数学(四)幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习周测卷

数学（四）幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1og3(一x),x0 1.若函数f(x)= ,则f(-3)+f(1og32)= 3x≥0 B. 3 A.-1 C.3 D要 2.已知幂函数f(x)=(m2-3m十1)xm-1的定义域为R,则m= A.0 B.2 C.3 D.1 3.若a十a1=14,则a+a= A.4 B.±4 C.√15 D.±√/15 4.已知集合A=alog.<l,B=al(得)广<1l.c=aa2<1,则AnBOC=- A.(0,1) B.(o,3)U(3, c(合) ,) 5.“k=1”是“函数f(x)=log2(4+1)-k.x为偶函数”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.若函数fx)=1og.(一2axa)a>0且a≠1)在区间[2,2]上单词递减，则实数a的取值范 围为 A.[2,十o∞) B.(o.] c.(3 .(o,) 7.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步 3%,而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过( )天，甲 的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：lg103≈2.0128，lg99≈1.9956，lg2≈ 0.3010) A.99 B.100 C.101 D.102 数学（四）第1页（共4页） 8定义：对于任意实数，符号[]表示x的“临近整数”，即[]=(m为整数)当且仅当”一<x <n十7.已知a=[204],b=[log20.3],c=[log.20.5],则a,b,c的大小关系为 A.b<c<a B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列不等式中正确的是 A.20.5>30.5 B.log0.30.07>20.7 C.log.20.5>log51.5 D.0.320.23>0.230.32 10.已知函数f(x)=1n(x-2),当a>b时，f(a)=f(b),则 A.2<b<3 B.(a-2)(b-2)=e C.ab-9 D.a十4b的最小值为14 11.已知对于任意非零实数x,若函数f(x)满足f(x)=f()f(x)=2-f(),则 A.f(1)=2 B.f(2)关于点(0,1)中心对称 Cf2)关于1=2轴对称 D.f(2)+f(22)+f(23)+…+f(21°)=10 班级 姓名」 分数 题号 1 2 4 6 7 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》 12.函数f(x)=1gx+√og(2x一1)的定义域为 13.若a,b,c满足a=b=c(a>1,b>1,c>1),且上+2-1 xy z =0(x,y,x∈R,xyz≠0)，则有序实 数组(a,b,c)可能是 .(写出满足条件的一个即可) -2log2x,0<x<a 14.已知函数f(x)= ,若f(x)在(0，十∞)上存在最小值，则a的取值范围 4r,x≥a 是 数学（四）第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 计算： (1)-4)万-( +0.64×（： 3Va /a aa (3)(1og43+log83)(1og32+log2)+log3/27-2g,25. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)一g(x)=e. (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)证明：g2(x)十f(x)=f(2x); (3)函数y=h(x)与y=g(x)十f(x)的图象关于直线y=x对称，当1≤x≤e2时，求 y=4h(ex)·h()十3的最大值和最小值. 17.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(k2一3k十3)x+2-6,其中k∈R. (1)若函数y=f(x)的图象不经过原点，求f(x)的解析式； (2)若函数y=fx)在0，+)上单调递增，g)=十2，且Y∈[1,2]，3，∈[1,2]， 使得f(2x1一3)十5≥g(x2)成立，求实数m的取值范围. 数学（四）第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知fx)是定义在R上的奇函数，当rE(-,0]时，f(x)=- (1)求f(1)的值； (2)当x∈(0，十∞)时，解不等式f(x)>一32x-1; (3)当x∈[-1，]时，不等式f(x)≤恒成立，求实数m的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1ogx)=t十卫(a>0且a≠1，p∈R. (1)求f(x); (2)若对任意x∈[0,1]，f(一2x2十x十一1)>f(1)>0恒成立，求实数k的取值范围； (3)若f(2)=80且函数g(x)满足m)十mf(x)=a十a-1,其中m>0,m≠1，间是香存 在实数m,使函数g(x)在[0,1]上的最大值为0？若存在，求出m的值或取值范围；若不存在， 请说明理由. 数学（四）第4页（共4页） >2·数学· 数学（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 求分段函数值 易 0.85 根据函数是幂函数 2 选择题 易 0.80 求参数值 指数式运算、整体 选择题 易 0.75 思想 解简单的指数、对数 4 选择题 5 不等式，指、对数函 中 0.68 数性质 函数奇偶性的定义 选择题 5 与判断、对数的运算 中 0.65 性质的应用 由对数型复合函数 6 选择题 中 0.60 的单调性求参数 7 选择题 实际问题、简单的指 中 0.55 对运算 比较对数式、指数幂 的大小、对数的运算 8 选择题 少 0.40 性质的应用、函数新 定义 比较指数幂的大小、 9 选择题 6 对数式的大小的 易 0.75 判断 对数的运算、对数函 10 选择题 6 中 0.65 数性质的应用 函数对称性的应用、 11 选择题 6 由抽象函数的周期 中 0.40 性求函数值、指数幂 的运算 具体函数的定义域、 12 填空题 5 易 0.80 对数函数的性质 ·17 ·数学· 参考答案及解析 指数式与对数式的 13 填空题 5 互化、运用换底公式 / 中 0.65 化简计算 根据对数函数的最 14 填空题 5 务 0.50 值求参数范围 对数的运算、分数指 15 解答题 13 数幂与根式的互化、 易 0.75 指数幂的运算 函数奇偶性的应用、 16 解答题 15 指数型复合函数的 √ √ L L 中 0.70 性质 幂函数的解析式、由 幂函数的单调性求 17 解答题 15 中 0.60 参数、利用函数单调 性求最值或值域 由奇偶性求指数函 数解析式、根据函数 的单调性解不等式、 18 解答题 17 函数不等式恒成立 L 中 0.55 问题、函数奇偶性的 应用 不等式恒成立问题、 由奇偶性求参数、根 19 解答题 V √ 难 0.25 据函数的最值求 √ 参数 考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】由题意得，f(-3)=log3=1,f(log2) (aa<1}=(-o,1),AnBOC=(0,号).故 =(兮)=3w=3%+=合所以(-8) 选D. 5.A【解析】因为f(x)=log2(4*十1)-kx为偶函 f(log,2)=- 故选B 数，所以f(x)=f(-x),即log2(4十1)-kx= 2.C【解析】由题意m2-3m十1=1，解得m=3或m l1og2(4+1)+kx,即1og2(4+1)-log2(4x+1) =0,当m=3时，f(x)=x2的定义域为R,符合题 =2kx,即2x=2kx,所以k=1,则“k=1”是“函数 意，当m=0时，∫(x)=x1的定义域不为R,不符合 f(x)=log(4十1)-kx为偶函数”的必要条件：当 题意，则m=3.故选C. “k=1”时，f(-x)-f(x)=l0g2(4x十1)十x 3.A【解析】由a十a1=14,得(a立十a立)2=a+ 1oge(4+1)十x=1og:-1og(4+1)+ AT a1十2a立·a支=14十2=16，因此a立+a支=4或 1og24=1og2(4+1)-1og2(4十1)=0，即函数 a立十a立=-4（舍），故选A. f(x)=log2(4十1)-k.x为偶函数，则“k=1”是“函 4.D【解析】：A=(alog,号<1=(o,分)U 数f(x)=log(4十1)一kx为偶函数”的充分条件， d,+o).B={a(3）°<1=o,+o),c 综上，“k=1”是“函数f(x)=log2(4十1)-kx为偶 函数”的充要条件.故选A ·18· ·数学· 6.D【解析】当a>1时(x)在[合，2]上单调递诚， y y=lm刘.- 则y=x2-2ax-a 在[合，2]上单调递减，所以 fx)=In(x-2) ,无解；当0<a<1时，f(x)在 22-4a-a>0 12:b3 [32]上单调递减，则y=2-2ar-a在 -2d [号，2]上单调递增，所以 2 2 对于B,f(a)=ln(a-2)=f(b)=-ln(b-2),所 ,解得0<a 1 以ln(a-2)十ln(b-2)=0,即(a-2)(b-2)= -a-a>0 4 1,故B不正确；对于C,由选项B可知 <令，综上可得，a的取值范围为(o,令)，故选D. (a-2)(b-2)=1,即ab+3=2(a+b)≥4ab, 解得√ab≥3或√ab≤1（舍），当且仅当a=b时取 7.A【解析】令甲和乙刚开始的“日能力值”均为1，n 等号，因为a>b,所以ab>9,故C正确；对于D,a十4b 天后，甲和乙的“日能力值”分别为(1十3%)”和 1-1%).由题知9分=50，即（警）”=50， =a-2+4(b-2)+10≥10+2/4(a-2)(b-2) (1-1%) =14,当且仅当a-2=4(6-2),即a=4,b=号时 两边分别取对数得k罗 =lg50.因此n= 取等号，故D正确.故选ACD. 2-1g2 2-0.3010 1g103-g9g≈2.01281,9956≈99，所以大约需 11.BCD【解析】对于A,由f(x)=2-f(二)，可得 要经过99天，甲的“日能力值”是乙的50倍.故选A. f(1)=2-f(1)→f(1)=1,故A错误；对于B,由 8.A【解析】因为20=1,21=之，由指数函数的单调 fx)=2-f()可得f(x)+f()=2,即 f(2)十∫(2)=2，所以∫(2)关于点0,1)中 性可得2<2<2”，所以1-合≤2<1十分 心对称，故B正确：对于C,由f(x)=(2)可得 由临近整数可得α=1，由对数函数的单调性可知一2 =log,0.25<og03<loe2t=-1.5,-2-< f(2)=f(21),所以f(2)关于x=2轴对称， og:0.3<-2十分，由临近整数可得b=-2, 故C正确：对于D,由f(x)=f(二)，令x=1可得 0.5=89-h号-b2,且0<1ca,2< f1)=f(2)=1,设g(x）=f(2)=f(2) bg5=,0-≤1oga0.5<0+,由临近整数 g1-x)①，又g(x)=f(2)=2-f(是)）=2 g(-x)②，由①②可得g(1-x)=2-g(-x),所 可得c=0,所以bc<a,故选A. 二、选择题 以g(1十x)=2一g(x),即g(x十2)=2 g(x十1)=2-[2-g(x)]=g(x),所以f(2)= 9.BCD【解析】对于A,:y=x.5在[0，十∞)上单调 f(2+2),所以f(2)=f(2)=f(23)=…,所以 递增，.25<3a5,故A错误；对于B,log.30.07> f(2)+f(2)+f(23)十…+f(21°)=10，故D正 l1oga￥0.09=2,27<2=2，.log.30.07>20.7,故B 确.故选BCD. 1 正确，对于C,“log20.5=log7=log2> 三、填空题 log1.5,log0.20.5>log1.5,故C正确：对于D,∵y 12.(宁，1]【解析】由函数解析式可知，心 102x-1≤1' =0.32在R上单调递减，则0.32.3>0.322，又y =x.2在(0，十o∞)上单调递增，则0.32.2> 解得2<≤1，即f(x)的定义域为（合，1] 0.232,∴.0.32.23>0.32.32>0.23.32，故D正确 13.(3,2,12)(答案不唯一，满足ab=c即可)【解析】 故选BCD. 10.ACD【解析】对于A,f(x)=|ln(x-2)|的图象 令a===>0且1，则-会y含 是由y=|lnx|的图象向右平移2个单位长度而得 到，如图，显然A正确： 总所以士十子-号-品关+的- In c In ab n合=0，则哈=1，所以ab=c,故 c ·19· ·数学· 参考答案及解析 (3,2,12)符合. (2)由(1)知，当k=1时，f(x)=x3在(0，十∞)上 14,(0,号]【解析】当0<x<a时，f(x)单调递减， 单调递减，不符合题意， 当k=2时，f(x)=x2在(0，十∞)上单调递增，符 没有最小值；当x≥a时，f(x)单调递增，其最小值 合题意， 为4“.由f(x)在(0，十∞)上存在最小值，得4“≤ 所以f(x)=x2, (7分) -2log2a,即4十2log2a≤0.因为g(a)=4“十 因为Hx1∈[1,2]，3x2∈[1,2]， 2og:a是(0，十oo)的单调增函数，又g(}）=4行 使得f(2x1-3)+5≥g(x2), 所以[f(2x1-3)+5]m≥g(x2), (9分) 十20g:号-0，所以0<a≤7 又f(2x1-3)+5=(2x1-3)2+5, 四、解答题 则x1∈[1,2]时，[f(2x1-3)十5]m=5,(11分) 15.解：①D-(合)广'+064×（后）厂 所以当∈1,2]时十≤5有解，12分) =-4-1+0.8×4=-1.8. (4分) 即m≤(5-x2)·(x2十1)， 2)原式=（号） 3Xa号Xa7 又当x2=2时，y=(5-一x2)·(x2十1)的最大值为 9, (14分) aXat 所以m≤9，即实数m的取值范围为（一∞，9]. (8分) (15分) ai 18.解：(1)因为y=f(x)是定义在R上的奇函数， (3)(log13+logs3)(log:2十log2)十log/27 所以f(1)=-f(-1)=-5. (3分) 一26g125 (2当(-0,0时)=-， -(怡080)(e2+0) 十1log337-225 设x∈(0，十∞)，则-x∈(-o∞，0)， =(分+子)lg3×(1+)log2+-5 所以)=--)=-(-)=4-9， =名×号+是-5=-8 (6分) (13分) 即当x∈(0，十o∞)时，f(x)=4-9, 由f(x)>-32-1, 16.解：(1)因为f(x)-g(x)=e, 得42-9>-32-1， 所以f(-x)-g(-x)=e, 又f(-x)=f(x),g(-x)=一g(x), 即4-9>-子×9 故f(x)十g(x)=e, (2分) 2-,g(x)=ee 解得f(x)=e+e 即>号×9 2 (4分) 所以()广>子即（号）”>， (8分) 2ra)+g)=(y+() -+e-f2x. 由指数函数y=(号)在R上是单调递减函数， 2 (7分) x>0 (3)由(1)知f(x)十g(x)=e, 所以得2x<1' 所以h(x)=lnx, (9分) (10分) 则y=4h(e)·h(）十3 解得0<<公， 故当x∈(0，十o∞)时，不等式f(x)>-32一1的解 =4(1+lnx)(lnx-2)十3 =4(-子） 集为(0，) (11分) -6, (12分) 由1≤x≤e2,得lnx∈[0,2]， 3)当xe[-1,]时)=品- 所以（仙x-合）'∈[o号]， 由f()≤婴一· 1 因此)0=4×号-6=3y=0-6=-6.15分) 17.解：(1)由题意得2-3k十3=1， 解得k=1或k=2, (3分) 即十是<婴， 当k=1时，f(x)=x3,图象不过原点，符合题意； 当k=2时，∫(x)=x,图象过原点，不符合题意， 由已知不等式m≥（号）广+3×(）广恒成立， 所以f(x)=x3. (5分) (14分) ·20· ·数学· 再由指数函数y=(兮)厂和y=(）厂都是R上 因为a>0,解得a=3, 则f(x)=3-3x, (11分) 的单调递减函数， 则由m+mf(x)=3x+34-1, 所以函数y=(号)广+3×（厂在[-1，一3] 可得m=32十32x-m(3-3）-1, 则g(x)=logm[32十3-2x-m(3x-3)-1], 单调递减， (12分) 所以=（号）厂'十3×()=7， 设3*一3=t1, 所以m≥7. 则32+32红=(3x-3)2+2=十2， 故实数m的取值范围为[7，十∞). (17分) 因为∈[o,1门则∈[0，号]， 19.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数， 此时g(x)=h(t1)=logm(t号-mt1十1). (13分) 故f(0)=0, 因为函数g(x)在[0,1门上的最大值为0， 由logx=0可得x=1, 则由f0)=1十上=0，解得p=-1. 则1og行m+D≤0在（∈[0，号]上恒成立且 1 (2分) 等号成立 即f(logr)=2-1 当0<m<1时，片一mt十1取得最小值1； 设t=logx,则x=a‘, 当m>1时，片-mt十1取得最大值1. 代入可得f()==4-a, 设p)=元-mA十1=(6-罗)广+1-空 a 故f(x)=a'一a(经检验满足f(x)是定义在R [0,号]，其对称轴为直线4=受 上的奇函数). (5分) (2)由f(1)=a-a1>0,可得a2>1, ①当0<m<1时A=受<分 又a>0,故得a>1, (6分) 则f(x)=a-ar在R上为增函数， 则函数4)在=受时取得最小值， 则-2x2+kx十k-1>1在x∈[0,1]上恒成立， 即心2号在0.门正l成立 即（受）=1-=1，解得m=0,不合题意，合去： (7分) (15分) 设g(x）= x2+2_2(x+1)2-4(x+1)+4 x+1 x+1 ②当1<m≤ 时4=受<分 4 =2(x+1)十x市-4 则函数g4)在=号时取得最大值， =2(+1品）-4 即（号）=(g)-号n十1=1，解得m=号符 结合双对勾函数的图象可知函数g(x)在[0，√2一1) 合题意； (16分) 上单调递减，在(W2-1,1门上单调递增. ③当m心时号> 又g(0)=g(1)=2, 则函数o(t1)在t=0时取得最大值， 即x∈[0,1]时，g(x)max=2,故k>2. 即(0)=02-m×0十1=1，符合题意 即实数k的取值范围为(2，十∞). (10分) (3)由(1)可得f(2)=a2-a2=80, 9· 综上，存在实数m∈[号.十e）:使函数x()在 即9a-80a2-9=0, [0,1]上的最大值为0. (17分) ·21·