山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（二）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（二） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知复数之=(2+)(1-2)，则z= A.5 B.V10 C.5 D.17 2.设A={x∈Z|x-2≤3}，B={x∈R|x2-4x<0},则A∩B= A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D. {0,1,2,3 (e- 3. 的展开式中x4的系数为 A. -10 B.-5 C.5 D.10 4.已知向量a=(1,2),b=(m,1),且(a+b)⊥(a-2b),则m的取值为 A.-1 B.2 C.-1或2 1波 5.已知函数f(x)=sin(wx)+V3cos(wx)(u>0)。若x1,x2分别为f(x)相邻的一个最大值 点和一个最小值点，且四一=4，则w= A.1 B.2 C.4 D.8 6.某指标Q用于描述一组数据的稳定程度，定义Q=S-1,其中n>0,n≠1，S为固定 Inn 实数。已知在同一S下，两组数据的样本量分别为n1,n2,对应指标分别为Q1=2,Q2=3。 下列判断正确的是 A.若S>1,则n1<n2;若S<1,则n1>n2 B.若S>1,则n1=n2 C.若S>1,则n1>n2;若S<1,则n1<n2 D.无论S取何值，均有n1>n2 7.设集合 R={(x,)|y=(1-t)x+tx2,0≤t≤1,0≤x≤2} 【2027届高三导向卷（二）·数学第1页（共4页）】 忻州一中✉ 模拟专用 若R表示的平面图形中任意两点间距离的最大值为d,面积为S,则 A.d=V10,S<1 B.d=V10,S=1 C.d=2V5,S<1 D.d=2W5,S=1 8.已知P,Q是函数y=2图象上的两个不同点，且P,Q的横坐标之差为2。设线段PQ的 中点为M,若M在函数y=2+c的图象上，则c= A.log24 3 B.l0g22 C.1 D.10g25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某产品是否合格需通过检测系统判断。对一个不合格产品，单次检测判为“不合格”的概 率为0.9；对一个合格产品，单次检测误判为“不合格”的概率为0.2。各次检测相互独立。现 采用如下复合规则：先连续检测两次；若两次均判为“不合格”，则最终判为“不合格”；若 两次均判为“合格”，则最终判为“合格”；若两次结果不同，则进行第三次检测，并以第三 次检测结果作为最终判断。设产品实际不合格的概率为p,最终判为“不合格”的概率为P。 下列说法正确的是 A. 若产品实际不合格，则最终判为“不合格”的概率为0.972 B.若产品实际合格，则最终判为“不合格”的概率为0.104 C.P=0.104+0.868p 0.972p D.若最终判为“不合格”，则该产品实际不合格的概率为 0.104+0.868p 10.设椭圆E: 十=1。点A0,0在椭圆E的第一象限内，过点A作椭圆的切线， 切线与x轴、y轴分别交于P,Q两点。下列结论正确的是 A. 切线方程为产+物)=1 B.OP.OQ≥4 C.S△oPQ≥2 D. △OPQ的面积最大值为2 11.设一个2×3数表为 A= a11a12a13 a21022a23 允许进行如下操作：任选一行，将该行所有元素同时加1；或任选一列，将该列所有元素同 时加1。若经过有限次操作后，数表中所有元素都相等，则称该数表为“可整平”的。下列说 法正确的是 A.操作不会改变任意两列形成的2×2子表的交又差a1i+a2j一a1)-a2i B.若对任意i,j均有a1i-a2i=a-a2,则该数表一定可整平 C.若数表中所有元素之和是3的倍数，则该数表一定可整平 D. 是可整平的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn。若S5=15,S10=55,则a12= 13.写出一组满足条件sin(a+B)=sin(a-),但cos(a+B)≠cos(a-B)的角a,B。可取 Q= ,B= 【2027届高三导向卷（二)·数学第2页（共4页)】 所州一中 14.已知正四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，四条侧棱均为V5,则 该四棱锥的高为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某保险公司统计某险种上一年度1000张保单的赔偿次数，得到如下数据： 赔偿次数01234 保单数6002501004010 该险种当年每张保单保费为1.2万元。赔付规则如下：第1次赔付0.5万元，第2次赔付0.7万 元，从第3次起每次赔付0.4万元。若某张保单赔偿4次，则赔付总额为0.5+0.7+0.4+0.4= 2.0万元。用频率估计概率。 (1)求随机抽取一张保单，赔偿次数不少于2的概率； (2)设该险种当年单张保单的毛利润为X=保费一赔付总额，估计E(X); (3)公司拟在下一年度调整保费：未赔偿过的保单保费下降10%，赔偿过1次的保单保费 不变，赔偿不少于2次的保单保费上升25%。若赔付次数分布仍按上表频率估计，估计 下一年度单张保单毛利润的数学期望，并判断该调整是否提高了单张保单期望毛利润。 16.（本小题满分15分)】 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=6,A为钝角，且 2sin B cos B=- 6 -b cos B. (1)求角A; (2)从下列三个条件中任选一个作为补充条件，求△ABC的面积。若所选条件下三角形不 存在，请说明理由： 条件1：6=6：条件2：csB=;条件3：c=2V3 17.（本小题满分15分)】 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为边长为 2的正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=2。点E为 PC的中点，点F为BD的中点。点M在线段PC上， 且PM:MC=2:1。 (1)证明：EF‖平面PAB; (2)求平面ABM与平面ADM夹角的余弦值。 B 18.（本小题满分17分) 已知椭圆5：子+护=1，点C0,1)。设直线1：y=kx+t(化>1)与椭圆E交于不同的两 点A,B。直线AC,BC分别与x轴交于D,E两点。 (1)求椭圆E的离心率； (②)证明：OD.0E=4t+ t-1 (3)若OD.OE=20,DE=8,求t与k的值。 【2027届高三导向卷（二）·数学第3页（共4页)】 忻州一中 用 19.（本小题满分17分) 设A=(a)3x3为一个3×3的正整数矩阵。允许进行如下两类操作： 第一类：任选一行，将该行的三个元素同时加1； 第二类：任选一列，将该列的三个元素同时加1。 若经过有限次操作后，矩阵的9个元素全部相等，则称矩阵A为“可整平矩阵”。 (1)设 13 4 5 5 78 依次进行操作：先将第1行加1，再将第2列加1，再将第3行加1，最后将第1列加 1。写出所得矩阵； (2)判断矩阵 /124 B= 2 35 346 是否为可整平矩阵。若是，写出一种使其整平的操作方案；若不是，请说明理由； (3)证明：矩阵A=(a)3×3为可整平矩阵的充要条件是：对任意 1≤i<k≤3,1≤j<1≤3， 均有 aij+akl=ail+aki. 【2027届高三导向卷（二)·数学第4页（共4页)】 忻州一中 参考答案与详解 2027届高三导向卷（二)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案C B D CCC D A 1 z=(2+)(1-2)=2-4i+i-22=4-3i. 所以 |z=V42+(-3)2=5. 故选C。 2.由 x-2≤3 得 -1≤x≤5. 又x∈Z,所以 A={-1,0,1,2,3,4,5}. 由 x2-4x<0 得 0<x<4. 因此 A∩B={1,2,3} 故选B。 3.二项展开式通项为 =()-()-(⊙)-ys 令 10-3r=4, 得 r=2. 所以x4的系数为 (-1)2=10. 故选D。 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 专用 4. 由题意， a+b=(1+m,3),a-2b=(1-2m,0). 由垂直条件得 (1+m)(1-2m)+3.0=0. 即 1-m-2m2=0. 整理得 2m2+m-1=0. 所以 1 m=2 或m=-1. 故选C。 5. f()=sin(w+3 cos(w)=2sin+) 最大值点与相邻最小值点之间的距离为半个周期，即 由题意， =4 所以 w=4. 故选C。 6.由 Q-S-1 Inn 可得 血nsS-1 Q 所以 Inm= S-1 S-1 2 In n2 3 若S>1,则 S-1>S-1 2 3 所以 n1>m2, 若S<1,则 S-1S-1 2下 3 所以 n1<n2: 故选C。 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第2页】 所州一中 7.由 y=(1-t)x+tx2,0≤t≤1 可知，对于固定x,点y在线段端点x与x2之间变化。因此区域R是0≤x≤2内曲线 y=x与y=x2围成的图形。 面积为 s=e-的t+fe-t 计算得 [e-的dc-石fa--8 所以 S=1. 又区域中0≤x≤2,0≤y≤4，任意两点间距离不超过 v22+42=2W5. 该值由点(0,0)与(2,4)取得，所以 d=2v5, S=1. 故选D。 8.设两点横坐标分别为a,a+2。则 P=(a,2), Q=(a+2,2a+2) 中点M的坐标为 +12"）=(+ 因为M在y=2+e上，所以 5.20=2+1+6 即 多-2 所以 因此 5 c=log2 4' 故选A。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABCD ABC ABD 9.对不合格产品，单次判为“不合格”的概率为0.9。 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 用 最终判为“不合格”有两类情况：第一，前两次均判为“不合格”；第二，前两次结果不同， 第三次判为“不合格”。所以 P(最终判不合格实际不合格)=0.92+2·0.9.0.1·0.9=0.81+0.162=0.972. A正确。 对合格产品，单次误判为“不合格”的概率为02，所以 P(最终判不合格实际合格)=0.22+2·0.2.0.8·0.2=0.04+0.064=0.104. B正确。 若实际不合格概率为p,则 P=0.972p+0.104(1-p)=0.104+0.868p. C正确。 由条件概率公式， P(实际不合格最终判不合格)=0.104+0.8680 0.972p D正确。 综上，选ABCD。 10.椭圆 E:+=1 点A(xo,o)在第一象限内，则 +十6=1 4 椭圆在点A处的切线方程为 ToT 4 +y0y=1. A正确。 令y=0,得 24 -x0 所以 OP=. 4 令x=0,得 1 所以 0Q=1 yo 因此 OP.OQ= 4 xoyo 令 u=2 )=0. 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 专用 则 u2+v2=1, oyo 2uv. 由 2uw≤u2+v2=1 得 xoy0≤1. 所以 0P.0Q=4 ≥4. c00 B正确。 三角形面积 S△oPQ= 20p.0Q≥2， C正确。 当点A趋近于坐标轴时，OP·OQ可以趋于无穷大，因此面积没有最大值。D错误。 综上，选ABC。 11.操作为：某行整体加1，或某列整体加1。 对任意两列i,j,考虑交叉差 ali+a2j -alj-a2i. 若对某一行加1，则该式中对应行的两个元素同时增加1，相互抵消；若对某一列加1，则该 式中对应列的两个元素同时增加1，也相互抵消。所以交叉差不变。A正确。 若 ali-a2i aij a2j 对任意i,j成立，即三列的上下差都相同。设公共差为d。若d≥0，可先对第二行加d次， 使两行各列对应差变为0；若d<0,可对第一行加-d次。此后每一列上下两个元素相等， 再通过对较小列加若干次，可将三列整平。所以一定可整平。B正确。 C错误。例如 11 123 元素和为9，是3的倍数，但上下差分别为0，-1，-2，不相等，不能整平。 D正确。矩阵 上下差均为一1。可对第一行加1次，得到 23 5 35 再对第一列加3次、第二列加2次，得到 75 55 555/ 故D正确。 综上，选ABD。 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 三、填空题 题号12 13 14 答案 12 a=2=3 12. 设等差数列首项为a1,公差为d。 由S5=15,得 62a1+40=15 即 a1+2d=3. 由S10=55,得 5(2a1+9d)=55, 即 2a1+9d=11. 又由a1+2d=3,得 2a1+4d=6. 两式相减，得 5d=5. 所以 d=1, a1=1. 因此 a12=a1+11d=12. 13. 答案不唯一。例如取 a-g 此时 a+B=5π 6 a-B= 6 所以 sin(a+B)=sin 5π1 6=2 sin(a-B)=sin =1 16=2 但 cos(a +B)=cos 6 2 cos(a-B)=cos6=2 二者不相等。故可填 a- π 8- 14.正四棱锥底面边长为2，底面中心到底面顶点的距离为 2v2 2 =2. 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 用 设四棱锥高为h。侧棱长为V5,所以 h2+(√2)2=5. 即 h2+2=5. 因此 h=v3. 四、解答题 15.答案：赔偿次数不少于2的概率为0.15；当年E(X)=0.871万元；下一年度期望毛利 润为0.844万元，调整后未提高期望毛利润。 赔偿次数的概率估计为 P(0)=0.6,P(1)=0.25,P(2)=0.1,P(3)=0.04,P(4=0.01. 对应赔付总额分别为 00.5,1.2,1.6,2.0. (1)赔偿次数不少于2的概率为 P(X≥2)=0.1+0.04+0.01=015. (2)当年保费为1.2万元。各赔偿次数对应毛利润为 1.2,0.7,0,-0.4,-0.8. 所以 E(X)=0.6·1.2+0.25.0.7+0.1·0+0.04.(-0.4+0.01·(-0.8) =0.72+0.175-0.016-0.008 =0.871. 故 E(X)=0.871万元. (3)下一年度，未赔偿过的保单保费下降10%，保费为 1.2×0.9=1.08. 赔偿过1次的保单保费不变，仍为1.2。赔偿不少于2次的保单保费上升25%，保费为 1.2×1.25=1.5. 对应下一年度毛利润分别为 1.08,0.7,0.3,-0.1,-0.5. 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 用 所以下一年度单张保单毛利润期望为 E=0.6.1.08+0.25.0.7+0.1·0.3+0.04·(-0.1)+0.01·(-0.5) =0.648+0.175+0.03-0.004-0.005 =0.844. 因为 0.844<0.871, 所以该调整没有提高单张保单期望毛利润。 16. 答案：A=客.选择：三角形不存在：选择：Sam=3V3:选择：Sm=3V3. 已知 2 sin B cos B三Y3 boos3 由于A为钝角，B不可能为直角，因此cosB≠0。两边除以cosB,得 2sin B=V3 b. 6 所以 sin B=4v3. 由正弦定理， a b sin A sin B =4v3. 又a=6,所以 sinA=_ v3 /3=2 因为A为钝角，所以 A、2 3 (1) A=2 3 (2)若选择条件1：b=6。由 b sin B=4v3 得 sin B=6 V3 V5=2 所以 B=3或B= 2π 署B=则A+B=元，三角形不存在若B三，则A+B>T,三角形不存在。敌 条件1下三角形不存在。 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 专用 若选择条件2：Q心B=。因为B为三角形内角，所以 B-6 于是 C=-3-66 由正弦定理， c=4v3nC=-4v3号2g 面积为 Sounc-cn3 若选择条件3：c=2√3。由正弦定理， sin G=4v3, 所以 s血c-号 若C-西则4+C>,不合题意：故 c-8 于是 B=x-容-66 2rπT 面积仍为 S△ABC=3V3. 17. 答案：万F平面PAB:平面ABM与平面AD1夹角的余弦值为 建立空间直角坐标系： A(0,0,0), B(2,0,0),D0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2) 点E为PC的中点，所以 E(1,1,1). 点F为BD的中点，所以 F(1,1,0). 点M满足PM:MC=2:1,所以 M=P+ (C-P)- (1)有 E市=(0,0，-1) 【2027届高三导向卷（二）·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 专用 平面PAB由点 P(0,0,2),A(0,0,0),B(2,0,0) 确定，其方程为 y=0. 向量(0,0，-1)平行于平面y=0,且EF不在平面PAB内。所以 EF‖平面PAB. (2)平面ABM中， AB=(2,0,0), 成-（佳参） 取法向量 n1=A×A立， 可取 n1=(0,-1,2) 平面ADM中， AD=(0,2,0), A= (442\ 333 取法向量 2=AD×Ai, 可取 n2=(1,0,-2) 所以两个平面夹角的余弦值为 12_101+(-10+2(-2-4 n1 n2 v5.v5 18. 答案c=on05-:t=子太生 t-1 4 椭圆 :号+1 (1)椭圆中 a=2,b=1. 所以 c=Va2-2=V3. 离心率为 e==3 a 2 (2)设 A(xc1,y1), B(c2,y2) 由于A,B在直线y=kx+t上，所以 yi=kx+t(i=1,2). 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 专用 直线AC经过C(0,1)和A(1,y1),其与x轴交点D的横坐标为 Cp=1-y 同理 xE=1一2 所以 OD.OE= T1T2 (1-1)1-y2) 联立直线与椭圆： 4+(kz+2=1. 整理得 (（2+）2+2+P-1=0 因此 2kt x1+2=一 t2-14t2-1) 2+于 x12=2+是42+1 又 (1-1)1-2)=(1-t-kxc1)(1-t-kx2). 展开并代入根与系数关系，化简得 (1-1)1-2)= (t-1)2 42+1 所以 4(t2-1) OD.OE=- 4k2+1 4t+1) (t-1)2 t-1 4k2+1 证毕。 (3)由 0D.0E=20 和第(2)问结论可得 4t+1=20. t-1 所以 t+1=5(t-1), 解得 3 t 下面利用DE=8求k。由 T1 T2 D=1-t-kat' aB=1-t-kaz' 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中 专用 可得 DE=lp-El= 8V4k2+1-t2 t-1 代人t=多得 8= 8V42+1-是 即 所以 462、51 4=4 因此 2 8 故 k-tv6 6 735 19. 答案：第(1)问所得矩阵为 3 5 ;矩阵B可整平；充要条件为a十a=al十aj。 99 (1)原矩阵为 /134 A= 2 4 5 57 第一步：第1行加1，得 245 245 578 第二步：第2列加1，得 /255 2 55 588/ 第三步：第3行加1，得 /255\ 255 699/ 第四步：第1列加1，得 6 3 99 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 (2)矩阵 7124 B 2 3 5 346 是可整平矩阵。 一种操作方案如下：先将第1行加2次，第2行加1次，第3行不变，得 346 3 46 346 再将第1列加3次，第2列加2次，第3列不变，得 /666 6 66 666/ 故B为可整平矩阵。 (3)先证必要性。对任意 i<k,j<l, 定义交叉差 △=aij+akl-ail-aki: 若对某一行加1，则该行在△中出现一次正号、一次负号，变化量抵消；若对某一列加1，同 理也会抵消。所以任意操作都不改变交叉差。 若矩阵最终被整平为所有元素都等于同一常数C,则最终矩阵的交叉差为 C+C-C-C=0. 由于交叉差不变，所以原矩阵也必须满足 aij akt -ait-akj =0, 即 aij+akl ait+akj. 必要性得证。 再证充分性。假设对任意i<k,j<l,均有 aij+akt ail+akj- 取第一行、第一列作基准。由条件可得，对任意，)， aii+a11 ail +ali. 即 aij ai+a1j-a11. 令 M max{a1,a21,a31}. 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 用 对第i行加 M-ai 次。由于M≥a1,这些次数均为非负整数。 再取足够大的整数N,使得对所有)都有 N-(a1j-a11）≥0. 对第j列加 N-(a1j-a11) 次。 经过这些操作后，第i行第j列的元素变为 a+(M-a1)+[N-(a1j-a11)】. 代入 a=a1+a17-a11, 得 a1+a1-a11+M-a1+N-aj+a11=M+N. 该值与i,j无关，所以所有元素最终都变成同一个数M+N。 故矩阵可整平，充分性得证。 综上，矩阵A=(a)3x3为可整平矩阵的充要条件是：对任意 1≤i<k≤3,1≤j<1≤3， 均有 aij+akst ail+akj 【2027届高三导向卷（二)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中 专用