射影， 故直线与平面所成的角为， 则， 则， 则直线与平面所成的角为. 18．已知椭圆：的短轴长为，离心率为，上、下顶点分别为，，点为椭圆内部一点，直线，与椭圆的另外一个交点分别为，两点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：； (3)在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：. （2）证明：如图，设直线方程为，令， 由消去得，设， 解得，， 设直线的方程为，令， 由消去得，设， 解得，, 由三点共线，得，代入点坐标化简得， 由三点共线，同理得，因此， 所以. （3）由，得，则，解得， 由点在椭圆内部，得，解得，则， 设点，则， 若为定值，则，其中为常数， 平方并整理得恒成立， 因此，解得，， 所以存在点，使得为定值. 19．已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 【详解】（1）对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上无解， 等价于不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 试卷第2页（共20页） 试卷第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $