山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期数学一轮复习周测回顾卷8

周回顾8 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若复数 满足 ，则 （　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】 ，故 . 亦可由 . 2．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 3．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求出，再利用两角和差的正弦公式求出. 【详解】由，得， 联立，得， 因为，所以， 故． 故选：A． 5．已知样本数据：，，a，，的方差为0，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的意义可得，利用不等式即可得结果. 【详解】因为样本数据：，，a，，的方差为0， 由方差的意义可知：，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 6．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A．（0，1）和（4，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0）和（1，4） D．（0，3） 【答案】A 【分析】结合函数图象，求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可． 【详解】根据导函数和函数的关系可判断两函数如图： 结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0， 所以， 故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减， 故选：A 7．已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导判断函数的单调性,再计算正整数点的函数值,满足有且只有两个正整数解，根据正整数解的个数推导a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， . 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： ， 代入计算得： ，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足： ， 所以. 8．最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为. 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 10．设函数，则（     ） A．有两个零点 B．当时， C．过点仅可以作两条直线与的图象相切 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用导函数判断单调性，根据单调性以及判断AD；B根据在上的单调性判断；设切点为，求出切线方程，将点代入，构造函数，研究其零点个数即可判断C. 【详解】对于A，， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，所以有两个零点，故A正确； 对于D，因为在区间上有最大值，所以， 得，故D正确； 对于B，因为在上单调递增且当时，， 所以，故B错误； 对于C，设切点为， 故切线方程为， 将代入整理得(*)， 令，则， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 则，故有两个零点，即方程(*)有两根， 故过点仅可以作两条直线与的图象相切，即C正确. 11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 三、填空题 12．已知直线为曲线的一条切线，则________； 【答案】 【详解】设切点为，对求导得. 由切线斜率为，得，解得. 将代入切线方程，得， 即切点为. 切点在曲线上，代入得： 13．已知为数列的前项和，且，，则__________． 【答案】 / 【分析】解法一：由递推关系，构造新的等比数列，得到数列的通项公式，从而求该数列的前项和. 解法二：由结合并项求和法以及等比数列的求和公式即可求出的值. 【详解】解法一：，则， 令，有， 又，， 数列是一个首项为，公比为的等比数列， ，所以， . 解法二：因为，， 所以，数列的前项和为 . 14．三次曲线（）总是中心对称图形，设是的导数，是的导数，如果，则的对称中心为．若等差数列的前项和为，且，函数，则______． 【答案】 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论． 【详解】已知，则，. 令，解得，因此，所以的对称中心为. 根据中心对称性质. 已知是等差数列，，则，解得. 因此. 则，因此. 四、解答题 15．已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 (1)求该棱柱的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， 为等边三角形，边长为， ，，， 平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ； （2）解：由（1）知平面，， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 易知平面的一个法向量， ， 则平面与平面夹角的余弦值为． 16．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 17．已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出双曲线的方程，再与直线联立，结合韦达定理求解即可； （2）由，可得，分别代入双曲线方程，求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，求解即可. 【详解】（1）由题意可知在双曲线中，，解得， 又因为，解得， 所以， 所以双曲线的方程为， 所以右焦点， 则直线方程为， ，得， 设且， 由韦达定理可得， 所以，即， 解得或； （2）因为， 即， 所以， 从而得， 又因为，， 所以， 整理得①， 又因为②， 由①②可得，， 即或， 将点代入直线方程， 得； 将点代入直线方程， 得； 综上，. 18．如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，， 故有或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理得， 故 在三角形中， 所以的范围为 （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 19．（1）已知函数，，求函数的值域； （2）已知函数．按照如下方式构造点：作函数在点处的切线交x轴于点，且，记的面积为．证明：①；②． 【答案】【小题1】； 【小题2】证明如下： ①由题意可得，所以， 所以在处的切线方程为， 所以， 因为，由（1）可得，， 因为， 所以， 所以，所以 ②由题意可得， 因为，，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 所以，， 当时，， ， . 【分析】（1）由函数的单调性即可得到结果； （2）①由切线方程可得，代入计算即可得到，再结合累乘法代入计算，即可证明；②由的表达式，分别求得，然后再考虑的情况，由时，，代入计算，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以在上单调递增， 所以，所以函数的值域为. （2）略 【点睛】关键点睛：本题以函数为载体考查了导数与数列的综合应用，难度较大，解答本题的关键在于由切线方程可得数列的递推公式，再结合数列的知识解答. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高中数学（一轮复习）单元回顾 1、 选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。） 1．若复数满足 ，则（　） A．1 B． C．2 D． 2．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知样本数据：，，a，，的方差为0，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A．（0，1），（4，+∞） B．（0，2） C．（﹣∞，0），（1，4） D．（0，3） 7．已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．设函数，则（     ） A．有两个零点 B．当时， C．过点仅可以作两条直线与的图象相切 D．若在区间上有最大值，则的取值范围为 11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知直线为曲线的一条切线，则________； 13．已知为数列的前项和，且，，则__________． 14．三次曲线（）总是中心对称图形，设是的导数，是的导数，如果，则的对称中心为．若等差数列的前项和为，，函数，则______． 4、 解答题（本题5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面 (1)求该棱柱的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 17．（15分）已知双曲线的离心率为2，焦距为4．过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 18．（17分）如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知．    (1)求； (2)若的长为，求的取值范围． (3)若为线段延长线上一点，且，，求． 19．（10分）（1）已知函数，，求函数的值域； （2）已知函数．按照如下方式构造点：作函数在点处的切线交x轴于点，且，记的面积为．证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $